コーエン・ドーブシー・フォヴォーウェーブレット

Cohen–Daubechies–Feauveau ウェーブレットは、 Ingrid Daubechiesによって普及した双直交ウェーブレットのファミリーです。^{[1] [2]これらは直交}Daubechies ウェーブレットと同じではなく、形状や特性もあまり似ていません。ただし、構築の考え方は同じです。

JPEG 2000 圧縮規格では、可逆圧縮には双直交Le Gall-Tabatabai (LGT) 5/3ウェーブレット（D. Le GallとAli J. Tabatabaiによって開発）^{[3] [4] [5]を使用し、非}可逆圧縮にはCDF 9/7ウェーブレットを使用します。

• 単純な因数分解(下記参照) を選択した場合、主生成器はB スプラインになります。${\displaystyle q_{\text{prim}}(X)=1}$
• デュアル ジェネレーターは、その長さに対して可能な限り最高の滑らかさ係数を持ちます。
• このファミリのすべてのジェネレータとウェーブレットは対称です。

任意の正の整数Aに対して、次の恒等式を満たすA − 1次 の多項式が一意に存在する。${\displaystyle Q_{A}(X)}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {X}{2}}\right)^{A}\,Q_{A}(X)+\left({\frac {X}{2}}\right)^{A}\,Q_{A}(2-X)=1.}$

これはDaubechiesウェーブレットの構築に使用されたのと同じ多項式である。しかし、スペクトル分解の代わりに、ここでは因数分解を試みる。

${\displaystyle Q_{A}(X)=q_{\text{prim}}(X)\,q_{\text{dual}}(X),}$

ここで因子は実係数と定数係数1を持つ多項式である。

${\displaystyle a_{\text{prim}}(Z)=2Z^{d}\,\left({\frac {1+Z}{2}}\right)^{A}\,q_{\text{prim}}\left(1-{\frac {Z+Z^{-1}}{2}}\right)}$

そして

${\displaystyle a_{\text{dual}}(Z)=2Z^{d}\,\left({\frac {1+Z}{2}}\right)^{A}\,q_{\text{dual}}\left(1-{\frac {Z+Z^{-1}}{2}}\right)}$

スケーリングシーケンスの双直交ペアを形成します。dは、対称シーケンスをゼロに中心合わせしたり、対応する離散フィルタを因果関係にしたりするために使用される整数です。

の根に応じて、最大 までの異なる因数分解が存在する可能性があります。単純な因数分解がおよび である場合、主要なスケーリング関数は次数A − 1のB スプラインです。A = 1の場合、直交ハール ウェーブレットが得られます。 ${\displaystyle Q_{A}(X)}$${\displaystyle 2^{A-1}}$${\displaystyle q_{\text{prim}}(X)=1}$${\displaystyle q_{\text{dual}}(X)=Q_{A}(X)}$

A = 2の場合、LeGall 5/3ウェーブレットは次のようになります。

A = 4の場合、9/7-CDF ウェーブレットが得られます。 が得られ、この多項式には 1 つの実根があるため、線形因子と二次因子の積になります。根の逆数である係数cの近似値は -1.4603482098 です。 ${\displaystyle Q_{4}(X)=1+2X+{\tfrac {5}{2}}X^{2}+{\tfrac {5}{2}}X^{3}}$${\displaystyle 1-cX}$

中心化スケーリングとウェーブレットシーケンスの係数については、実装しやすい形式で数値が得られる。

CDF ファミリーのウェーブレットには、2 つの共通番号付け方式があります。

• ローパス フィルタの平滑化係数の数、またはハイパス フィルタの消失点の数(例: "2, 2")。
• ローパス フィルターのサイズ、またはハイパス フィルターのサイズ (例: "5, 3")。

