ウェーブレット

ウェーブレットは、振幅がゼロから始まり、増加または減少し、1 回以上ゼロに戻る波のような振動です。ウェーブレットは「短い振動」と呼ばれます。ウェーブレットの分類は、パルスの数と方向に基づいて確立されています。ウェーブレットには、信号処理に役立つ特定の特性が備わっています。

たとえば、ウェーブレットは、中央 Cの周波数と約 10 分の 1 秒の短い持続時間を持つように作成できます。このウェーブレットをメロディーの録音から作成された信号と畳み込むと、結果の信号は、曲の中で中央 C の音がいつ現れたかを判断するのに役立ちます。数学的には、信号の一部が類似している場合、ウェーブレットは信号と相関します。相関は、多くの実用的なウェーブレット アプリケーションの核心です。

数学的なツールとして、ウェーブレットは、オーディオ信号や画像など、さまざまな種類のデータから情報を抽出するために使用できます。データを完全に分析するには、ウェーブレットのセットが必要です。「補完的」ウェーブレットは、ギャップやオーバーラップなしで信号を分解するため、分解プロセスは数学的に可逆的です。したがって、補完的ウェーブレットのセットは、最小限の損失で元の情報を回復することが望ましいウェーブレットベースの圧縮/解凍アルゴリズムで役立ちます。

形式的には、この表現は、二乗積分可能関数のヒルベルト空間に対する、基底関数の完全な正規直交セット、またはベクトル空間の過剰完備セットまたはフレームに関する二乗積分可能関数のウェーブレット級数表現です。これは、コヒーレント状態を通じて実現されます。

古典物理学では、回折現象は、伝播する波面の各点を個々の球状ウェーブレットの集合として扱うホイヘンス・フレネルの原理によって説明されます。 ^{[1]特徴的な曲げパターンは、}コヒーレントな光源（レーザーなど）からの波がその波長と同程度のサイズのスリット/開口部に遭遇したときに最も顕著になります。これは、波面（または同等に、各ウェーブレット）上の異なる点が、異なる長さの経路で登録面まで移動して追加または干渉するためです。複数の狭い間隔の開口部（例：回折格子）は、強度が変化する複雑なパターンを生み出す可能性があります。

ウェーブレットという言葉は、デジタル信号処理や探査地球物理学において何十年も使われてきました。^[2]フランス語で「小さな波」を意味する同義語のondeletteは、1980年代初頭にJean MorletとAlex Grossmannによって使用されました。

ウェーブレット理論は、いくつかの主題に適用できます。すべてのウェーブレット変換は、連続時間(アナログ) 信号の時間周波数表現の形式と見なすことができるため、高調波解析に関連しています。^[3]離散時間(サンプリングされた) 信号の離散ウェーブレット変換 (時間的に連続)は、2 項 (オクターブ バンド) 構成の離散時間フィルタバンクを使用して、その信号に対するウェーブレット近似です。このようなフィルタ バンクの係数は、ウェーブレットの用語ではシフト係数とスケーリング係数と呼ばれます。これらのフィルタバンクには、有限インパルス応答(FIR) フィルタまたは無限インパルス応答(IIR) フィルタが含まれます。連続ウェーブレット変換(CWT) を形成するウェーブレットは、フーリエ解析の不確定性原理とそれぞれのサンプリング理論の対象となります。 ^[4]何らかのイベントを含む信号が与えられた場合、そのイベントに正確な時間と周波数応答スケールを同時に割り当てることはできません。時間の不確定性と周波数応答スケールの積には下限があります。したがって、この信号の連続ウェーブレット変換のスケールグラムでは、このようなイベントは、1つの点ではなく、時間スケール平面の領域全体をマークします。また、離散ウェーブレット基底は、不確定性原理の他の形式のコンテキストで考慮される可能性があります。^{[5] [6] [7] [8]}

ウェーブレット変換は、連続、離散、マルチ解像度ベースの 3 つのクラスに大別されます。

連続ウェーブレット変換では、有限エネルギーの与えられた信号が連続した周波数帯域（またはL ^p 関数空間 L ² ( R ) の類似のサブスペース）に投影されます。たとえば、信号はすべての正の周波数f > 0に対して、[ f , 2 f ]の形式ですべての周波数帯域で表すことができます。次に、結果として得られるすべての周波数成分を適切に積分することで、元の信号を再構築できます。

