ノイズレット

ノイズレットは、ハールウェーブレットパケット解析において最悪の動作を与える関数です。言い換えれば、ノイズレットはハールウェーブレットパケット解析によって完全に非圧縮です。^[1]非整合特性を持つ正準基底やフーリエ基底と同様に、ノイズレットはハール基底と完全に非整合です。さらに、実装のための高速アルゴリズムを備えているため、ハール領域でスパースな信号のサンプリング基底として役立ちます。

母塩基関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle \chi (x)}$

${\displaystyle \chi (x)={\begin{cases}1&x\in [0,1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ノイズレットのファミリは次のように再帰的に構築されます。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f_{1}(x)&=\chi (x)\\f_{2n}(x)&=(1-i)f_{n}(2x)+(1+i)f_{n}(2x-1)\\f_{2n+1}(x)&=(1+i)f_{n}(2x)+(1-i)f_{n}(2x-1)\end{alignedat}}}$

• ${\displaystyle \{f_{j}|j=2^{N},\dots ,2^{N+1}-1\}}$は の直交基底であり、 はにおける関数の解像度におけるすべての可能な近似の空間です。${\displaystyle V_{N}}$${\displaystyle V_{N}}$${\displaystyle 2^{N}}$${\displaystyle L^{2}[0,1)}$
• それぞれについて、${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle \int _{0}^{1}f_{n}(x)dx=1}$
• それぞれについて、${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle f_{n}(x)=\prod _{j=0}^{\ell (n)-1}{\tilde {r}}_{v_{j}(n)}(2^{j}x)\in [0,1]}$

ノイズレットは拡張して離散化することができます。拡張された関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle f_{m}(k,l)}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f_{m}(1,l)&={\begin{cases}1&l=0,\dots ,2^{m}-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\f_{m}(2k,l)&=(1-i)f_{m}(k,2l)+(1+i)f_{m}(k,2l-2^{m})\\f_{m}(2k+1,l)&=(1+i)f_{m}(k,2l)+(1-i)f_{m}(k,2l-2^{m})\\\end{alignedat}}}$

拡張ノイズレットを使用すると、ノイズレット行列を生成できます。ここで、n は 2 の累乗です。 ${\displaystyle f_{m}(k,l)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle N_{n}}$${\displaystyle n=2^{q}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}N_{1}&=[1]\\N_{2n}&={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1-i&1+i\\1+i&1-i\end{bmatrix}}\otimes N_{n}\\\end{alignedat}}}$

ここでクロネッカー積を表します。 ${\displaystyle \otimes }$

と仮定すると、 がに等しいことがわかります。 ${\displaystyle 2^{m}>n}$${\displaystyle N_{n}(k,l)}$${\displaystyle f_{m}(n+k,{\frac {2^{m}}{n}}l)}$

ノイズレット行列の要素は、次の 2 つの 4 要素セットのいずれかから離散値を取得します。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {n}}N_{n}(j,k)&\in \{1,-1,i,-i\}&{\text{偶数の場合}}q\\{\sqrt {2n}}N_{n}(j,k)&\in \{1+i,1-i,-1+i,-1-i\}&{\text{奇数の場合}}q\\\end{alignedat}}}$

2D ノイズレット変換は、1D ノイズレット変換のクロネッカー積によって得られます。

${\displaystyle N_{n\times k}^{2D}=N_{k}\otimes N_{n}}$

Noiselet には、アプリケーションに最適な特性がいくつかあります。

• ノイズレット行列は で導出できます。${\displaystyle O(n\log n)}$
• ノイズレットはスペクトルを完全に拡散し、ハール ウェーブレットと完全に非コヒーレントです。
• ノイズレットは共役対称であり、ユニタリです。

ウェーブレットとノイズレットの相補性は、ノイズレットを圧縮センシングで使用して、ウェーブレットでコンパクトに表現された信号（画像など）を再構成できることを意味します。^[3] MRIデータはノイズレット領域で取得でき、その後、圧縮センシング再構成を使用して、アンダーサンプリングされたデータから画像を再構成できます。^[4]

以下は、noiselet が実装されているアプリケーションの一部です。

• 磁気共鳴画像（MRI）

ノイズレットエンコーディングは、MRIで画像取得時間を短縮するために使用される技術です。MRIでは、画像化プロセスでは通常、勾配を使用して空間情報をエンコードします。従来のMRI取得は、空間情報が直交座標グリッド上でサンプリングされる直交座標エンコーディング^[5]に依存しています。ただし、この方法は、特に高解像度の画像や動画像では時間がかかる可能性があります。

ノイズレット エンコーディングは圧縮センシングの一部です。画像のスパース性を利用して、より効率的に画像を取得します。圧縮センシングでは、基礎となる信号または画像が何らかの領域でスパースであるという仮定の下、ナイキスト-シャノンのサンプリング定理で規定されるよりも少ないサンプルを取得します。MRI でのノイズレット エンコーディングの仕組みの概要は、次のように簡単に説明されます。

ノイズレット エンコーディングでは、ノイズレット変換マトリックスが使用されます。このマトリックスでは、生成された係数によって、信号がスケールと時間の両方にわたって効果的に分散されます。その結果、これらの変換係数の各サブセットは、元の信号から特定の情報を取得します。これらのサブセットをゼロ パディングで個別に使用すると、それぞれを使用して、解像度を下げて元の信号を再構築できます。ノイズレット エンコーディングではすべての空間周波数成分がサンプリングされるわけではないため、アンダーサンプリングによって、より少ない測定で画像を再構築できます。つまり、画像品質を大幅に犠牲にすることなく、より効率的な画像を作成できます。

• シングルピクセルイメージング^[6]

シングル ピクセル イメージングは​​、サンプルをパターンで照射した後、単一の検出器を使用して光レベルを測定し、効率的で圧縮的な測定を実現するイメージング形式です。Noiselet は、圧縮センシングの原理に従って計算効率を高めるために実装されています。以下は、Noiselet がシングル ピクセル イメージングに適用される方法の概要です。

ノイズレット変換マトリックスは構造化照明パターンに適用され、信号情報を測定空間全体に広げます。構造化パターンは信号情報のスパース表現につながります。これにより、測定セットを減らして画像を再構築するステップが可能になりますが、元の画像と比較して高品質の画像を再構築するために必要な重要な情報はカプセル化されています。ノイズレットによってもたらされる利点は、次のようにまとめることができます。

1. 測定量の削減: 計算に必要な測定が少なくなる
2. 圧縮データ：画像の圧縮表現により、転送時間と保存容量が削減されます。
3. より高速なイメージング: 全体的な取得時間が大幅に短縮され、単一ピクセルのイメージングが高速イメージング アプリケーションに適したものになります。