リンギングアーティファクト

信号処理、特にデジタル画像処理において、リンギング アーティファクトとは、信号の急激な変化の近くでスプリアス信号として現れるアーティファクトです。視覚的には、エッジの近くにバンドまたは「ゴースト」として現れ、聴覚的には、特に打楽器の音などの過渡現象の近くに「エコー」として現れます。最も顕著なのはプリエコーです。「リンギング」という語は、出力信号が、叩かれた後のベルのように、入力の急激な変化の周りでフェード レートで振動することから来ています。他のアーティファクトと同様に、リンギング アーティファクトを最小限に抑えることが、フィルタ設計の基準となります。

リンギングアーティファクトの主な原因は、信号が帯域制限されている（具体的には、高周波を持たない）か、ローパスフィルタを通過することによるもので、これは周波数領域での説明です。時間領域では、このタイプのリンギングの原因は、完全なローパスフィルタのインパルス応答（時間領域表現）であるsinc関数^{[1]のリップルです。数学的には、これは}ギブス現象と呼ばれています。

遷移が強調される（出力が入力よりも高くなる）ときに発生するオーバーシュート（およびアンダーシュート）と、オーバーシュート後に信号が過剰に補正され、ターゲット値を下回るリンギングを区別することができます。これらの現象は同時に発生することが多く、そのため、しばしば混同され、まとめて「リンギング」と呼ばれます。

「リンギング」という用語は、時間領域のリップルに対して最もよく使用されますが、周波数領域の効果に対しても使用されることがあります。 [ ^2] 時間領域のフィルターを矩形関数でウィンドウ処理すると、ブリックウォールローパスフィルター（周波数領域の矩形関数）が時間領域にリップルを引き起こすのと同じ理由で、周波数領域にリップルが発生します。いずれの場合も、矩形関数のフーリエ変換はsinc関数です。

他の周波数領域の影響によって発生する関連アーティファクトと、無関係な原因による同様のアーティファクト があります。

定義上、リンギングは非振動入力が振動出力を生成するときに発生します。正式には、間隔で単調な入力信号が単調でない出力応答を持つときです。これは、フィルターのインパルス応答またはステップ応答に振動がある場合に最も深刻に発生します。より簡潔に言えば、スパイク入力またはステップ入力 (急激な遷移) の場合、出力にバンプが発生します。リンギングは、通常、ステップ リンギングを指し、これが焦点となります。

リンギングは、オーバーシュートおよびアンダーシュートと密接に関連しています。オーバーシュートおよびアンダーシュートとは、出力がそれぞれ入力値の最大値よりも高い値 (それぞれ最小値よりも低い値) を取ることです。どちらか一方だけが発生することもありますが、ローパス フィルターなどの重要なケースでは、最初にオーバーシュートが発生し、次に応答が定常レベル以下に跳ね返って最初のリンギングが発生し、その後、定常レベルを上下に往復します。したがって、オーバーシュートは現象の最初のステップであり、リンギングは 2 番目以降のステップです。この密接な関係により、これらの用語はしばしば混同され、「リンギング」は最初のオーバーシュートとそれに続くリンギングの両方を指します。

線形時間不変(LTI) フィルターがある場合、フィルターとリンギングをインパルス応答 (時間領域ビュー) の観点から、またはフーリエ変換、周波数応答(周波数領域ビュー) の観点から理解できます。リンギングは時間領域のアーティファクトであり、フィルター設計では、望ましい周波数領域特性とトレードオフの関係にあります。望ましい周波数応答はリンギングを引き起こす可能性があり、リンギングを削減または排除すると周波数応答が悪化する可能性があります。

中心的な例であり、しばしば「リンギング アーティファクト」として意味されるのは、理想的な (ブリックウォール)ローパス フィルター、つまりsinc フィルターです。これは、上図に示すように、振動インパルス応答関数を持ち、ステップ応答 (その積分、正弦積分) も、右図に示すように、振動を特徴とします。