周波数帯域またはサブスペース（サブバンド）は、スケール 1 のサブスペースのスケール バージョンです。このサブスペースは、ほとんどの場合、L ² ( R ) の 1 つの生成関数 ψ のシフトによって生成され、マザー ウェーブレットになります。スケール 1 の周波数帯域 [1, 2] の例では、この関数は （正規化された）sinc 関数です。マザー ウェーブレットのこの例と、Meyer のマザー ウェーブレットの他の 2 つの例は次のとおりです。 $${\displaystyle \psi (t)=2\,\operatorname {sinc} (2t)-\,\operatorname {sinc} (t)={\frac {\sin(2\pi t)-\sin(\pi t)}{\pi t}}}$$

スケールaまたは周波数帯域 [1/ a , 2/ a ]のサブスペースは、関数 (子ウェーブレットと呼ばれることもあります) によって生成されます。 ここで、a は正でスケールを定義し、b は任意の実数でシフトを定義します。ペア ( a、b ) は、右半平面R ₊ × R内の点を定義します。 $${\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({\frac {tb}{a}}\right),}$$

関数xをスケールaの部分空間に投影すると、ウェーブレット係数 を持つ次の形になります。 $${\displaystyle x_{a}(t)=\int _{\mathbb {R} }WT_{\psi }\{x\}(a,b)\cdot \psi _{a,b}(t)\,db}$$ $${\displaystyle WT_{\psi }\{x\}(a,b)=\langle x,\psi _{a,b}\rangle =\int _{\mathbb {R} }x(t){\psi _{a,b}(t)}\,dt.}$$

信号xの解析では、ウェーブレット係数を信号の スケールオグラムに組み立てることができます。

いくつかの連続ウェーブレットのリストを参照してください。

すべてのウェーブレット係数を使用して信号を解析することは計算上不可能であるため、対応するウェーブレット係数から信号を再構成するには、上半平面の離散サブセットを選択すれば十分かどうか疑問に思うかもしれません。そのようなシステムの 1 つは、いくつかの実数パラメータa > 1、b > 0 に対するアフィンシステムです。半平面の対応する離散サブセットは、 Z内のm、nのすべての点 ( a ^m、nb a ^m )で構成されます。対応する子ウェーブレットは次のように与えられます 。$${\displaystyle \psi _{m,n}(t)={\frac {1}{\sqrt {a^{m}}}}\psi \left({\frac {t-nba^{m}}{a^{m}}}\right).}$$

有限エネルギーの任意の信号xを式で 再構築するための十分な条件は 、関数がL ² ( R )の正規直交基底を形成することです。 $${\displaystyle x(t)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\sum _{n\in \mathbb {Z} }\langle x,\,\psi _{m,n}\rangle \cdot \psi _{m,n}(t)}$$${\displaystyle \{\psi _{m,n}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$

離散ウェーブレット変換では、上半平面の各有界矩形領域に対して有限個のウェーブレット係数しかありません。それでも、各係数は積分の評価を必要とします。特別な状況では、スケーリングおよびシフトされたウェーブレットが多重解像度解析を形成する場合、この数値的複雑さを回避できます。これは、補助関数、L ² ( R )の父ウェーブレットφが存在し、a が整数であることを意味します。典型的な選択は、a = 2 およびb = 1 です。最も有名な父ウェーブレットと母ウェーブレットのペアは、Daubechies 4 タップ ウェーブレットです。すべての正規直交離散ウェーブレット基底が多重解像度解析に関連付けられるわけではないことに注意してください。たとえば、Journe ウェーブレットは多重解像度解析を許可しません。^[9]

マザー ウェーブレットとファザー ウェーブレットからサブスペースが構築されます。 ファザー ウェーブレットは時間領域の特性を保持し、マザー ウェーブレットは周波数領域の特性を保持します。 $${\displaystyle V_{m}=\operatorname {span} (\phi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ where }}\phi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\phi (2^{-m}t-n)}$$ $${\displaystyle W_{m}=\operatorname {span} (\psi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ where }}\psi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\psi (2^{-m}t-n).}$$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle W_{i}}$

これらから、シーケンスが L ²の多重解像度解析 を形成し、サブスペースが上記のシーケンスの直交「差」であることが要求されます。つまり、W _mはサブスペースV _{m −1}内のV _mの直交補集合です。 $${\displaystyle \{0\}\subset \dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset V_{-2}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$$${\displaystyle \dots ,W_{1},W_{0},W_{-1},\dots }$$${\displaystyle V_{m}\oplus W_{m}=V_{m-1}.}$$

