ガウスフィルタ

電子工学と信号処理、主にデジタル信号処理において、ガウスフィルタは、インパルス応答がガウス関数（または、真のガウス応答は無限大のインパルス応答となるため、その近似値）であるフィルタである。ガウスフィルタは、ステップ関数入力に対してオーバーシュートがなく、立ち上がり時間と立ち下がり時間が最小になるという特性を持つ。この動作は、ガウスフィルタのグループ遅延が最小になるという事実と密接に関係している。ガウスフィルタは、不確定性原理の臨界点である空間拡散を最小限に抑えながら、高周波数の抑制という最適な組み合わせを持つ。これらの特性は、オシロスコープ^{[1]やデジタル通信システム[2]}などの分野で重要である。

数学的には、ガウス フィルターはガウス関数との畳み込みによって入力信号を変更します。この変換はワイエルシュトラス変換とも呼ばれます。

1次元ガウスフィルタのインパルス応答は次のように表される。

${\displaystyle g(x)={\sqrt {\frac {a}{\pi }}}e^{-ax^{2}}}$

周波数応答はフーリエ変換によって与えられる。

${\displaystyle {\hat {g}}(f)=e^{-\pi ^{2}f^{2}/a}}$

これらの式は、標準偏差をパラメータとして 表すこともできる。${\displaystyle f}$

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}$

周波数応答は次のように表される。

${\displaystyle {\hat {g}}(f)=e^{-f^{2}/(2\sigma _{f}^{2})}}$

の関数として をの2つの方程式で書き、の関数として を の2つの方程式で書き表すと、周波数領域における標準偏差と標準偏差の積は次のように表されることがわかる。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle \sigma_{f}}$${\displaystyle {\hat {g}}(f)}$

${\displaystyle \sigma \sigma _{f}={\frac {1}{2\pi }}}$、

ここで、標準偏差は物理的な単位で表されます。たとえば、時間と周波数の場合はそれぞれ秒とヘルツです。

2 次元では、方向ごとに 1 つずつ、2 つのガウス分布の積になります。

${\displaystyle g(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2})}}$ ^{[3] [4] [5]}

ここで、x は水平軸の原点からの距離、y は垂直軸の原点からの距離、σ はガウス分布の 標準偏差です。

ガウス伝達関数 多項式は、 の形のガウス関数の二乗のテイラー級数展開を使用して合成できます。ここで、 は、 で (-3.01dB に相当)となるように設定されます。^[6] の値は、この制約で 、またはおよそ -3.010 dB のカットオフ減衰の場合は 0.34657359 と計算できます。-3.010 dB 以外の減衰が必要な場合は、異なる減衰を使用して を再計算できます。 ${\displaystyle \epsilon ^{-a\omega ^{2}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \epsilon^{-a\omega^{2}}={\sqrt{1/2}}}$${\displaystyle \omega =1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a=-log{\bigg (}{\sqrt {1/2}}{\bigg )}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a=log(10^{(|dB|/20)})}$

上記のすべての基準を満たすには、ストップバンドゼロのない以下の形式である必要があります。 ${\displaystyle F(\omega )}$

${\displaystyle F(\omega )=\epsilon ^{-a\omega ^{2}}{\sqrt {(\epsilon ^{-a\omega ^{2}})^{2}}}={\sqrt {\frac {1}{\epsilon ^{2a\omega ^{2}}}}}}$

伝達関数を完成するために、0についてのテイラー級数展開で近似することができる。完全なテイラー級数を以下に示す。^[6]${\displaystyle \epsilon^{2a\omega^{2}}}$${\displaystyle \epsilon^{2a\omega^{2}}}$

${\displaystyle \epsilon^{2a\omega^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(2a)^{k}\omega^{2k}}{k!}}}$

フィルターが真のガウス関数をシミュレートできるかどうかは、級数からいくつの項が取られるかによって決まります。0 を超えて取られる項の数によって、フィルターの次数 N が決まります。

${\displaystyle F_{N}(\omega )={\sqrt {\frac {1}{\sum _{k=0}^{\mathbb {N} }{\frac {(2a)^{k}\omega ^{2k}}{k!}}}}}}$

