フレーム（線形代数）

線型代数学において、内積空間のフレームは、ベクトル空間の基底を、線型従属する可能性のある集合に一般化したものである。信号処理の用語では、フレームは信号を表現する冗長で安定した方法を提供する。^{[1]フレームは、}エラー検出と訂正、フィルタバンクの設計と分析、およびより一般的には応用数学、コンピュータサイエンス、エンジニアリングで使用されている。^[2]

フレームを取り巻く様々な数学的要素のため、フレーム理論は調和解析、関数解析、作用素理論、線型代数、行列理論にそのルーツを持っています。^[3]

フーリエ変換は、信号を分解および拡張する方法として 1 世紀以上にわたって使用されてきました。しかし、フーリエ変換では、信号の放出の瞬間と持続時間に関する重要な情報が隠されてしまいます。1946 年、デニス ガボールは、重要な信号特性をカプセル化しながら、ノイズの削減、復元力の提供、量子化を同時に実現する技術を使用して、この問題を解決しました。 ^[1]この発見は、フレーム理論に向けた最初の協調的な取り組みとなりました。

フレーム条件は、1952年にリチャード・ダフィンとアルバート・チャールズ・シェーファーが非調和フーリエ級数に関する論文で、線形従属全域集合（彼らの用語では「ヒルベルト空間フレーム」）のベクトルの線形結合の係数を計算する方法として初めて説明しました。 ^[4] 1980年代には、ステファン・マラ、イングリッド・ドーブシー、イヴ・マイヤーがフレームを使用してウェーブレットを分析しました。今日、フレームはウェーブレット、信号および画像処理、データ圧縮に関連付けられています。

体上のベクトル空間 があり、任意の元をベクトルの線形結合として表現したいとします。つまり、次のような係数を見つけたいとします。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}\in V}$${\displaystyle \{c_{k}\}\in F}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.}$

集合 がを張らない場合、そのような係数はすべてのそのような に対して存在するわけではありません。が を張っており、 も線形独立である場合、この集合 はの基底を形成し、係数はによって一意に決定されます。ただし、が を張るが線形独立でない場合、係数をどのように決定するかという問題は、特に が無限次元である場合に、あまり明確ではなくなります。 ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle c_{k}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

が広がり、線形従属であることを考えると、1 つの戦略は、線形独立になって基底を形成するまで、セットからベクトルを削除することです。この計画にはいくつか問題があります。 ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle V}$

1. セットから任意のベクトルを削除すると、線形独立になる前にセットを張ることができなくなる可能性があります。${\displaystyle V}$
2. 集合が基底になるまで集合からベクトルを除去する特定の方法を考案することが可能であったとしても、集合が大きいか無限である場合、このアプローチは実際には実行不可能になる可能性がある。
3. アプリケーションによっては、 を表すのに必要な数よりも多くのベクトルを使用する方が有利な場合があります。つまり、の要素を削除せずに係数を求めることになります。係数はによって一意に決定されなくなります。したがって、ベクトルは の線形結合として複数の方法で表すことができます。${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle c_{k}}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle c_{k}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

を内積空間とし、をのベクトルの集合とする。集合がのフレームであるとは、いわゆるフレーム条件を満たす場合である。つまり、 ^[5]を満たす2 つの定数が存在する場合である。${\displaystyle V}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 0<A\leq B<\infty }$

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

フレームがベクトル空間のリース基底でない場合、そのフレームは過剰完備（または冗長）と呼ばれる。フレームの冗長性は、それぞれフレームの下限と上限（または冗長係数）とで測定される。^[6] つまり、次元空間の正規化されたベクトルのフレームは、次の式を満たすフレーム境界を持つ。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle K\geq N}$ ${\displaystyle \|\mathbf {e} _{k}\|=1}$${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle 0<A\leq {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{K}|\langle \mathbf {e} _{k},\mathbf {e} _{ k}\rangle |^{2}={\frac {K}{N}}\leq B<\infty .}$

フレームがリース基底であり、したがって線形独立である場合、 となります。 ${\displaystyle A\leq 1\leq B}$

フレーム境界は一意ではありません。より小さい数値とより大きい数値も有効なフレーム境界であるためです。最適な下限はすべての下限の上限であり、最適な上限はすべての上限の 下限です。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

フレーム条件が満たされる場合、次のように定義される線形演算子^[7]

${\displaystyle \mathbf {T} :V\to \ell ^{2},\quad \mathbf {v} \mapsto \mathbf {T} \mathbf {v} =\{\langle \mathbf {v} ,\ mathbf {e_{k}} \rangle \}_{k\in \mathbb {N} },}$

フレーム係数の列へのマッピングは解析演算子と呼ばれます。この定義を使用すると、フレーム条件は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle c_{k}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle }$