サンプリング定理と同様に、サンプリング距離が 2 ^mの空間V _{m は}、ほぼ 0 から 1/2 m -1 の周波数ベースバンドをカバーすると^{結論付ける}ことができます。直交補数として、W _{m はおおよそ [1/2} ^{m −1}、 1/2 ^m ] の帯域をカバーします。

これらの包含関係と直交関係、特に から、およびと なる恒等式を満たす シーケンスとの存在が分かります。 最初のペアの 2 番目の恒等式は、親ウェーブレット φ の改良方程式です。両方の恒等式のペアは、高速ウェーブレット変換のアルゴリズムの基礎を形成します。 ${\displaystyle V_{0}\oplus W_{0}=V_{-1}}$${\displaystyle h=\{h_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle g=\{g_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$$${\displaystyle g_{n}=\langle \phi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$$${\textstyle \phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }g_{n}\phi (2t-n),}$$${\displaystyle h_{n}=\langle \psi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$$${\textstyle \psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }h_{n}\phi (2t-n).}$

多重解像度解析から空間L ²の直交分解を次のように 導出します 。任意の信号または関数に対して、対応する部分空間の基底関数での表現は次のように与えられます 。 ここで 係数は 、$${\displaystyle L^{2}=V_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}-1}\oplus W_{j_{0}-2}\oplus W_{j_{0}-3}\oplus \cdots }$$${\displaystyle S\in L^{2}}$$${\displaystyle S=\sum _{k}c_{j_{0},k}\phi _{j_{0},k}+\sum _{j\leq j_{0}}\sum _{k}d_{j,k}\psi _{j,k}}$$$${\displaystyle c_{j_{0},k}=\langle S,\phi _{j_{0},k}\rangle }$$$${\displaystyle d_{j,k}=\langle S,\psi _{j,k}\rangle .}$$

時間信号をリアルタイムで処理するには、ウェーブレットフィルタが将来の信号値にアクセスしないことと、時間遅延を最小限に抑えることが不可欠です。時間因果ウェーブレット表現は、Szuら^[10]とLindeberg ^[11]によって開発されており、後者の方法ではメモリ効率の高い時間再帰実装も含まれています。

実用上および効率上の理由から、コンパクトなサポートを持つ連続微分可能関数が母（プロトタイプ）ウェーブレット（関数）として好まれる。しかし、（連続WTにおける）解析的要件を満たすため、および一般に理論上の理由から、空間の部分空間からウェーブレット関数を選択する。これは、 絶対積分可能かつ2乗積分可能なルベーグ測定可能関数の空間であり 、${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} ).}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|\,dt<\infty }$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt<\infty .}$$

この空間にいることで、ゼロ平均と平方ノルム 1 の条件を定式化できることが保証されます。 はゼロ平均の条件であり、 は平方ノルム 1 の条件です。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt=1}$$

ψ が連続ウェーブレット変換のウェーブレットとなるためには(正確な説明についてはそちらを参照)、安定して可逆な変換を得るために、マザーウェーブレットは許容基準 (大まかに言えば、一種の半微分可能性) を満たす必要があります。

離散ウェーブレット変換では、少なくともウェーブレット級数が空間 L ² ( R )内の単位元の表現であるという条件が必要です。離散 WT のほとんどの構成では、スケーリング関数によってウェーブレットを定義する多重解像度解析が使用されます。このスケーリング関数自体は、関数方程式の解です。

ほとんどの場合、ψをM以上の消失モーメントを持つ連続関数に制限すると便利です。つまり、すべての整数m < Mに対して $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{m}\,\psi (t)\,dt=0.}$$

マザーウェーブレットは係数aで拡大（または拡大）され、係数bで移動（またはシフト）されて、次のようになります（Morlet の元の定式化による）。

$${\displaystyle \psi _{a,b}(t)={1 \over {\sqrt {a}}}\psi \left({t-b \over a}\right).}$$

連続 WT の場合、ペア ( a、b ) は半平面R ₊ × R全体で変化します。離散 WT の場合、このペアはその離散的な部分集合 (アフィン群とも呼ばれます) 全体で変化します。

これらの関数は、しばしば（連続）変換の基底関数として誤って参照されます。実際、連続フーリエ変換と同様に、連続ウェーブレット変換には基底がありません。時間周波数解釈では、微妙に異なる定式化が使用されます（Delprat による）。

