多次元信号解析のためのウェーブレット

ウェーブレットは、区分的に滑らかな信号を解析するためによく使用されます。^[1]ウェーブレット係数は信号を効率的に表現できるため、ウェーブレットを使用したデータ圧縮アルゴリズムが生まれました。^[2]ウェーブレット解析は、多次元信号処理にも拡張されています。この記事では、多次元信号のウェーブレット合成と解析のためのいくつかの方法を紹介します。多次元の場合、方向性などの課題も発生します。

多次元分離型離散ウェーブレット変換 (DWT)

離散ウェーブレット変換は、よく知られている1次元ウェーブレットのテンソル積を用いて多次元の場合に拡張される。例えば2次元の場合、2次元のテンソル積空間は4つのテンソル積ベクトル空間^[3]に分解される。

$(φ(x) ⨁ ψ(x)) \otimes (φ(y) ⨁ ψ(y)) = { φ(x)φ(y), φ(x)ψ(y), ψ(x)φ(y )、ψ(x)ψ(y)$ }

これにより、原理的には多次元 DFT に似た多次元分離型 DWT の概念が生まれます。

$φ(x)φ(y)は$ 近似係数とその他のサブバンドを与える。

$φ(x)ψ(y)$ 低高 (LH) サブバンド、

$ψ(x)φ(y)$ 高低(HL)サブバンド、

$ψ(x)ψ(y)$ 高高(HH)サブバンド、

詳細な係数を与える。

多次元分離型DWTの実装

ウェーブレット係数は、分解する信号を一連のフィルターに通すことで計算できます。1 次元の場合、レベルごとに 2 つのフィルターがあります。1 つは近似用のローパス、もう 1 つは詳細用のハイパスです。多次元の場合、各レベルのフィルターの数は、テンソル積ベクトル空間の数によって異なります。MD の場合、レベルごとに $2 M 個の$ フィルターが必要です。これらはそれぞれサブバンドと呼ばれます。すべてローパスのサブバンド (LLL...) は近似係数を与え、残りはすべてそのレベルの詳細係数を与えます。たとえば、 $M = 3$ で信号のサイズが $N1 \times N2 \times N3$ の場合、分離可能な DWT は次のように実装できます。

この図は、各次元に1次元DWTを適用し、データをチャンクに分割して異なるサブバンドのウェーブレットを取得する3次元分離型DWT手順を示しています。

1-D DWT分析フィルタバンクを $N1$ 次元に適用すると、サイズ $N1$ $⁄$ $2$ $\times N2 \times N3$ の2つのチャンクに分割されます。1-D DWTを $N2次元に適用すると、これらのチャンクのそれぞれがさらに2つの$ $N1$ $⁄$ $2$ $\times$ $N2$ $⁄$ $2$ $\times N3$ のチャンクに分割されます。これを3Dで繰り返すと、サイズ $N1$ $⁄$ $2$ $\times$ $N2$ $⁄$ $2$ $\times$ $N3$ $⁄$ $2$ のチャンクが合計8つ得られます。^[4] $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}$

MD分離型DWTの欠点

分離可能な DWT 手順によって生成されるウェーブレットは、シフトが大きく異なります。入力信号が少しシフトするだけで、ウェーブレット係数が大きく変わります。また、これらのウェーブレットは、すべての方向で大きさがほぼ等しいため、多次元信号に存在する可能性のある方向や方向性を反映しません。たとえば、画像にエッジの不連続性があったり、物体が時空間 4D 次元で直線に沿って滑らかに動いたりする場合があります。分離可能な DWT では、これを完全には捉えることができません。これらの困難を克服するために、複素ウェーブレット変換(CWT) と呼ばれるウェーブレット変換の方法が開発されました。

多次元複素ウェーブレット変換

1次元複素ウェーブレット変換と同様に、^[5]複素ウェーブレットのテンソル積は多次元信号解析のための複素ウェーブレットを生成すると考えられています。さらに解析を進めると、これらの複素ウェーブレットは方向付けられていることがわかります。^[6]このような方向付けは、信号の方向の曖昧さを解決するのに役立ちます。

多次元（MD）デュアルツリーCWTの実装

1-D のデュアルツリー CWT は 2 つの実数 DWT を使用します。最初の DWT は CWT の実数部を提供し、2 番目の DWT は CWT の虚数部を提供します。MD デュアルツリー CWT は、テンソル積の観点から分析されます。ただし、分離可能な MD DWT を使用して、取得されたサブバンドの合計と差を考慮することで、MD CWT を効率的に実装できます。さらに、これらのウェーブレットは特定の方向に向けられる傾向があります。

2 種類の方向付けされた MD CWT を実装できます。ウェーブレットのテンソル積の実数部のみを考慮すると、実数係数が得られます。すべてのウェーブレットは異なる方向に向いています。これは 2 ^m倍の拡張性があります (m は次元)。

複素ウェーブレットのテンソル積の実部と虚部の両方を考慮すると、実数方向のデュアルツリー CWT より 2 倍拡張性の高い複素方向のデュアルツリー CWT が得られます。したがって、各方向に 2 つのウェーブレットが配置されます。複素方向のデュアルツリー構造の実装にはより多くのリソースが必要ですが、複素解析ウェーブレットが 1-D で提供できる近似シフト不変性プロパティを保証するために使用されます。1-D の場合、ウェーブレットが解析的でありシフト不変性を示すためには、ウェーブレットの実部と虚部がヒルベルト変換ペアである必要があります。同様に、MD の場合、テンソル積の実部と虚部は、解析的かつシフト不変性を持つように近似ヒルベルト変換ペアにされます。^[6]^[7]

