絞り込み可能な機能

数学のウェーブレット解析の分野において、精緻化可能な関数とは、ある種の自己相似性を満たす関数のことである。関数がマスクに関して精緻化可能であるとは以下の場合である。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle \varphi (x)=2\cdot \sum _{k=0}^{N-1}h_{k}\cdot \varphi (2\cdot xk)}$

この条件は、改良方程式、膨張方程式、または2スケール方程式と呼ばれます。

離散マスクと膨張演算子を持つ関数の畳み込み（星印 * で示される）を使用すると、より簡潔に記述できます。 ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \varphi =2\cdot D_{1/2}(h*\varphi )}$

これは、関数を離散マスクで畳み込み、それをスケールバックすると、再び関数が得られることを意味します。反復関数システムとde Rham 曲線との類似点があります。

演算子は線形です。 精緻化可能な関数は、その演算子の固有関数です。 その絶対値は一意に定義されません。 つまり、 が精緻化可能な関数である場合、任意の に対して関数も精緻化可能です。 ${\displaystyle \varphi \mapsto 2\cdot D_{1/2}(h*\varphi )}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c\cdot \varphi }$

これらの関数は、スケーリング関数としてウェーブレット理論において基本的な役割を果たします。

精緻化可能な関数は暗黙的にのみ定義されます。同じマスクに関して精緻化可能な関数が複数存在する場合もあります。 が有限のサポートを持ち、整数引数での関数値が求められる場合、2 スケール方程式は連立線形方程式のシステムになります。 ${\displaystyle \varphi}$

を の非ゼロ要素の最小インデックス、を の非ゼロ要素の最大インデックスとすると、次式が得られます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1)\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{a}&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1)\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}.}$$

離散化演算子と の伝達行列を使用すると、簡潔に次のように記述できます 。${\displaystyle Q}$${\displaystyle h}$${\displaystyle T_{h}}$$${\displaystyle Q\varphi =T_{h}Q\varphi .}$$

これもまた固定小数点方程式です。しかし、これは固有ベクトル-固有値問題として考えることができます。つまり、 が固有値 1 を持つ 場合にのみ、有限サポートの精緻化可能な関数が存在します (ただし、必ずしもそうとは限りません) 。${\displaystyle T_{h}}$

積分点の値から、二項点、つまりおよび の形式の点の値を導くことができます。 ${\displaystyle k\cdot 2^{-j}}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \varphi =D_{1/2}(2\cdot (h*\varphi ))}$

${\displaystyle D_{2}\varphi =2\cdot (h*\varphi )}$

${\displaystyle Q(D_{2}\varphi )=Q(2\cdot (h*\varphi ))=2\cdot (h*Q\varphi )}$

星印は、関数による離散フィルタの畳み込みを表します。このステップで、形式の点における値を計算できます。を で繰り返し置き換えることで、より細かいスケールにおける値をすべて取得できます。 ${\displaystyle {\frac {k}{2}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle D_{2}\varphi }$

$${\displaystyle Q(D_{2^{j+1}}\varphi )=2\cdot (h*Q(D_{2^{j}}\varphi ))}$$

が に関して精緻化可能であり、 がに関して精緻化可能である場合、 はに関して精緻化可能です。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \varphi *\psi }$${\displaystyle h*g}$

が に関して精緻化可能であり、導関数が存在する場合、 はに関して精緻化可能です。これは、畳み込みオペランドの 1 つがディラック インパルスの導関数である畳み込み特性の特殊なケースとして解釈できます。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \varphi '}$${\displaystyle \varphi '}$${\displaystyle 2\cdot h}$

が に関して精緻化可能であり、の原始微分がある場合、原始微分は マスク に関して精緻化可能であり、ここで定数はを満たす必要があります。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \Phi }$${\textstyle \Phi (t)=\int _{0}^{t}\varphi (\tau )\,\mathrm {d} \tau }$${\displaystyle t\mapsto \Phi (t)+c}$${\textstyle {\frac {1}{2}}\cdot h}$${\displaystyle c}$${\textstyle c\cdot \left(1-\sum _{j}h_{j}\right)=\sum _{j}h_{j}\cdot \Phi (-j)}$

