多重フラクタルシステム

多重フラクタルシステムは、単一の指数（フラクタル次元）だけではそのダイナミクスを記述するのに不十分なフラクタルシステムの一般化であり、代わりに指数の連続スペクトル（いわゆる特異スペクトル）が必要となる。^{[ 1 ]}

多重フラクタルシステムは自然界でよく見られます。海岸線の長さ、山岳地形^{[ 2 ]} 、完全に発達した乱流、自然光度時系列^{[ 3 ]} 、および現実世界のシーン^{[ 4 ]}などが含まれます。流体力学の乱流からインターネットトラフィック、金融、画像モデリング、テクスチャ合成、気象学、地球物理学など、 さまざまなコンテキストでモデルが提案されています。シーケンス（時系列）データの多重フラクタル性の起源は、中心極限定理に関連する数学的収​​束効果に起因するとされており、収束の焦点として、Tweedie指数分散モデル^{[ 5 ]}および幾何学的Tweedieモデル^{[ 6 ]}として知られる統計分布のファミリーがあります。 最初の収束効果は単一フラクタルシーケンスを生成し、2番目の収束効果は単一フラクタルシーケンスのフラクタル次元の変動の原因となります。^{[ 7 ]}

多重フラクタル解析は、データセットを調査するために使用され、多くの場合、他のフラクタルおよびラキュナリティ解析手法と組み合わせて使用​​されます。この手法では、パターンから抽出されたデータセットを歪ませて、データセット全体でスケーリングがどのように変化するかを示す多重フラクタルスペクトルを生成します。多重フラクタル解析は、複雑なネットワークの生成規則と機能を解読するために使用されてきました。^{[ 8 ]}多重フラクタル解析手法は、地震の予測や医療画像の解釈など、さまざまな実用的な状況に適用されています。^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

多重フラクタルシステムにおいて${\displaystyle s}$任意の点の周囲の挙動は、局所的なべき乗則によって記述される。

${\displaystyle s({\vec {x}}+{\vec {a}})-s({\vec {x}})\sim a^{h({\vec {x}})}.}$

指数${\displaystyle h({\vec {x}})}$これは特異指数と呼ばれ、点の周りの局所的な特異度または規則性の度合いを表します。${\displaystyle {\vec {x}}}$[ ^{12 ]​}

同じ特異指数を共有するすべての点によって形成される集合は、指数 h の特異多様体と呼ばれ、フラク​​タル次元のフラクタル集合である。${\displaystyle D(h):}$特異スペクトル。曲線${\displaystyle D(h)}$対${\displaystyle h}$これは特異スペクトルと呼ばれ、変数の統計的分布を完全に記述する。${\displaystyle s}$。

実際には、物理​​システムの多重フラクタル挙動は${\displaystyle X}$特異スペクトルによって直接的に特徴付けられるものではない${\displaystyle D(h)}$むしろ、データ分析によってマルチスケール指数にアクセスできるようになる。$\displaystyle \zeta (q),\ q\in {\mathbb {R} }}$実際、多重フラクタル信号は一般的にスケール不変性に従い、そのスケールに応じて多重解像度量に対してべき乗則的な振る舞いを示す。${\displaystyle a}$研究対象に応じて、これらのマルチ解像度量は、${\displaystyle T_{X}(a)}$、サイズのボックス内の局所平均である可能性があります${\displaystyle a}$距離に対する勾配${\displaystyle a}$スケールにおけるウェーブレット係数${\displaystyle a}$など。多重フラクタルオブジェクトの場合、通常は次のような全体的なべき乗則スケーリングが観察されます。

${\displaystyle \langle T_{X}(a)^{q}\rangle \sim a^{\zeta (q)}\ }$

少なくともある程度のスケール範囲とある程度のオーダー範囲において${\displaystyle q}$このような挙動が観察された場合、スケール不変性、自己相似性、またはマルチスケーリングについて議論される。^{[ 13 ]}

