有限ランク演算子

数学の一分野である関数解析において、有限ランク演算子は、範囲が有限次元であるバナッハ空間間の有界線型演算子である。 ^[1]

有限ランク演算子は、無限次元の設定に移植された行列（有限サイズ）です。そのため、これらの演算子は線形代数技法を使用して記述できます。

線型代数から、複素要素を持つ長方形行列が階数を持つのは、次の形式の 場合のみであることが分かる。${\displaystyle M\in \mathbb {C} ^{n\times m}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle M=\alpha \cdot uv^{*},\quad {\mbox{ここで}}\quad \|u\|=\|v\|=1\quad {\mbox{かつ}}\quad \alpha \geq 0.}$

全く同じ議論から、ヒルベルト空間上の作用素が階数を持つのは、 ${\displaystyle T}$${\displaystyle H}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle Th=\alpha \langle h,v\rangle u\quad {\mbox{すべて}}\quad h\in H,}$

ここで、条件は有限次元の場合と同じです。 ${\displaystyle \alpha,u,v}$

したがって、帰納的に、有限ランクの演算子は次の形を取る。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle Th=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\mbox{すべて}}\quad h\in H,}$

ここで、 と は正規直交基底です。これは本質的に特異値分解の言い換えであることに注意してください。これは有限階数演算子の 標準的な形式であると言えます。${\displaystyle \{u_{i}\}}$${\displaystyle \{v_{i}\}}$

少し一般化すると、 が可算無限となり、正の数列がでのみ累加する場合、はコンパクト演算子となり、コンパクト演算子の標準形が得られます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \{\alpha _{i}\}}$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle T}$

コンパクト演算子は、級数が収束する場合にのみトレースクラスである。この性質は、すべての有限ランク演算子に対して自動的に成立する。^[2]${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$

ヒルベルト空間上の有限階数作用素の族は、上の有界作用素の代数であるにおける両側 *-イデアルを形成します。実際、これはそのようなイデアルの最小元です。つまり、 における任意の両側 *-イデアルには、有限階数作用素が必ず含まれます。これは証明するのが難しくありません。非ゼロの作用素 を取ると、ある に対して となります。任意の に対して、に写像する階数 1 の作用素はに含まれるとすれば十分です。 を に写像する階数 1 の作用素 と定義し、同様にと定義します。すると ${\displaystyle F(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle L(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle I}$${\displaystyle L(H)}$${\displaystyle T\in I}$${\displaystyle Tf=g}$${\displaystyle f,g\neq 0}$${\displaystyle h,k\in H}$${\displaystyle S_{h,k}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S_{h,f}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{g,k}}$

${\displaystyle S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f},\,}$

つまり、これは主張を検証すること になります。${\displaystyle S_{h,k}}$${\displaystyle I}$

における両側 *-イデアルの例としては、トレースクラス、ヒルベルト・シュミット作用素、コンパクト作用素などがあります。は、それぞれのノルムにおいて、これら 3 つのイデアルすべてにおいて稠密です。 ${\displaystyle L(H)}$${\displaystyle F(H)}$

の任意の二辺イデアルはを含まなければならないため、代数は有限次元である場合にのみ 単純になります。${\displaystyle L(H)}$${\displaystyle F(H)}$${\displaystyle L(H)}$

バナッハ空間間の有限階数作用素は、その範囲が有限次元である有界作用素である。ヒルベルト空間の場合と同様に、次のように書くことができる。 ${\displaystyle T:U\to V}$

${\displaystyle Th=\sum _{i=1}^{n}\langle u_{i},h\rangle v_{i}\quad {\mbox{すべて}}\quad h\in U,}$

ここで、 および は空間 上の有界線型関数です。 ${\displaystyle v_{i}\in V}$${\displaystyle u_{i}\in U'}$${\displaystyle U}$

有界線形関数は、有限階数演算子、つまり階数 1 の特殊なケースです。