これらのリンギング アーティファクトは、不完全な実装やウィンドウ処理の結果ではありません。理想的なローパス フィルターは、必要な周波数応答を備えながらも、必然的に時間領域でリンギング アーティファクトを引き起こします。

インパルス応答の観点から見ると、これらのアーティファクトと関数の動作との対応は次のようになります。

• インパルスアンダーシュートは、インパルス応答が負の値を持つことと同等である。
• インパルスリンギング（ある点の近くで鳴る音）は、振動するインパルス応答と正確に等しく、これは負の値と正の値を交互に繰り返すインパルス応答の導関数と等価である。
• また、単位インパルスは無限の高さ（および積分値 1 -ディラックのデルタ関数）を持つと想定されるため、インパルスのオーバーシュートの概念はなく、オーバーシュートすることはできません。

ステップ応答に目を向けると、ステップ応答はインパルス応答の積分です。正式には、時刻aにおけるステップ応答の値はインパルス応答の積分です。したがって、ステップ応答の値はインパルス応答の裾の積分として理解できます。 ${\displaystyle \int _{-\infty}^{a}}$

インパルス応答の全体的な積分が 1 であると仮定すると、定数入力が出力と同じ定数に送信されます。そうでない場合、フィルターにはゲインがあり、ゲインによるスケーリングにより積分は 1 になります。

• ステップ アンダーシュートは、テール積分が負であることに相当し、その場合、アンダーシュートの大きさはテール積分の値になります。
• ステップ オーバーシュートは、テール積分が 1 より大きいことに相当します。この場合、オーバーシュートの大きさは、テール積分が 1 を超える量、または反対方向のテールの値と同等になります (これらは合計すると 1 になるため)。${\displaystyle \int _{a}^{\infty },}$
• ステップリンギングは、増加と減少を繰り返す裾の積分と同等であり、微分をとると、これは正の値と負の値を繰り返すインパルス応答と同等です。^{[3]インパルス応答が}x軸より下または上にある領域（正式にはゼロ間の領域）はローブと呼ばれ、振動の大きさ（ピークから谷まで）は対応するローブの積分に等しくなります。

インパルス応答には多くの負のローブ、つまり多くの振動があり、それぞれがリングを生成しますが、これらは実用的なフィルターでは減衰するため、通常は数個のリングしか見えず、通常最初のリングが最も顕著になります。

インパルス応答に小さな負のローブと大きな正のローブがある場合、リンギングは発生しますが、アンダーシュートやオーバーシュートは発生しないことに注意してください。テール積分は常に 0 と 1 の間になりますが、各負のローブで下方向に振動します。ただし、sinc フィルターでは、交互調和級数のようにローブの大きさが単調に減少し、符号が交互に変化するため、テール積分の符号も交互に変化するため、リンギングだけでなくオーバーシュートも発生します。

逆に、インパルス応答が常に非負で、負のローブがない場合（関数は確率分布です）、ステップ応答はリンギングもオーバーシュートもアンダーシュートも示さず、累積分布関数のように 0 から 1 に増加する単調関数になります。したがって、時間領域の観点からの基本的な解決策は、非負のインパルス応答を持つフィルターを使用することです。

周波数領域の観点では、リンギングは周波数領域における矩形通過帯域の急激なカットオフによって引き起こされ、以下で説明するように、より滑らかなロールオフによって軽減されると考えられています。 ^{[1] [4]}

解決策は問題のパラメータによって異なります。原因がローパス フィルタである場合は、別のフィルタ設計を選択して、周波数領域のパフォーマンスを低下させる代わりにアーティファクトを削減できます。一方、原因が JPEG などの帯域制限信号である場合は、フィルタを単純に交換することはできず、リンギング アーティファクトを修正するのが難しい場合があります。例で説明したように、リンギング アーティファクトはJPEG 2000や多くのオーディオ圧縮コーデック (プリエコーの形式) に存在します。

原因がブリックウォール ローパス フィルタの使用である場合、周波数領域のパフォーマンスを犠牲にして、時間領域アーティファクトを削減するフィルタに置き換えることができます。これは、時間領域または周波数領域の観点から分析できます。