いわゆる多重フラクタル形式論を用いると、いくつかの適切な仮定の下で、特異スペクトルと${\displaystyle D(h)}$そして多重スケーリング指数${\displaystyle \zeta (q)}$ルジャンドル変換によって。${\displaystyle D(h)}$データの徹底的な局所分析が必要となり、その結果、計算が困難で数値的に不安定になり、${\displaystyle \zeta (q)}$対数-対数図における統計的平均と線形回帰の使用に依存しています。${\displaystyle \zeta (q)}$が既知であれば、推定値を推測できる。${\displaystyle D(h),}$シンプルなルジャンドル変換のおかげです。

多重フラクタルシステムは、乗法カスケードなどの確率過程によってモデル化されることが多い。${\displaystyle \zeta (q)}$これらは統計的に解釈され、分布の進化を特徴づける。${\displaystyle T_{X}(a)}$として${\displaystyle a}$より大きなスケールからより小さなスケールへと変化する。この変化はしばしば統計的間欠性と呼ばれ、ガウス分布モデルからの逸脱を示している。

乗法カスケードとしてモデル化することで、多重フラクタル特性の推定も可能になります。^{[ 14 ]}この方法は、比較的小規模なデータセットでも十分に機能します。データセットへの乗法カスケードの最大適合度は、完全なスペクトルを推定するだけでなく、誤差の妥当な推定値も提供します。^{[ 15 ]}

多重フラクタルスペクトルは、デジタル画像上のボックスカウンティングから決定できます。まず、ピクセルの分布を決定するためにボックスカウンティングスキャンを実行します。次に、この「質量分布」が一連の計算の基礎となります。^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}主な考え方は、多重フラクタルの場合、確率が${\displaystyle P}$多数のピクセル${\displaystyle m}$ボックス内に表示${\displaystyle i}$箱のサイズによって異なります${\displaystyle \epsilon }$ある指数に${\displaystyle \alpha }$これは、式0.0のように画像全体で変化します（注：対照的に、モノフラクタルでは、指数はセット全体で意味のある変化をしません）。${\displaystyle P}$は、式2.0のようにボックスカウントピクセル分布から計算されます。

${\displaystyle \epsilon }$=セットを調べるための任意のスケール（ボックスカウンティングにおけるボックスサイズ）

${\displaystyle i}$= セットの上に重ねられた各ボックスのインデックス${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle m_{[i,\epsilon ]}}$=任意のボックス内のピクセル数または質量、${\displaystyle i}$サイズ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle N_{\epsilon }}$= 各項目について、0ピクセルを超えるボックスの総数${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle P}$これは、式3.0および式3.1のように特定の方法で歪められたときにピクセル分布がどのように動作するかを観察するために使用されます。

${\displaystyle Q}$データセットを歪めるための指数として使用する任意の値の範囲

• いつ${\displaystyle Q=1}$、式3.0は1に等しく、すべての確率の通常の合計であり、${\displaystyle Q=0}$、各項は 1 に等しいので、合計は数えた箱の数に等しくなります。${\displaystyle N_{\epsilon }}$。

これらの歪んだ方程式は、さらに、スケール、分解、または一連の分割を行ったときにセットがどのように動作するかを扱うために使用されます。${\displaystyle \epsilon }$サイズの異なるピースをQで歪ませて、次の例のように、集合の次元の異なる値を求めます。

• 式3.0の重要な特徴は、指数のスケールに応じて変化することもわかることです。${\displaystyle \tau }$式4.0において：

したがって、一連の値は${\displaystyle \tau _{(Q)}}$は、式3.0の対数と対数の回帰直線の傾きから求めることができる。${\displaystyle \epsilon }$各${\displaystyle Q}$式4.1に基づくと：

• 一般化された次元の場合：

• ${\displaystyle \alpha _{(Q)}}$は、回帰直線の傾きとして推定される。${\displaystyle \log {A_{\epsilon ,Q}}}$対${\displaystyle \log {\epsilon }}$どこ：

• それから${\displaystyle f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}}$式5.3から求められます。

• 平均${\displaystyle \tau _{(Q)}}$は、対数-対数回帰直線の傾きとして推定される。${\displaystyle \tau _{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}$対${\displaystyle \epsilon }$、 どこ：