制限：

1. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{a1,b1}(t)\varphi \left({\frac {t-b}{a}}\right)\,dt}$a ₁ = aかつb ₁ = b のとき、
2. ${\displaystyle \Psi (t)}$有限の時間間隔を持つ

ウェーブレット変換は、信号が正弦波の合計として表されるフーリエ変換とよく比較されます。実際、フーリエ変換は、マザー ウェーブレットを選択した連続ウェーブレット変換の特殊なケースと見なすことができます 。一般的な主な違いは、ウェーブレットは時間と周波数の両方で局所化されているのに対し、標準のフーリエ変換は周波数でのみ局所化されていることです。短時間フーリエ変換(STFT) は、時間と周波数が局所化されている点でウェーブレット変換に似ていますが、周波数と時間の解像度のトレードオフに関する問題があります。 ${\displaystyle \psi (t)=e^{-2\pi it}}$

特に、矩形のウィンドウ領域を想定すると、STFTはわずかに異なるカーネルを持つ変換と考えることができます 。 ここで、はと表記されることが多く、ここで、およびuはそれぞれウィンドウ関数の長さと時間オフセットを表します。パーセバルの定理を使用すると、ウェーブレットのエネルギーを次のように定義できます。 これにより、時間u によるウィンドウのオフセットの時間サポートの2乗は次のように与えられます。 $${\displaystyle \psi (t)=g(t-u)e^{-2\pi it}}$$${\displaystyle g(t-u)}$${\textstyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-u}{\Delta _{t}}}\right)}$${\displaystyle \Delta _{t}}$$${\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$$$${\displaystyle \sigma _{u}^{2}={\frac {1}{E}}\int |t-u|^{2}|\psi (t)|^{2}\,dt}$$

そして、周波数に作用する窓のスペクトルサポートの2乗${\displaystyle \xi }$ $${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\xi }^{2}={\frac {1}{2\pi E}}\int |\omega -\xi |^{2}|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$$

時間領域での長方形ウィンドウとの乗算は、周波数領域での関数との畳み込みに相当し、その結果、短い/局所的な時間ウィンドウに対して誤ったリンギングアーティファクトが発生します。連続時間フーリエ変換では、この畳み込みはフーリエ空間でのデルタ関数との畳み込みであり、結果として信号の真のフーリエ変換が得られます。ウィンドウ関数は、ガウスなどの他のアポダイジング フィルタである可能性があります。ウィンドウ関数の選択は、真のフーリエ変換に対する近似誤差に影響します。 ${\displaystyle \operatorname {sinc} (\Delta _{t}\omega )}$${\displaystyle \Delta _{t}\to \infty }$${\displaystyle x(t)}$

STFT では、特定の解像度セルの時間帯域幅積を超えることはできません。すべての STFT 基底要素は、すべての時間シフトまたはオフセットに対して均一なスペクトルおよび時間サポートを維持し、それによって低周波数と高周波数で時間的に等しい解像度を実現します。解像度は、サンプリング幅によってのみ決定されます。

対照的に、ウェーブレット変換の多重解像度特性は、ウェーブレット変換のスケーリング特性によって高周波数の短い時間幅を維持しながら、低周波の大きな時間サポートを可能にします。この特性は、従来の時間周波数解析を時間スケール解析に拡張します。^[12]

離散ウェーブレット変換は計算がそれほど複雑ではなく、高速フーリエ変換(FFT)のO( N  log  N )に比べてO( N ) の時間がかかります。この計算上の利点は変換に固有のものではなく、離散フーリエ変換 (DFT) と同じ基底関数を使用する FFT の等間隔の周波数分割とは対照的に、周波数の対数分割を選択していることを反映しています。^{[13]この複雑さは、フィルター サイズが信号サイズに関係ない場合にのみ適用されます。}シャノン ウェーブレットなどのコンパクト サポートのないウェーブレットでは、O( N ² ) が必要になります。(たとえば、O( N )の複雑さの対数フーリエ変換も存在しますが、元の信号を時間的に対数的にサンプリングする必要があり、特定の種類の信号にのみ役立ちます。^[14] )

ウェーブレット (またはウェーブレット ファミリ) は、さまざまな方法で定義できます。

直交ウェーブレットは、スケーリング フィルター (長さ 2 N、合計 1のローパス有限インパルス応答(FIR) フィルター)によって完全に定義されます。双直交ウェーブレットでは、個別の分解フィルターと再構成フィルターが定義されます。

