コイフレット

コイフレットは、ロナルド・コイフマンの要請によりイングリッド・ドーベシーズが設計した、消失モーメントを持つスケーリング関数を持つ離散ウェーブレットである。ウェーブレットはほぼ対称で、そのウェーブレット関数は消失モーメントとスケーリング関数を持ち、カルデロン・ジグムント演算子を使用する多くのアプリケーションで使用されている。^{[1] [2]}${\displaystyle N/3}$${\displaystyle N/3-1}$

コイフレットに関するいくつかの定理: ^[3]

ウェーブレットシステムの場合、次の3つの方程式は同等です。 ${\displaystyle \{\phi ,{\tilde {\phi }},\psi ,{\tilde {\psi }},h,{\tilde {h}},g,{\tilde {g}}\} }$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {M_{\tilde {\psi }}}}(0,l]=0&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\sum _{n}(-1)^{n}n^{l}h[n]=0&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\H^{(l)}(\pi )=0&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\end{array}}}$

と の間にも同様の同値関係が成り立つ。${\displaystyle \psi}$${\displaystyle {\tilde {h}}}$

ウェーブレットシステムの場合、次の6つの方程式は同等です。 ${\displaystyle \{\phi ,{\tilde {\phi }},\psi ,{\tilde {\psi }},h,{\tilde {h}},g,{\tilde {g}}\} }$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {M_{\tilde {\phi }}}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\{\mathcal {M_{\tilde {\phi }}}}(0,l]=t_{0}^{l}&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\{\hat {\phi }}^{(}l)(0)=(-jt_{0})^{t}&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\sum _{n}(n-t_{0})^{l}h[n]=\delta [l]&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\sum _{n}n^{l}h[n]=t_{0}^{l}&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\H^{(l)}(0)=(-jt_{0})^{t}&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\end{array}}}$

と の間にも同様の同値関係が成り立つ。${\displaystyle {\チルダ {\psi }}}$${\displaystyle {\tilde {h}}}$

双直交ウェーブレットシステムの場合、またはのいずれかが 消失モーメントの次数 L を持つ場合、次の 2 つの方程式は同等です。 ${\displaystyle \{\phi ,\psi ,{\チルダ {\phi }},{\チルダ {\psi }}\}}$${\displaystyle {\チルダ {\psi }}}$${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {M_{\tilde {\psi }}}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,{\bar {L}}-1\\{\mathcal {M_{\psi }}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,{\bar {L}}-1\\\end{array}}}$

そのような${\displaystyle {\bar {L}}}$${\displaystyle {\bar {L}}\ll L}$

スケーリング関数 (ローパス フィルタ) とウェーブレット関数 (ハイパス フィルタ) は両方とも係数 で正規化する必要があります。以下は、C6–30 のスケーリング関数の係数です。ウェーブレット係数は、スケーリング関数係数の順序を逆にし、次に 2 つおきに符号を反転することで導出されます (つまり、C6 ウェーブレット = {−0.022140543057、0.102859456942、0.544281086116、−1.205718913884、0.477859456942、0.102859456942})。 ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

数学的には、これは のように見えます。ここで、 kは係数インデックス、Bはウェーブレット係数、C はスケーリング関数係数です。Nはウェーブレット インデックス、つまり C6 の場合は 6 です。 ${\displaystyle B_{k}=(-1)^{k}C_{N-1-k}}$

F = coifwavf(W)は、文字列Wで指定されたCoifletウェーブレットに関連付けられたスケーリングフィルタを返します。ここで、W = "coifN"です。Nの可能な値は1、2、3、4、または5です。^[4]