実際には、確率分布はデータセットのサンプリング方法に依存するため、適切なサンプリングを保証するための最適化アルゴリズムが開発されている。^{[ 16 ]}

^{多重フラクタル解析は、物理学[ 19 ] [ 20 ]}、情報科学、生物科学^{[ 21 ]}など、多くの分野で成功裏に利用されてきました。例えば、鉄筋コンクリートせん断壁表面の残留ひび割れパターンの定量化^{[ 22 ]などです。}

データセットの歪み分析

多重フラクタル解析は、さまざまなタイプのデータセットを特徴付けるために、いくつかの科学分野で使用されてきました。^{[ 23 ]}本質的に、多重フラクタル解析は、パターンから抽出されたデータセットに歪み係数を適用し、各歪みでデータがどのように振る舞うかを比較します。これは、図に示すように、「歪んだレンズ」を通してデータセットを見るのと同様に、多重フラクタルスペクトルとして知られるグラフを使用して行われます。^{[ 16 ]}実際には、いくつかのタイプの多重フラクタルスペクトルが使用されています。

D _Q vs Q

_{実用的な多重フラクタルスペクトルの1つは、D Q}対 Qのグラフです。ここで、D _{Q はデータセットの}一般化次元であり、Q は任意の指数の集合です。したがって、一般化次元という表現は、データセットの次元の集合を指します（ボックスカウントを使用して一般化次元を決定するための詳細な計算については、後述します）。

次元順序付け

_{D Q}対 Qのグラフの一般的なパターンは、パターンのスケーリングを評価するために使用できます。グラフは一般的に減少し、Q=0 の周りでシグモイド状になり、D _(Q=0) ≥ D _(Q=1) ≥ D _{(Q=2)となります。}図に示すように、このグラフのスペクトルの変化は、パターンを区別するのに役立ちます。この画像は、非フラクタル、モノフラクタル、およびマルチフラクタルのバイナリ画像のマルチフラクタル解析からの D _(Q)スペクトルを示しています。サンプル画像の場合と同様に、非フラクタルとモノフラクタルは、マルチフラクタルよりも平坦な D _(Q)スペクトルを持つ傾向があります。

一般化された次元は、重要な特定の情報も提供します。 D _(Q=0)は容量次元に等しく、これは、ここに示した図の分析では、ボックスカウント次元です。 D _(Q=1)は情報次元に等しく、 D _(Q=2)は相関次元に等しくなります。これは、マルチフラクタルの「マルチ」に関連しており、マルチフラクタルは D _(Q)対 Q スペクトルで複数の次元を持ちますが、モノフラクタルはその領域では比較的平坦なままです。^{[ 16 ] [ 17 ]}

f(α) 対 α

もう1つの有用な多重フラクタルスペクトルは、${\displaystyle f(\alpha )}$対${\displaystyle \alpha }$（計算を参照）。これらのグラフは一般的に、Q=0 でフラクタル次元に近似する最大値まで上昇し、その後下降します。D _Q対 Q スペクトルと同様に、非フラクタル、単一フラクタル、多重フラクタルのパターンを比較するのに役立つ典型的なパターンも示します。特に、これらのスペクトルでは、非フラクタルと単一フラクタルは特定の値に収束しますが、多重フラクタルのスペクトルは通常、より広い領域にわたって隆起を形成します。

• ド・ラーム曲線– カントール空間の像として得られる連続フラクタル曲線 
• 分数ブラウン運動– 確率論の概念 
• デトレンド変動解析– 時系列におけるべき乗則スケーリングを検出する方法 
• トゥイーディー分布– 確率分布のファミリー リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• マルコフスイッチング多重フラクタル– 資産収益のモデル 

• ファルコナー、ケネス・J. (2014). 「17. 多重フラクタル尺度」。フラクタル幾何学：数学的基礎と応用（第3版、第1版 ）。チチェスター：ワイリー。ISBN 978-1-119-94239-9。
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• マンデルブロ、ブノワ・B. (1997).金融におけるフラクタルとスケーリング：不連続性、集中、リスク。Selecta。ニューヨーク、ベルリン、ハイデルベルク：Springer。ISBN 978-0-387-98363-9。
• Harte, David (2001年6月26日). Multifractals . Chapman and Hall/CRC. doi : 10.1201/9781420036008 . ISBN 978-0-429-12366-5。
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• 多重フラクタルの可視化動画