直交ウェーブレットを使用した解析では、ハイパス フィルターはローパスの 直交ミラー フィルターとして計算され、再構成フィルターは分解フィルターの時間反転になります。

Daubechies ウェーブレットと Symlet ウェーブレットは、スケーリング フィルターによって定義できます。

ウェーブレットは、時間領域における ウェーブレット関数 ψ( t ) (つまり、マザーウェーブレット) とスケーリング関数 φ( t ) (ファザーウェーブレットとも呼ばれる) によって定義されます。

ウェーブレット関数は、実質的にはバンドパスフィルタであり、各レベルでスケーリングすると帯域幅が半分になります。これにより、スペクトル全体をカバーするには無限の数のレベルが必要になるという問題が発生します。スケーリング関数は、変換の最低レベルをフィルタリングし、すべてのスペクトルがカバーされるようにします。詳細な説明については、 ^{[15]を参照してください。}

コンパクトサポートを持つウェーブレットの場合、 φ( t ) は長さが有限であると見なすことができ、スケーリングフィルタgと同等です。

マイヤーウェーブレットはスケーリング関数によって定義できる

ウェーブレットは、ウェーブレット関数 ψ( t ) としてのみ時間領域表現を持ちます。

たとえば、メキシカン ハット ウェーブレットはウェーブレット関数によって定義できます。いくつかの連続ウェーブレットのリストを参照してください。

ウェーブレットの開発は、20 世紀初頭のアルフレッド ハールの研究から始まる、いくつかの別々の思考の流れに結び付けられます。その後、デニス ガボールの研究により、ウェーブレットと同様に構築され、同様の目的に適用されるガボール原子(1946)が生まれました。

それ以降のウェーブレット理論への顕著な貢献としては、 1975年のジョージ・ツヴァイクによる連続ウェーブレット変換（CWT）の発見（もともとは蝸牛変換と呼ばれ、音に対する耳の反応を研究しているときに発見された）、^[16]ピエール・グーピヨー、アレックス・グロスマン、ジャン・モーレによる現在CWTとして知られるものの定式化（1982年）、ヤン・オロフ・ストロームバーグによる離散ウェーブレットに関する初期の研究（1983年）、線形位相を備えたル・ガル・タバタバイ（LGT）5/3タップ非直交フィルタバンク（1988年）、^{[17] [18] [19]} イングリッド・ドーベシーのコンパクトサポート付き直交ウェーブレット（1988年）、ステファン・マラットの非直交マルチ解像度フレームワーク（1989年）、アリ・アカンスの二項QMF （1989年）などがあげられる。 (1990)、ナタリー・デルプラットのCWTの時間周波数解釈(1991)、ニューランドの調和ウェーブレット変換(1993)、およびアミール・サイードとウィリアム・A・パールマンが1996年に開発した階層的木における集合分割(SPIHT)などがある。^[20]

JPEG 2000規格は、1997 年から 2000 年にかけて、トゥーラジ・エブラヒミ (後の JPEG 会長) が議長を務めるJoint Photographic Experts Group (JPEG) 委員会によって開発されました。 ^[21]元のJPEG形式で使用された DCT アルゴリズムとは対照的に、JPEG 2000 では離散ウェーブレット変換(DWT) アルゴリズムが使用されています。非可逆圧縮アルゴリズムにはCDF 9/7 ウェーブレット変換 (1992 年に Ingrid Daubechies が開発)が使用され、可逆圧縮アルゴリズムには Le Gall–Tabatabai (LGT) 5/3 離散時間フィルタ バンク (1988 年に Didier Le Gall と Ali J. Tabatabai が開発) が使用されています。^[22] Motion JPEG 2000拡張機能を含むJPEG 2000テクノロジは、 2004 年にデジタル シネマのビデオ コーディング規格として選択されました。^[23]

• アルフレッド・ハールによる最初のウェーブレット (ハールのウェーブレット) (1909 年)
• 1970年代以降:ジョージ・ツヴァイク、ジャン・モルレ、アレックス・グロスマン
• 1980年代以降：イヴ・マイヤー、ディディエ・ル・ガル、アリ・J・タバタバイ、ステファン・マラー、イングリッド・ドーベシー、ロナルド・コイフマン、アリ・アカンス、ヴィクター・ウィッカーハウザー
• 1990 年代以降: ナタリー・デルプラット、ニューランド、アミール・サイード、ウィリアム・A・パールマン、トゥラジ・エブラヒミ、JPEG 2000