2次元デュアルツリー実数指向CWTの例を考えてみましょう。

$ψ(x)$ と $ψ(y)$ を複素ウェーブレットとします。

$ψ(x) = ψ(x) h + j ψ(x) g$ かつ $ψ(y) = ψ(y) h + j ψ(y) g$ です。

$ψ(x,y) = [ψ(x) h + j ψ(x) g][ψ(y) h + j ψ(y) g] = ψ(x) h ψ(y) h - ψ(x ) g ψ(x) g + j [ψ(x) h ψ(y) g - ψ(x) h ψ(x) g]$

上記のウェーブレットのフーリエスペクトルのサポートは、第 1 象限にあります。実数部だけを考慮すると、 $Real(ψ(x,y)) = ψ(x) h ψ(y) h - ψ(x) g ψ(x) g は$ 反対の象限でサポートされます (図の (a) を参照)。ψ $(x) h ψ(y) h$ と $ψ(x) g ψ(y) g$ $は両方とも、2 つの異なる分離可能な 2-D DWT の HH サブバンドに対応します。このウェーブレットは-45 o$ を向いています。

同様に、 $ψ 2 (x,y) = ψ(x)ψ(y) *$ を考慮すると、 $45 o$ に方向付けられたウェーブレットが得られます。さらに 4 つの方向付けられた実ウェーブレットを取得するには、 $φ(x)ψ(y)$ 、 $ψ(x)φ(y)$ 、 $φ(x)ψ(y) *$ 、および $ψ(x)φ(y) *$ を検討します。

複素方向のデュアルツリー構造の実装は、次のように行われます。前のセクションと同様に、フィルターバンク構造を使用して、2 つの分離可能な 2-D DWT を並列に実装します。次に、異なるサブバンド (LL、LH、HL、HH) の適切な合計と差によって、合計 6 つの方向付けられたウェーブレットが生成されます。

この図は、2次元実有向デュアルツリーCWTによって得られた6つの有向ウェーブレットすべてのフーリエサポートを示しています。

同様に、3D では、4 つの分離可能な 3D DWT が並列に必要となり、合計 28 個の方向付けられたウェーブレットが得られます。

MD CWTの欠点

MD CWT は方向付きウェーブレットを提供しますが、これらの方向は $m$ 次元の信号の (m-1) 次元^に沿った方向を表す場合にのみ適切です。4 次元時空で直線的に移動するハチなど、より低い次元の多様体^[8]の特異点を考慮する場合、多様体の方向に滑らかで、多様体に対して垂直な方向に急速に変化する方向付きウェーブレットが必要です。この問題に対処するために、新しい変換であるハイパーコンプレックスウェーブレット変換が開発されました。

超複素ウェーブレット変換

^[9]で開発されたデュアルツリーハイパーコンプレックスウェーブレット変換（HWT）は、標準DWTテンソルと、これらのウェーブレットの1次元ヒルベルト変換をn座標に沿って組み合わせて得られる2m-1ウェーブレットで構成され $て$ $い$ ます。特に、2次元HWTは、標準の2次元分離型DWTテンソルと3つの追加コンポーネントで構成されています。

$H x {ψ(x) h ψ(y) h} = ψ(x) g ψ(y) h$

$H y {ψ(x) h ψ(y) h} = ψ(x) h ψ(y) g$

$H x H y {ψ(x) h ψ(y) h} = ψ(x) g ψ(y) g$

2次元の場合、これはデュアルツリークォータニオンウェーブレット変換（QWT）と呼ばれます $。$ [ 10 ] ^MD の総冗長性は $2m$ タイトフレームです。

方向性超複素ウェーブレット変換

上で説明したハイパーコンプレックス変換は、方向性ハイパーコンプレックスウェーブレット変換 (DHWT)を構築するための構成要素として機能します。ハイパーコンプレックス変換を使用して得られたウェーブレットの線形結合により、特定の方向を向いたウェーブレットが得られます。2-D DHWT の場合、これらの線形結合は、正確に 2-D デュアルツリー CWT の場合に対応することがわかります。3-D の場合、DHWT は 2 次元で考えることができ、1 つは $n = 1$ の DHWT 、もう 1 つは $n = 2 の$ DHWT です。n $= 2$ の場合、 $n = m-1$ であるため、2-D の場合と同様に、これは 3-D デュアルツリー CWT に対応します。ただし、 $n = 1$ の場合は、新しい DHWT 変換が発生します。3-D HWT ウェーブレットの組み合わせは、結果として得られるウェーブレットが 1-D に沿ってローパス、2-D に沿ってバンドパスになるように行われます。^[9]では、これが 3-D 空間の線状特異点の検出に使用されました。

今後の課題

多次元信号のウェーブレット変換は、ほとんどの多次元信号と同様に、計算上困難であることがよくあります。また、CWT と DHWT の方法は、方向性とシフト不変性を備えているにもかかわらず、冗長です。

参考文献

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外部リンク

ウェーブレット設定におけるテンソル積
ウェーブレット変換の Matlab 実装
マルチスケール幾何学的表現のパノラマ、空間、方向、周波数選択性の絡み合い、2D（2次元）ウェーブレット表現のレビュー

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