周波数軸の場合、は に置き換えられます。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle j\omega }$

${\displaystyle F_{N}(j\omega )={\sqrt {\frac {1}{\sum _{k=0}^{\mathbb {N} }{\frac {(2a)^{k}(j\omega )^{2k}}{k!}}}}}{\bigg |}_{\text{左半平面}}}$

左半分の平面には極の半分だけが存在するため、伝達関数を構築するためにそれらの極だけを選択すると、上記のように方程式の平方根をとることにもなります。

= 1で -3.010 dB のカットオフ減衰を持つ 3 次ガウス フィルタでは、テイラー級数の項 k=0 から k=3 を使用して、2 乗ガウス関数を生成する必要があります。 ${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle F_{3}((j\omega )^{2})={\frac {1}{1.33333a^{3}(j\omega )^{6}+2a^{2}(j\omega ^{4})+2a(j\omega )^{2}+1}}={\frac {1}{-1.33333a^{3}\omega ^{6}+2a^{2}\omega ^{4}-2a\omega ^{2}+1}}}$

係数に吸収し、根を求めるアルゴリズムを使用して因数分解し、左半平面の極のみを使用して多項式を構築すると、必要な-3.010dBのカットオフ減衰を持つ3次ガウスフィルタの伝達関数が得られます^{[7] [8]}。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle F_{3}(j\omega )={\frac {1}{0.2355931(j\omega )^{3}+1.0078328(j\omega )^{2}+1.6458471(j\omega )+1}}}$

簡単な健全性チェックで評価すると、-2.986 dB という値が得られ、これは目標の -3.010 dB からわずか約 0.8% の誤差です。この誤差は次数が増えるにつれて減少します。さらに、すべてのガウスフィルタでは高周波数での誤差がより顕著になり、フィルタの次数が増えるにつれてバグも減少します。^[6]${\displaystyle |F_{3}(j)|}$

冒頭で述べたように、ガウスフィルタは望ましい群遅延を示しますが、カットオフ減衰の急峻さは望ましい値よりも低くなる可能性があります。^[9] この問題を回避するために、望ましいガウス群遅延応答と低周波数と中周波数を維持しながら、高周波数ではより急峻なチェビシェフ減衰に切り替えるテーブルが開発され、公開されています。^[9]

ガウス関数は であり、理論的には無限のウィンドウ長を必要とします。ただし、急速に減衰するため、フィルタ ウィンドウを切り捨て、実質的に単純な長方形ウィンドウ関数を使用して、狭いウィンドウに対してフィルタを直接実装することが合理的であることがよくあります。その他の場合、切り捨てによって重大なエラーが発生する可能性があります。代わりに別のウィンドウ関数を使用することで、より良い結果が得られます。詳細については、 スケール スペースの実装を参照してください。${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$

フィルタリングには畳み込みが伴う。フィルタ関数は積分変換のカーネルと言われる。ガウスカーネルは連続である。最も一般的には、離散的な同等物は連続ガウスから点をサンプリングすることによって生成されるサンプリングガウスカーネルである。別の方法としては、いくつかの目的に対して優れた特性を持つ離散ガウスカーネル^[10]を使用する方法がある。サンプリングガウスカーネルとは異なり、離散ガウスカーネルは離散拡散方程式の解である。

ガウス関数のフーリエ変換によりガウス関数が得られるため、信号（できれば重なり合うウィンドウ ブロックに分割した後）を高速フーリエ変換で変換し、ガウス関数で乗算して、元の変換に戻すことができます。これは、任意の有限インパルス応答フィルターを適用する標準的な手順ですが、唯一の違いは、フィルター ウィンドウのフーリエ変換が明示的にわかっていることです。

中心極限定理（統計学より）により、ガウス分布は移動平均などの非常に単純なフィルタを複数回実行することで近似できます。単純な移動平均は、定数B スプライン（矩形パルス）との畳み込みに相当します。たとえば、移動平均を 4 回反復すると、フィルタ ウィンドウとして 3 次 B スプラインが生成され、ガウス分布を非常によく近似します。移動平均の計算コストは​​非常に低いため、レベルを簡単にカスケードできます。

