ウェーブレットパケット分解

元々は最適サブバンドツリー構造( SB-TS )として知られ、ウェーブレットパケット分解( WPD、単にウェーブレットパケットまたはサブバンドツリーと呼ばれることもある) は、離散時間 (サンプリングされた) 信号が離散ウェーブレット変換(DWT)よりも多くのフィルターを通過するウェーブレット変換です。

DWTでは、各レベルは、前のウェーブレット近似係数（cA _j）のみを離散時間ローパスおよびハイパス直交ミラーフィルタに通すことによって計算されます。^{[1] [2]}しかし、WPDでは、詳細（cD _j（1次元の場合）、cH _j、cV _j、cD _j（2次元の場合））と近似係数の両方が分解され、完全なバイナリツリーが作成されます。^{[3] [2] [4] [5] [6] [7]}

nレベルの分解では、WPD はDWT の( n + 1)セットとは対照的に、 2 ⁿの異なる係数セット (またはノード) を生成します。ただし、ダウンサンプリングプロセスにより、係数の全体的な数は同じままであり、冗長性はありません。

圧縮の観点からは、標準的なウェーブレット変換は、低周波数に向かって 2 の累乗で増加するウェーブレット基底に限定されるため、最良の結果を生み出さない可能性があります。別の基底の組み合わせにより、特定の信号に対してより望ましい表現が得られる可能性があります。^{[5]サブバンドツリー構造化には、特定のコスト関数 (}エントロピー、エネルギー圧縮など)に対するデータの最も望ましい表現を提供する最適な基底のセットを見つけるアルゴリズムがいくつかあります。 ^{[1] [2]信号処理および通信分野では、エネルギー圧縮 (}エントロピー)、サブバンド相関 などの重要なパフォーマンス メトリックに関して、正規、2 項、不規則など、さまざまな種類のサブバンドツリー (直交基底) の選択に対処する関連研究がありました。 ^{[4] [6] [7]}

離散ウェーブレット変換理論（時間変数で連続）は、離散（サンプリング）信号を変換するための近似値を提供します。対照的に、離散時間サブバンド変換理論は、すでにサンプリングされた信号を完全に表現することを可能にします。^{[5] [8]}

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  Daubechies D12 パケット関数
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  フーリエスペクトル

• ウェーブレットパケットは前臨床診断に応用され成功を収めた。^[9]

• ウェーブレットパケット分解は、バッテリーの健全性と経年劣化を示す電気化学信号の複雑なパターンと変化を捉えるのに有利であることが証明されています。複雑なバッテリー信号をその構成周波数成分に分解することにより、ウェーブレットパケット分解は、バッテリーの劣化のさまざまな段階に関連する基礎特性をより詳細に分析することを可能にします。^[10]

• ウェーブレットパケット分解は、風力タービンのギアボックスから取得した振動信号を複数の周波数帯域に分解し、高周波成分と低周波成分の両方を捕捉するための前処理ステップとして採用されています。この分解により、さまざまなスケールでの故障シグネチャに関連する重要な特徴を抽出できるため、ギアボックスの健全性をより包括的に分析できます。これは、特に風力タービンのギアボックスシステムの複雑で重要な領域において、故障検出と分類の精度と効率を向上させるのに役立ちます。^[11]

• 降雨予測の文脈では、ウェーブレットパケット分解は降水量データの複雑でマルチスケールなパターンを捉える上で有益であることが証明されています。これは、元の月間降雨量時系列を、異なる周波数に対応するさまざまなサブシリーズに分解することができます。この分解は、データ内の隠れたパターンや傾向を明らかにするのに役立ち、予測精度を向上させるために非常に重要です。^[12]

• 木材の水分検出は、木材の構造的完全性を評価し、腐敗や損傷などの潜在的な問題を防ぐために不可欠です。ウェーブレットパケット分解は、木材の水分含有量のマルチ解像度分析を提供する強力な信号処理技術です。このアプローチにより、さまざまな周波数帯域での信号の詳細な検査が可能になり、材料内の水分分布をより包括的に理解できます。^[13]

• 研究者はウェーブレットパケット分解を使用して構造物の地震応答を分析し、時間領域と周波数領域の両方でより細かい解像度を実現しています。この詳細な分析により、損傷を示す可能性のある構造応答の微妙な変化を特定できます。地震応答をその構成周波数成分に分解することで、研究者は構造挙動の時間変動特性に関する洞察を得ることができます。これは、損傷の存在と範囲を示す可能性のある、時間の経過に伴う構造応答の動的変化を特定するために重要です。^[14]

• 原油先物価格の予測の文脈では、ウェーブレットパケット分解の多重解像度の性質により、予測モデルは時系列内の高周波成分と低周波成分の両方を捉えることができ、それによって金融データに固有の複雑なパターンと変動を捉える能力が向上します。^[15]

• ウェーブレット パケット分解の実装は、 MATLABウェーブレット ツールボックスにあります。
• Rの実装はwavethresh パッケージにあります。
• ウェーブレット パケットの図解と実装、およびC++のコードは、 Ian Kaplan (2002 年 3 月)「The Wavelet Packet Transform」、Bearcaveで参照できます。
• JWave: Haar、Daubechies、Coiflet、Legendreウェーブレットを使用した 1-D および 2-D ウェーブレット パケットのJava実装。