が有界サポートを持つ場合、積分をヘヴィサイド関数との畳み込みとして解釈し、畳み込み法則を適用できます。 ${\displaystyle \varphi }$

2 つの精緻化可能な関数とその変換のスカラー積の計算は、上記の 2 つの特性に分解できます。 を変換演算子とします。 が成り立ちます。 ここでは畳み込みに関するの随伴関数、つまり はの反転された複素共役バージョン、つまりです。 ${\displaystyle T}$$${\displaystyle \langle \varphi ,T_{k}\psi \rangle =\langle \varphi *\psi ^{*},T_{k}\delta \rangle =(\varphi *\psi ^{*})(k)}$$${\displaystyle \psi ^{*}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{*}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{*}(t)={\overline {\psi (-t)}}}$

上記の性質により、は に関して精緻化可能であり、積分引数におけるその値は転送行列の固有ベクトルとして計算できます。この考え方は、2つ以上の精緻化可能な関数の積の積分に簡単に一般化できます。^[1]${\displaystyle \varphi *\psi ^{*}}$${\displaystyle h*g^{*}}$

精緻化可能な関数は通常フラクタル形状をしています。連続的または滑らかな精緻化可能な関数の設計は明らかではありません。強制的な滑らかさを扱う前に、精緻化可能な関数の滑らかさを測定する必要があります。Villemoesマシン^{[2]を使用すると}、ソボレフ指数 の観点から精緻化可能な関数の滑らかさを計算できます。

最初のステップでは、リファインメント マスクは、平滑度係数の累乗であるフィルタ（これは二項マスクです）と残りの に分割されます。大まかに言えば、二項マスクは平滑度を高め、 平滑度を再び低下させるフラクタル成分を表します。ここで、ソボレフ指数は、おおよそのスペクトル半径のマイナス対数のオーダーです。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle b}$${\displaystyle q}$${\displaystyle b}$${\displaystyle T_{q*q^{*}}}$

精緻化可能な関数の概念は、 からの関数である、1 つ以上の変数の関数に一般化できます。最も単純な一般化は、テンソル積に関するものです。および がそれぞれおよびに関して精緻化可能である場合、 は に関して精緻化可能です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \varphi \otimes \psi }$${\displaystyle h\otimes g}$

この方式は、異なる次元に関する異なるスケーリング係数や、次元間のデータの混合にまでさらに一般化できます。^[3] 信号を 2 などのスカラー係数でスケーリングする代わりに、座標は整数の行列によって変換されます。この方式が機能するためには、 のすべての固有値の絶対値が1 より大きくなければなりません。( であっても十分かもしれません。) ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \left|\det M\right|>1}$

形式的には、2 スケール方程式はあまり変化しません。 $${\displaystyle \varphi (x)=\left|\det M\right|\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} ^{d}}h_{k}\cdot \varphi (M\cdot x-k)}$$ $${\displaystyle \varphi =\left|\det M\right|\cdot D_{M^{-1}}(h*\varphi )}$$

• 定義を分布に拡張すると、ディラック・インパルスは単位ベクトル に関して精緻化可能となり、クロネッカーのデルタとして知られるようになります。ディラック分布の 次導関数は に関して精緻化可能です。${\displaystyle \delta }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}\cdot \delta }$
• ヘヴィサイド関数はに関して精緻化可能である。${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \delta }$
• 指数を持つ切断されたべき関数はに関して精緻化可能です。${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {1}{2^{n+1}}}\cdot \delta }$
• 三角関数は、精緻化可能な関数である。^{[4]連続する積分ノードを持つ} Bスプライン関数は、畳み込み定理と区間の特性関数（ボックスカー関数）の精緻化可能性により、精緻化可能である。${\displaystyle [0,1)}$
• すべての多項式関数は精緻化可能である。すべての精緻化マスクには、定数因子まで一意に定義される多項式が存在する。次数のすべての多項式には、任意のマスクの型のマスクと畳み込みのべき乗によってすべて異なる多くの精緻化マスクが存在する。^[5]${\displaystyle n}$${\displaystyle v*(1,-1)^{n+1}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle (1,-1)^{n+1}}$
• 有理関数 が精緻化可能であるのは、部分分数として表現できる場合に限られます。ここで は正の自然数であり、 は有限個の非ゼロ元を持つ実数列（ローラン多項式）であり、 （ と読み替えてください）となります。ローラン多項式は、関連する精緻化マスクです。^[6]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (x)=\sum _{i\in \mathbb {Z} }{\frac {s_{i}}{(x-i)^{k}}}}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$${\displaystyle s|(s\uparrow 2)}$${\displaystyle \exists h(z)\in \mathbb {R} [z,z^{-1}]\ h(z)\cdot s(z)=s(z^{2})}$${\displaystyle 2^{k-1}\cdot h}$

• 区画分割方式