時間領域では、原因は振動するインパルス応答で、負の値をとります。これは、インパルス応答が非負で振動しないが、望ましい特性を共有するフィルターを使用することで解決できます。たとえば、ローパス フィルターの場合、ガウス フィルターは非負で振動しないため、リンギングは発生しません。ただし、ローパス フィルターほど優れていません。通過帯域でロールオフし、ストップバンドでリークします。イメージ的に言えば、ガウス フィルターは信号を「ぼかし」、通過帯域で望ましい高周波信号の減衰を反映します。

一般的な解決策は、負のローブをカットオフまたは削減する sinc フィルターのウィンドウ関数を使用することです。これらはそれぞれオーバーシュートとリンギングを除去または削減します。ローブの一部を切り捨てるだけですべてを切り捨てると、そのポイントを超えるリンギングは除去されますが、切り捨てられていないリンギングの振幅は減少しません (これはローブのサイズによって決まるため)。また、最後のカットされていないローブが負の場合、オーバーシュートの振幅はテールの積分であり、正のローブによってキャンセルされなくなるため、オーバーシュートの振幅が増加することに注意してください。

さらに、実際の実装では、少なくともsincを切り捨てます。そうしないと、出力のすべてのポイントを計算するために無限の数のデータポイント（または、信号のすべてのポイント）を使用する必要があります。切り捨ては長方形のウィンドウに対応し、フィルターを実際に実装できるようになりますが、周波数応答はもはや完璧ではありません。^[5] 実際、ブリックウォールローパスフィルター（時間領域ではsinc、周波数領域では長方形）を取り、それを切り捨てる（時間領域で長方形関数を乗算する）と、周波数領域がsinc（長方形関数のフーリエ変換）で畳み込まれ、周波数領域でリンギングが発生します。 ^[2]これはリップルと呼ばれます。記号では、ストップバンドの周波数リンギングはサイドローブとも呼ばれます。通過帯域の平坦な応答が望ましいため、フーリエ変換の振動が少ない関数でウィンドウ処理すると、周波数領域の動作が向上します。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathrm {sinc} \cdot \mathrm {rect} )=\mathrm {rect} *\mathrm {sinc} .}$

時間領域での乗算は周波数領域での畳み込みに対応するため、フィルタにウィンドウ関数を乗算することは、元のフィルタのフーリエ変換をウィンドウのフーリエ変換で畳み込むことに対応し、平滑化効果があります。したがって、時間領域でのウィンドウ処理は周波数領域での平滑化に対応し、オーバーシュートとリンギングを軽減または排除します。^[6]

周波数領域では、原因は鋭い（ブリックウォール）カットオフによるものと解釈でき、より滑らかなロールオフを持つフィルタを使用することでリンギングが軽減される。^[1]これはガウスフィルタの場合で、その振幅ボード線図は下向きに開いた放物線（2次ロールオフ）であり、そのフーリエ変換は再びガウス分布であるため（スケールまで）、対数をとると次のようになる。${\displaystyle e^{-x^{2}}}$${\displaystyle -x^{2}.}$

外観イメージ
バターワースフィルタのインパルス応答と周波数応答グラフ[7]

電子フィルタにおける周波数領域応答と時間領域リンギングアーティファクトのトレードオフは、バターワースフィルタによってよく例証されます。バターワースフィルタの周波数応答は対数スケールで直線的に下降し、1次フィルタの傾斜はオクターブあたり-6 dB 、 2次フィルタはオクターブあたり-12 dB、n次フィルタの傾斜はオクターブあたり dBで、極限ではブリックウォールフィルタに近づきます。したがって、これらのうち、1次フィルタは最もゆっくりとロールオフするため、時間領域アーティファクトは最も少なくなりますが、ストップバンドでのリークが最も多くなります。一方、次数が増加すると、リークは減少しますが、アーティファクトは増加します。^[4]${\displaystyle -6n}$