ウェーブレットは、特定の関数または連続時間信号を異なるスケール コンポーネントに分割するために使用される数学関数です。通常、各スケール コンポーネントに周波数範囲を割り当てることができます。その後、各スケール コンポーネントを、そのスケールに一致する解像度で調べることができます。ウェーブレット変換は、ウェーブレットによる関数の表現です。ウェーブレットは、有限長または急速に減衰する振動波形 (「マザー ウェーブレット」) の拡大縮小および変換されたコピー (「ドーター ウェーブレット」) です。ウェーブレット変換は、不連続性や鋭いピークを持つ関数を表現する場合や、有限、非周期的、非定常な信号を正確に分解および再構築する場合に、従来のフーリエ変換よりも優れています。

ウェーブレット変換は、離散ウェーブレット変換(DWT) と連続ウェーブレット変換(CWT) に分類されます。DWT と CWT はどちらも連続時間 (アナログ) 変換であることに注意してください。これらは連続時間 (アナログ) 信号を表すために使用できます。CWT はすべての可能なスケールと変換に対して動作しますが、DWT はスケールと変換値の特定のサブセットまたは表現グリッドを使用します。

ウェーブレット変換は多数あり、それぞれ異なるアプリケーションに適しています。完全なリストについてはウェーブレット関連の変換のリストを参照してください。一般的なものを以下に示します。

• 連続ウェーブレット変換(CWT)
• 離散ウェーブレット変換(DWT)
• 高速ウェーブレット変換(FWT)
• リフティングスキームと一般化リフティングスキーム
• ウェーブレットパケット分解(WPD)
• 定常ウェーブレット変換(SWT)
• 分数フーリエ変換(FRFT)
• 分数ウェーブレット変換(FRWT)

一般化された変換は数多くありますが、ウェーブレット変換はその特殊なケースです。たとえば、ヨセフ・ジョセフ・セグマンはハイゼンベルク群にスケールを導入し、時間、スケール、周波数の関数である連続変換空間を生み出しました。CWT は、結果として得られる 3D 時間スケール周波数ボリュームの 2 次元スライスです。

一般化変換のもう 1 つの例は、チャープレット変換です。この変換でも、CWT はチャープレット変換の 2 次元スライスになります。

一般化変換の重要な応用分野には、高周波数分解能が極めて重要なシステムが含まれます。たとえば、直接空間と逆空間の中間にある暗視野電子光学変換は、原子クラスタリングの調和解析、つまり結晶と結晶欠陥の研究に広く使用されています。^[24]現在、透過型電子顕微鏡は、あらゆる種類のナノ構造における原子周期性に関するピコメートル規模の情報を含むデジタル画像を提供できるため、高周波数分解能の中間変換（ブラシレット^[28]やリッジレット^{[29]など）の}パターン認識^[25]や歪み^[26] /計測^[27]のアプリケーションの範囲が急速に拡大しています。

分数ウェーブレット変換（FRWT）は、分数フーリエ変換領域における古典的なウェーブレット変換の一般化である。この変換は、時間領域と分数領域の情報を同時に提供し、信号を時間-分数-周波数平面で表現することができる。^[30]

一般的に、信号がすでにサンプリングされている場合、 DWTの近似値はデータ圧縮に使用され、CWTは信号解析に使用されます。^{[31] [32]}したがって、DWT近似値は工学やコンピュータサイエンスでよく使用され、^[33] CWTは科学研究で使用されます。^[34]

他の変換と同様に、ウェーブレット変換を使用してデータを変換し、変換されたデータをエンコードすることで、効果的な圧縮を実現できます。たとえば、JPEG 2000 は、双直交ウェーブレットを使用する画像圧縮規格です。これは、フレームが過剰完備であっても、タイトなフレーム(ベクトル空間のフレームの種類を参照) であり、同じフレーム関数 (複素ウェーブレットの場合の共役を除く) が分析と合成の両方、つまり順方向変換と逆方向変換の両方で使用されることを意味します。詳細については、ウェーブレット圧縮を参照してください。

関連する用途として、ウェーブレット係数しきい値設定（ウェーブレット収縮とも呼ばれる）に基づくデータの平滑化/ノイズ除去があります。不要な周波数成分に対応するウェーブレット係数を適応的にしきい値設定することで、平滑化やノイズ除去操作を実行できます。

