多重解像度解析

多重解像度解析（MRA）または多重スケール近似（MSA ）は、実用上重要な離散ウェーブレット変換（DWT）のほとんどの設計方法であり、高速ウェーブレット変換（FWT）アルゴリズムの根拠となっています。この手法は、1988/89年にステファン・マラットとイヴ・メイヤーによってこの文脈で導入され、微分方程式論におけるマイクロローカル解析（アイロン法）や、 1981/83年にピーター・J・バート、エドワード・H・アデルソン、ジェームズ・L・クロウリーによって導入された画像処理のピラミッド法に前身があります。

ルベーグ空間の多重解像度解析${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$入れ子になった部分空間のシーケンスから構成される

${\displaystyle \{0\}\subset \dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$

それは、時間空間およびスケール周波数における特定の自己相似関係、ならびに完全性および規則性関係を満たす。

• 時間における自己相似性は、各部分空間V _{k が}2 ^kの整数倍によるシフトに対して不変であることを要求する。つまり、各${\displaystyle f\in V_{k},\;m\in \mathbb {Z} }$関数gは次のように定義される。${\displaystyle g(x)=f(x-m2^{k})}$また、${\displaystyle V_{k}}$。
• スケールの自己相似性は、すべての部分空間が${\displaystyle V_{k}\subset V_{l},\;k>l,}$これらは互いに時間スケールされたバージョンであり、それぞれ拡大係数 2 ^{k-l で}スケーリングされます。つまり、各${\displaystyle f\in V_{k}}$があります${\displaystyle g\in V_{l}}$と${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R}$ :\;g(x)=f(2^{kl}x)} 。
• 部分空間のシーケンスにおいて、k > lの場合、 l番目の部分空間の空間解像度 2 ^lは、 k番目の部分空間の解像度 2 ^kよりも高い。
• 規則性から、モデル部分空間V ₀は、1 個または有限個の生成関数の整数シフトの線形包(代数的に、あるいは位相的に閉じている)として生成される必要がある。${\displaystyle \phi }$または${\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{r}}$これらの整数シフトは、少なくとも部分空間のフレームを形成するはずです。${\displaystyle V_{0}\subset L^{2}(\mathbb {R} )}$これは、無限遠での減衰に特定の条件を課します。生成関数は、スケーリング関数またはファーザーウェーブレットとも呼ばれます。ほとんどの場合、これらの関数はコンパクトな台を持つ区分的に連続であることが求められます。
• 完全性は、それらの入れ子になった部分空間が空間全体を埋め尽くすことを要求する。つまり、それらの和集合は稠密でなければならない。${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$また、それらが過度に冗長でないこと、つまり、それらの共通部分にはゼロ要素のみが含まれるべきであること。

直交シフトを伴う、連続的（または少なくとも有界変動を持つ）かつコンパクトな台を持つスケーリング関数の場合、いくつかの推論を行うことができる。この種の関数の存在証明は、イングリッド・ドーベシエによるものである。

スケーリング関数がコンパクトなサポートを持つと仮定すると、${\displaystyle V_{0}\subset V_{-1}}$これは、係数の有限列が存在することを意味する。${\displaystyle a_{k}=2\langle \phi (x),\phi (2x-k)\rangle }$のために${\displaystyle |k|\leq N}$、 そして${\displaystyle a_{k}=0}$のために${\displaystyle |k|>N}$、したがって

${\displaystyle \phi (x)=\sum _{k=-N}^{N}a_{k}\phi (2x-k).}$

マザーウェーブレットまたは単にウェーブレットと呼ばれる別の関数を定義します

${\displaystyle \psi (x):=\sum _{k=-N}^{N}(-1)^{k}a_{1-k}\phi (2x-k),}$

空間${\displaystyle W_{0}\subset V_{-1}}$は、マザーウェーブレットの整数シフトの（閉じた）線形包として定義され、 の直交補集合である。${\displaystyle V_{0}}$内部${\displaystyle V_{-1}}$[ ^{1 ]}言い換えれば^、${\displaystyle V_{-1}}$は直交和（で表される）である${\displaystyle \oplus }$） の${\displaystyle W_{0}}$そして${\displaystyle V_{0}}$自己相似性により、縮小版が存在する。${\displaystyle W_{k}}$の${\displaystyle W_{0}}$そして完全性によって

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )={\mbox{\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }W_{k} の閉包}$

したがって、セット

${\displaystyle \{\psi _{k,n}(x)={\sqrt {2}}^{-k}\psi (2^{-k}xn):\;k,n\in \mathbb {Z} \}}$

は、可算完全正規直交ウェーブレット基底である。${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$。

• マルチグリッド法
• マルチスケールモデリング
• スケール空間
• 時間周波数解析
• ウェーブレット

• Chui, Charles K. (1992). 『ウェーブレット入門』サンディエゴ：アカデミック・プレス。ISBN 0-585-47090-1。
• Akansu, AN ; Haddad, RA (1992).多重解像度信号分解：変換、サブバンド、およびウェーブレット. Academic Press. ISBN 978-0-12-047141-6。
• Crowley, JL, (1982).視覚情報の表現、博士論文、カーネギーメロン大学、1982年。
• Burrus, CS ; Gopinath, RA ; Guo, H. (1997).ウェーブレットとウェーブレット変換入門：入門編. Prentice-Hall. ISBN 0-13-489600-9。
• Mallat, SG (1999). A Wavelet Tour of Signal Processing . Academic Press. ISBN 0-12-466606-X。