複雑なメキシカンハットウェーブレット

応用数学において、複素メキシカンハットウェーブレットは、連続ウェーブレット変換のための低振動の複素数値ウェーブレットである。このウェーブレットは、従来のメキシカンハットウェーブレットのヒルベルト解析信号としてフーリエ変換によって定式化される。

${\displaystyle {\hat {\Psi }}(\omega )={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {2}{3}}}\pi ^{-{\frac {1}{4 }}}\omega ^{2}e^{-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}}&\omega \geq 0\\0&\omega \leq 0.\end{cases} }}$

時間的には、このウェーブレットは次のように誤差関数で表現できます。

${\displaystyle \Psi (t)={\frac {2}{\sqrt {3}}}\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\left({\sqrt {\pi }}\left(1-t^{2}\right)e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}-\left({\sqrt {2}}it+{\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left[{\frac {i}{\sqrt {2}}}t\right]\left(1-t^{2}\right)e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\right)\right).}$

このウェーブレットは で漸近的な時間的減衰を示し、での2 次導関数の不連続性によって支配されます。 ${\displaystyle O\left(|t|^{-3}\right)}$ ${\displaystyle |\Psi (t)|}$${\displaystyle {\hat {\Psi }}(\omega )}$${\displaystyle \omega =0}$

このウェーブレットは、高精度の時間周波数解析を必要とするアプリケーション向けに、2002年にAddisonら^[1]によって提案されました。