ウェーブレット変換は通信アプリケーションにも使用され始めています。ウェーブレットOFDMはHD-PLC（パナソニックが開発した電力線通信技術）で使用される基本的な変調方式であり、 IEEE 1901規格に含まれるオプションモードの1つでもあります。ウェーブレットOFDMは従来のFFT OFDMよりも深いノッチを実現でき、ガードインターバル（FFT OFDMシステムでは通常大きなオーバーヘッドとなる）を必要としません。^[35]

多くの場合、信号は正弦波の和としてうまく表現できます。しかし、突然の不連続性を伴う非連続信号について考えてみましょう。この信号も正弦波の和として表現できますが、無限の数が必要となり、ギブス現象として知られています。これには無限の数のフーリエ係数が必要となり、圧縮などの多くの用途では実用的ではありません。ウェーブレットは時間局所的な動作をするため、不連続性を伴うこれらの信号の記述により有効です (フーリエ変換とウェーブレット変換はどちらも周波数局所的ですが、ウェーブレットにはさらに時間局所化特性があります)。このため、実際には多くの種類の信号がフーリエ領域では非スパースであっても、ウェーブレット領域では非常にスパースである可能性があります。これは特に信号の再構成、特に最近人気の高い圧縮センシングの分野で有効です。 (短時間フーリエ変換(STFT) も時間と周波数に局所化されていますが、周波数と時間の解像度のトレードオフで問題が発生することが多いことに注意してください。ウェーブレットは、多重解像度解析により、より優れた信号表現となります。)

これが、ウェーブレット変換が現在、従来のフーリエ変換に代わって、膨大な数のアプリケーションに採用されている理由です。分子動力学、カオス理論、^[36] 第一原理計算、天体物理学、重力波過渡データ解析、^{[37] [38]} 密度行列局在、地震学、光学、乱流、量子力学など、物理学の多くの分野でこのパラダイムシフトが見られました。 この変化は、画像処理、EEG、EMG、^[39] ECG解析、脳リズム、DNA解析、タンパク質解析、気候学、人間の性的反応解析、^[40]一般的な信号処理、音声認識、音響、振動信号、^[41] コンピュータグラフィックス、マルチフラクタル解析、スパースコーディングでも発生しています。コンピュータビジョンと画像処理では、スケール空間表現とガウス微分演算子の概念は、標準的なマルチスケール表現と見なされています。

ノイズのある信号 を測定するとします。ここで は信号を表し、 はノイズを表します。 は特定のウェーブレット基底でスパース表現を持ち、${\displaystyle x=s+v}$${\displaystyle s}$${\displaystyle v}$${\displaystyle s}$${\displaystyle v\ \sim \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

のウェーブレット変換を とします。ここで は信号成分のウェーブレット変換であり、 はノイズ成分のウェーブレット変換です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y=W^{T}x=W^{T}s+W^{T}v=p+z}$${\displaystyle p=W^{T}s}$${\displaystyle z=W^{T}v}$

のほとんどの要素は0か0に近い値であり、${\displaystyle p}$${\displaystyle z\ \sim \ \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

は直交なので、推定問題は iidガウスノイズ内の信号の回復に相当します。はスパースなので、1 つの方法は にガウス混合モデルを適用することです。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

事前分布 を仮定します。ここで、 は「有意な」係数の分散であり、 は「有意でない」係数の分散です。 ${\displaystyle p\ \sim \ a{\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{1}^{2})+(1-a){\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{2}^{2})}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

そして、は収縮係数と呼ばれ、事前分散と に依存します。収縮しきい値を下回る係数をゼロに設定することにより、逆変換が適用されると、スパース性の仮定により、予想どおり少量の信号が失われます。より大きな係数はスパース性により主に信号を表すと予想され、統計的には、ノイズの大部分はあっても、そのような低い振幅の係数で表される信号はごくわずかであると予想されます...したがって、ゼロ化操作により、ノイズの大部分が除去され、信号はほとんど除去されないと予想されます。通常、しきい値を超える係数はこのプロセス中に変更されません。ウェーブレットベースのノイズ除去アルゴリズムの中には、このような減衰によって除去されると予想されるノイズ量の統計的推定に基づいて、より大きな係数も減衰させるものがあります。 ${\displaystyle {\tilde {p}}=E(p/y)=\tau (y)y}$${\displaystyle \tau (y)}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