最初の番号付けは、Daubechies の著書Ten lectures on waveletsで使用されました。この番号付けはどちらも一意ではありません。消失モーメントの数は、選択された因数分解について説明しません。フィルタ サイズが 7 と 9 のフィルタ バンクは、自明な因数分解を使用する場合は 6 と 2 の消失モーメントを持つことができ、JPEG 2000 ウェーブレットの場合のように 4 と 4 の消失モーメントを持つことができます。したがって、同じウェーブレットは、「CDF 9/7」(フィルタ サイズに基づく) または「biorthogonal 4, 4」(消失モーメントに基づく) と呼ばれることがあります。同様に、同じウェーブレットは、「CDF 5/3」(フィルタ サイズに基づく) または「biorthogonal 2, 2」(消失モーメントに基づく) と呼ばれることがあります。

自明に因数分解されたフィルタバンクに対しては、リフティング分解を明示的に与えることができる。^[6]

Bスプラインローパスフィルタの平滑化係数の数を偶数とします 。${\displaystyle n}$

次に再帰的に定義する

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&={\frac {1}{n}},\\a_{m}&={\frac {1}{(n^{2}-4\cdot m^{2})\cdot a_{m-1}}}.\end{aligned}}}$

リフティングフィルターは

${\displaystyle s_{m}(z)=a_{m}\cdot (2\cdot m+1)\cdot (1+z^{(-1)^{m}}).}$

結論として、解除の中間結果は

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{-1}(z)&=z,\\x_{0}(z)&=1,\\x_{m+1}(z)&=x_{m-1}(z)+a_{m}\cdot (2\cdot m+1)\cdot (z+z^{-1})\cdot z^{(-1)^{m}}\cdot x_{m}(z),\end{aligned}}}$

それは

${\displaystyle x_{n/2}(z)=2^{-n/2}\cdot (1+z)^{n}\cdot z^{n/2{\bmod {2}}-n/ 2}.}$

フィルタとCDF- n ,0フィルタバンクを構成します。 ${\displaystyle x_{n/2}}$${\displaystyle x_{n/2-1}}$

さて、を奇数としましょう。 ${\displaystyle n}$

次に再帰的に定義する

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&={\frac {1}{n}},\\a_{m}&={\frac {1}{(n^{2}-(2\cdot m-1)^{2})\cdot a_{m-1}}}.\end{aligned}}}$

リフティングフィルターは

${\displaystyle s_{m}(z)=a_{m}\cdot ((2\cdot m+1)+(2\cdot m-1)\cdot z)/z^{m{\bmod {2} }}.}$

結論として、解除の中間結果は

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{-1}(z)&=z,\\x_{0}(z)&=1,\\x_{1}(z)&=x_{-1}(z)+a_{0}\cdot x_{0}(z),\\x_{m+1}(z)&=x_{m-1}(z)+a_{m}\cdot ((2\cdot m+1)\cdot z+(2\cdot m-1)\cdot z^{-1})\cdot z^{(-1)^{m}}\cdot x_{m}(z),\end{aligned}}}$

それは

${\displaystyle x_{(n+1)/2}(z)\sim (1+z)^{n},}$

ここでは、変換と定数係数を無視します。

フィルタとCDF- n ,1フィルタバンクは構成されます。 ${\displaystyle x_{(n+1)/2}}$${\displaystyle x_{(n-1)/2}}$

Cohen–Daubechies–Feauveauウェーブレットやその他の双直交ウェーブレットは、FBIの指紋スキャンの圧縮に使用されています。^[7]この方法で指紋を圧縮するための標準は、Tom Hopper (FBI)、Jonathan Bradley (ロスアラモス国立研究所)、Chris Brislawn (ロスアラモス国立研究所) によって開発されました。^[7]ウェーブレットを使用すると、約20対1の圧縮率を達成できます。つまり、10 MBの画像は、認識テストに合格しながら500 kBまで縮小できます。^[7]

• JPEG 2000: どのように動作するのか?
• C 言語による高速離散 CDF 9/7 ウェーブレット変換ソースコード (リフティング実装) はWayback Machineにあります(2012 年 3 月 5 日アーカイブ)
• リフティングによる 2D 信号の CDF 9/7 ウェーブレット変換: Python のソース コード
• 任意の長さの C# によるオープンソースの 5/3-CDF-Wavelet 実装