リンギングアーティファクトは一般的に望ましくないと考えられていますが、遷移時の初期オーバーシュート（ハロー）は遷移全体の導関数を増加させることでアキュータンス（見かけの鮮明さ）を増加させるため、強調と見なすことができます。^[8]

もう 1 つのアーティファクトはオーバーシュート(およびアンダーシュート) です。これは、リングとしてではなく、遷移時のジャンプの増加として現れます。これはリンギングに関連しており、リンギングと組み合わせて発生することがよくあります。

オーバーシュートとアンダーシュートは負のテール（sinc では最初のゼロから無限大までの積分、最初の負のローブを含む）によって引き起こされます。一方、リンギングはそれに続く正のテール（sinc では 2 番目のゼロから無限大までの積分、最初の非中心正のローブを含む）によって引き起こされます。したがって、オーバーシュートはリンギングに必要ですが^{（疑わしい–議論が必要）}、別々に発生することもあります。たとえば、2 ローブのLanczos フィルターでは、各側に負のローブが 1 つだけあり、それに続く正のローブがないため、オーバーシュートは発生しますが、リンギングは発生しません。一方、3 ローブの Lanczos フィルターでは、オーバーシュートとリンギングの両方が発生しますが、ウィンドウ処理により、sinc フィルターや切り捨て sinc フィルターと比較してこれが軽減されます。

同様に、バイキュービック補間で使用される畳み込みカーネルは、2 ローブのウィンドウ シンクに似ており、負の値を取るため、遷移時にハローとして現れるオーバーシュート アーティファクトが生成されます。

オーバーシュートとアンダーシュートの次にはクリッピングが発生します。信号が制限されている場合、たとえば 8 ビットまたは 16 ビットの整数の場合、このオーバーシュートとアンダーシュートが許容値の範囲を超え、クリッピングが発生する可能性があります。

厳密に言えば、クリッピングはオーバーシュートと限られた数値精度の組み合わせによって発生しますが、リンギングと密接に関連しており、リンギングと組み合わせて発生することもよくあります。

クリッピングは、信号が単にチャネルの範囲を超えた場合など、無関係の理由で発生することもあります。

一方、クリッピングは画像のリンギングを隠すために利用されることもあります。mozjpegやISO libjpegなどの最近のJPEGコーデックの中には、IDCTの結果に意図的にオーバーシュートを発生させることでリンギングを軽減するトリックを使用しているものもあります。^[9]このアイデアはmozjpegのパッチに端を発しています。^[10]

信号処理および関連分野では、時間領域振動の一般的な現象はリンギングと呼ばれ、周波数領域振動は一般にリップルと呼ばれますが、通常は「リップル」とは呼ばれません。

デジタル信号処理におけるリップルの主な発生源は、ウィンドウ関数の使用です。ウィンドウ設計法のように、sinc フィルタなどの無限インパルス応答(IIR) フィルタをウィンドウ処理して有限インパルス応答にすると、結果として得られるフィルタの周波数応答は、IIR フィルタの周波数応答とウィンドウ関数の周波数応答の畳み込みになります。特に、矩形フィルタの周波数応答は sinc 関数 (矩形関数と sinc 関数は互いにフーリエ双対) であるため、時間領域でのフィルタの切り捨ては矩形フィルタによる乗算に相当し、周波数領域での sinc フィルタによる畳み込みによってリップルが発生します。シンボルでは、 の周波数応答は、特に、sinc 関数自体を切り捨てると、時間領域では になり、周波数領域では になるため、ローパス フィルタリング (周波数領域での切り捨て) によって時間領域でリンギングが発生するのと同様に、時間領域での切り捨て (矩形フィルタによるウィンドウ処理) によって周波数領域でリップルが発生します。 ${\displaystyle \mathrm {rect} (t)\cdot h(t)}$${\displaystyle \mathrm {sinc} (t)*{\hat {h}}(t).}$${\displaystyle \mathrm {rect} (t)\cdot \mathrm {sinc} (t)}$${\displaystyle \mathrm {sinc} (t)*\mathrm {rect} (t)}$