最後に逆ウェーブレット変換を適用して、${\displaystyle {\tilde {s}}=W{\tilde {p}}}$

アガルワルらは、異なる時間スケールで複雑なネットワークとして気候を構築し調査するためのウェーブレットベースの高度な線形^[42]および非線形^[43]手法を提案した。異なる時間スケールのSSTデータセットを使用して構築された気候ネットワークは、気候プロセスのウェーブレットベースのマルチスケール分析が、プロセスを1つの時間スケールでのみ分析した場合に見逃される可能性のあるシステムダイナミクスをよりよく理解できる可能性を秘めていると主張した ^[44]。

• ベイルキン (18)
• ムーアウェーブレットモーレットウェーブレット
• 双直交近似コイフレット (BNC) ウェーブレット
• コイフレット（6、12、18、24、30）
• Cohen-Daubechies-Feauveau ウェーブレット(CDF N/P または Daubechies 双直交ウェーブレットと呼ばれることもあります)
• ドーブシー ウェーブレット(2、4、6、8、10、12、14、16、18、20 など)
• 二項QMF（Daubechiesウェーブレットとも呼ばれる）
• ハールウェーブレット
• マシューウェーブレット
• ルジャンドルウェーブレット
• ヴィラセノールウェーブレット
• シムレット^[45]

• ベータウェーブレット
• エルミートウェーブレット
• マイヤーウェーブレット
• メキシカンハットウェーブレット
• ポアソンウェーブレット
• シャノンウェーブレット
• スプラインウェーブレット
• ストロンバーグウェーブレット

• 複雑なメキシカンハットウェーブレット
• fbsp ウェーブレット
• モルレウェーブレット
• シャノンウェーブレット
• 修正モルレウェーブレット

• チャープレット変換
• カーヴレット
• デジタルシネマ
• 次元削減
• フィルターバンク
• フーリエ変換
• フラクタル圧縮
• 分数フーリエ変換
• ガボールウェーブレット § ウェーブレット空間^[46]
• ホイヘンス・フレネル原理（物理ウェーブレット）
• JPEG2000
• 不均等な間隔のデータを含むあらゆるデータの周期性を計算するための最小二乗スペクトル解析
• モルレウェーブレット
• 多重解像度解析
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• 非分離ウェーブレット
• スケールスペース
• スケール相関
• シアレット
• 短時間フーリエ変換
• スペクトログラム
• 超広帯域無線 - ウェーブレットを送信
• 多次元信号解析のためのウェーブレット

• Haar A.、「Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme」、Mathematische Annalen、69、331～ 371 ページ、1910 年。
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• Ali Akansuと Richard Haddad、「Multiresolution Signal Decomposition: Transforms, Subbands, Wavelets」、Academic Press、1992 年、ISBN 0-12-047140-X。 
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• 「ウェーブレットによって研究者はデータを変換し、理解できるようになる」Quanta Magazine 2021-10-13 2021-10-20閲覧。

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Wikiquote にWaveletに関する引用があります。

• 「ウェーブレット解析」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 第 1 回 NJIT ウェーブレットシンポジウム (1990 年 4 月 30 日) (米国での最初のウェーブレット会議)
• 二項QMFドーブシーウェーブレット
• ウェーブレット、ギルバート・ストラング著、アメリカン・サイエンティスト 82 (1994) 250-255。(非常に短くて優れた入門書)
• 2004 年にカリフォルニア大学サンタバーバラ校で行われたウェーブレットに関する講座
• 子どものためのウェーブレット (PDF ファイル) (入門編 (とても賢い子ども向け!))
• WITS: スターレットはどこにありますか? アクティブレットから x-レット、バンドレット、コンターレット、カーブレット、ノイズレット、ウェッジレットまで、-let で終わる数十のウェーブレットとウェーブレット関連用語の辞書。
• 分数スプライン ウェーブレット変換は、分数 b スプラインに基づく分数ウェーブレット変換について説明します。
• 「マルチスケール幾何学的表現のパノラマ、空間、方向、周波数の選択性の絡み合い」では、2 次元の有向ウェーブレットと関連する幾何学的マルチスケール変換に関するチュートリアルを提供します。
• ルネ・プシンガーによるウェーブレットの簡潔な入門
• クレメンス・ヴァレンス著『ウェーブレットの本当にわかりやすいガイド』
• 「ウェーブレットによって研究者はデータを変換し、理解できるようになる」Quanta Magazine 2021-10-13 2021-10-20閲覧。