離散的な場合、フィルタの標準偏差（時間領域と周波数領域）は次のように関係します。

${\displaystyle \sigma _{t}\cdot \sigma _{f}={\frac {N}{2\pi }}}$

ここで、標準偏差はサンプル数で表され、Nはサンプルの総数です。フィルタの標準偏差は、フィルタのサイズの尺度として解釈できます。ガウス フィルタのカットオフ周波数は、周波数領域における標準偏差によって定義されます。

${\displaystyle f_{c}=\sigma _{f}={\frac {1}{2\pi \sigma _{t}}}}$

ここで、すべての量は物理単位で表されます。サンプル単位で測定される場合、カットオフ周波数（物理単位）は次のように計算できます。 ${\displaystyle \sigma _{t}}$

${\displaystyle f_{c}={\frac {F_{s}}{2\pi \sigma _{t}}}}$

ここで、はサンプルレートです。このカットオフ周波数でのガウスフィルタの応答値は、exp(−0.5) ≈ 0.607に等しくなります。 ${\displaystyle F_{s}}$

しかし、カットオフ周波数を半電力点として定義する方が一般的です。ここで、フィルタ応答はパワースペクトルでは0.5（−3 dB）、振幅スペクトルでは1/√2≈0.707に減少します（たとえば、バターワースフィルタ を参照）。フィルタの応答の任意のカットオフ値1/ cの場合、カットオフ周波数は次のように表されます。

${\displaystyle f_{c}={\sqrt {2\ln(c)}}\cdot \sigma _{f}}$^[11]

c = 2の場合、最後の式の周波数領域の標準偏差の前 の定数は約 1.1774 に等しくなり、これは半値全幅 (FWHM) の半分です (ガウス関数を参照)。c  =  √ 2の場合、この定数は約 0.8326 に等しくなります。これらの値は 1 に非常に近いです。

単純移動平均は一様確率分布に対応し、したがってそのフィルタ幅のサイズは標準偏差を持つ。したがって、サイズを持つ連続移動平均を適用すると、標準偏差は ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {(n^{2}-1)/12}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {n}_{1},\dots ,{n}_{m}}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {n_{1}^{2}+\cdots +n_{m}^{2}-m}{12}}}}$

(標準偏差は合計されませんが、分散は合計されることに注意してください。)

ガウスカーネルには値が必要です。たとえば、aが 3 の場合、長さ 17 のカーネルが必要です。5 ポイントの移動平均フィルタのシグマは になります。これを 3 回実行すると、aは 2.42 になります。ガウスを使用する方が、劣悪な近似値を使用するよりも優れているかどうかはまだわかりません。 ${\displaystyle 6\sigma _{t}-1}$${\displaystyle {\sigma _{t}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sigma _{t}}}$

この式を 2 次元に適用すると、原点で最大値を持ち、原点を中心とした同心円状の輪郭を持つガウス面が生成されます。2 次元畳み込み 行列は式から事前に計算され、2 次元データと畳み込まれます。結果の行列の各要素の新しい値は、その要素の近傍の加重平均に設定されます。焦点となる要素は最も重い重み (最高のガウス値を持つ) を受け取り、焦点となる要素からの距離が増すにつれて、近傍の要素はより小さな重みを受け取ります。画像処理では、行列の各要素は明るさや色の強度などのピクセル属性を表し、全体的な効果はガウスぼかしと呼ばれます。

ガウス フィルタは非因果的であり、つまり、フィルタ ウィンドウは時間領域で原点に対して対称です。このため、ガウス フィルタは物理的に実現不可能です。フィルタ帯域幅が信号よりはるかに大きいアプリケーションでは、これは通常問題になりません。リアルタイム システムでは、フィルタを信号に適用する前に、入力サンプルがフィルタ ウィンドウを満たす必要があるため、遅延が発生します。ガウス フィルタを理論的な因果的にする遅延は発生しませんが (ガウス関数はどこでも非ゼロであるため)、ガウス関数は急速にゼロに収束するため、因果近似により、適度な遅延で必要な許容値 (浮動小数点表現の精度まで) を達成できます。

• GSMはGMSK変調を採用しているため
• ガウスフィルタはGFSKでも使用されます。
• 画像処理で使用されるCannyエッジ検出器。