JPEG圧縮では、急激な変化の際にリンギング アーティファクトが発生する可能性があります。これは特にテキストで顕著です。

これは、ステップ応答リンギングのように、高周波成分の損失が原因です。JPEG は 8×8 ブロックを使用し、そのブロックに対して離散コサイン変換(DCT) を実行します。DCT はフーリエ変換であり、リンギングは高周波成分の損失または高周波成分の精度の損失によって発生します。

また、画像の端でも発生することがあります。JPEG は画像を 8×8 のブロックに分割するため、画像がブロックの整数倍でない場合、端は簡単にエンコードできず、黒い境界線で塗りつぶすなどの解決策ではソースに急激な遷移が生じ、エンコードされた画像にリンギング アーティファクトが発生します。

リンギングはウェーブレットベースのJPEG 2000でも発生します。

JPEG と JPEG 2000 には、上記で説明したように、ブロッキング (「ジャギー」) やエッジの混雑 (「モスキート ノイズ」) などの他のアーティファクトがありますが、これらは形式の特性によるものであり、ここで説明するようなリンギングではありません。

いくつかのイラスト:

• ベースライン JPEG と JPEG2000 アーティファクトの図解

オーディオ信号処理では、リンギングによって、シンバルなどの打楽器からの衝撃音などのトランジェントの前後にエコーが発生することがあります(これはインパルスリンギングです)。トランジェントの後の (因果関係のある ) エコーは、トランジェントによってマスクされるため聞こえません。この効果は時間的マスキングと呼ばれます。したがって、トランジェントの前の(反因果関係のある) エコーのみが聞こえ、この現象はプリエコーと呼ばれます。

この現象は、MP3、AAC、Vorbisなどのフーリエ変換を使用するオーディオ圧縮アルゴリズムで圧縮アーティファクトとして発生します。

その他の現象もリンギングと似た症状を示しますが、原因は異なります。点音源の周囲に円形のアーティファクトが発生する場合、その形状が丸いため「リング」（正式には環状）と呼ばれることがありますが、これはこのページで説明する「リンギング」（振動減衰）周波数現象とは無関係です。

エッジを強調することを目的としたエッジ強調は、特にDVDプレーヤーの後にテレビを再生するなど、繰り返し使用する場合、リンギング現象を引き起こす可能性があります。これは、ローパスフィルタリングではなく、ハイパスフィルタリングによって行うことができます。[ 4 ^]

多くの特殊関数は振動減衰を示すため、そのような関数を畳み込むと出力にリンギングが生じます。これをリンギングと見なすこともできますし、この用語を周波数領域信号処理における意図しないアーティファクトに限定することもできます。

フラウンホーファー回折により、点像分布関数としてエアリーディスクが生成され、リンギングパターンを持ちます。

エアリー関数に関連する第一種ベッセル関数は、このような減衰を示します。 ${\displaystyle J_{0},}$

カメラでは、焦点ずれと球面収差の組み合わせにより、円形のアーティファクト (「リング」パターン) が生じることがあります。ただし、これらのアーティファクトのパターンは、必ずしもリンギング (このページで説明) に似ている必要はなく、振動減衰 (強度が減少する円) や、単一の明るい帯などの他の強度パターンを示す場合があります。

ゴーストは、画像が繰り返されるテレビ干渉の一種です。これはリンギングではありませんが、原点では 1、ある距離では ε (ゴーストの強度) となる関数との畳み込みとして解釈できます。これは形式的には上記の関数 (連続振動ではなく、単一の離散ピーク) に似ています。

写真撮影において、レンズフレアとは、レンズ内の要素による反射や散乱などの望ましくない光が原因で、ハイライトの周りにさまざまな円が現れたり、写真全体にゴーストが現れたりする欠陥のことです。

視覚的な錯覚は、マッハバンドのように遷移時に発生することがあり、知覚的にはギブス現象と同様のアンダーシュート/オーバーシュートを示します。

• アレン、ロナルド L.; ミルズ、ダンカン W. (2004)、信号解析: 時間、周波数、スケール、構造、Wiley-IEEE、ISBN 978-0-471-23441-8