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \mathbf {v} \right\|^{2}=\sum _{k}\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.}$

解析演算子の随伴演算子はフレームの合成演算子と呼ばれ、[ 8]のように定義される^。

${\displaystyle \mathbf {T} ^{*}:\ell ^{2}\to V,\quad \{c_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\mapsto \sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.}$

分析演算子と合成演算子の合成により、次のように定義される フレーム演算子が得られる。

${\displaystyle \mathbf {S} :V\rightarrow V,\quad \mathbf {v} \mapsto \mathbf {S} \mathbf {v} =\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

この定義と内積の最初の引数の線形性から、フレーム条件は次のように表される。

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \mathbf {v} \right\|^{2}=\langle \mathbf {S} \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.}$

解析演算子が存在する場合、フレーム演算子とその逆演算子も存在します。 と は両方とも正定値で有界な自己随伴演算子であり、結果としてとはのスペクトルの最小値と最大値になります。^[9]有限次元では、フレーム演算子は自動的にトレースクラスになり、 と はの最小および最大固有値、またはの最小および最大特異値に対応します。^[10]${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {S} ^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {S} ^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$

フレーム条件は、の信号と の係数のシーケンス間のノルム等価性を維持するパーセバルの恒等式の一般化です。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \ell ^{2}}$

集合が のフレームである場合、を張る。そうで ない場合は、すべてに直交する非ゼロの集合が少なくとも1つ存在し、${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq 0\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2};}$

フレーム条件または仮定に違反します。 ${\displaystyle \mathbf {v} \neq 0}$

しかし、 の全域集合は必ずしもフレームではありません。例えば、のドット積と、で与えられる 無限集合を考えてみましょう。${\displaystyle V}$${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle \left\{(1,0),\,(0,1),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right),\dotsc \right\}.}$

このセットは、 ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \sum _{k}\left|\langle \mathbf {e} _{k},(0,1)\rangle \right|^{2}=0+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dotsb =\infty ,}$

有限の上限フレーム境界B を選択することはできません。したがって、この集合はフレームではありません。 ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

をフレームとします。フレーム条件を満たすと、双対演算子は次のように定義されます 。${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle {\widetilde {\mathbf {T} }}\mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle ,}$

と

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} )^{-1}\mathbf {e} _{k}=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k},}$

双対フレーム（または共役フレーム）と呼ばれる。これは（基底の双対基底に似た）の標準的な双対であり、 ^[11]${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k}=\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},}$

およびその後のフレーム条件

${\displaystyle {\frac {1}{B}}\|\mathbf {v} \|^{2}\leq \sum _{k}|\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle |^{2}=\langle \mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq {\frac {1}{A}}\|\mathbf {v} \|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

正準双対性は相互関係である。つまり、フレームがの正準双対であれば、フレームはの正準双対である。これが意味をなすことを確認するために、をの要素とし、 ${\displaystyle \{\mathbf {\tilde {e}} _{k}\}}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\},}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle \{\mathbf {\tilde {e}} _{k}\}.}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}.}$

したがって

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle (\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k})=\mathbf {S} ^{-1}\left(\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}\right)=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {S} \mathbf {v} =\mathbf {v} ,}$

それを証明する

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}.}$

あるいは、

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

とその逆関数 の特性を適用すると、次のことが分かります。${\displaystyle \mathbf {S} }$

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\sum _{k}\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\mathbf {S} (\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} )=\mathbf {v} ,}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

過剰完備フレームは 、係数の選択にある程度自由度を与え、となる。つまり、の双対フレームが存在し、 に対して ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle c_{k}\neq \langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle }$${\textstyle \mathbf {v} =\sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}}$${\displaystyle \{\mathbf {g} _{k}\}\neq \{{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\}}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {g} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

がヒルベルト空間の部分空間であり、 とがそれぞれ のフレームと双対フレームであるとする。が に依存しない場合、双対フレームは次のように計算される。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \{{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle f\in H}$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V})^{-1}\mathbf {e} _{k},}$

ここで はから への制限を表し、は上で可逆である。におけるの最良線形近似はから への直交射影によって与えられ、次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbf {T} _{V}}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f\in H}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle P_{V}f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k}=\sum _{k}\langle f,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

デュアルフレーム合成演算子は次のように定義される。

${\displaystyle P_{V}f={\widetilde {\mathbf {T} }}^{*}\mathbf {T} f=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V})^{-1}\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k},}$

そして直交射影はフレーム係数から計算される。双対解析では、直交射影は次のよう に計算される。${\displaystyle \langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle }$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle P_{V}f=\mathbf {T} ^{*}{\widetilde {\mathbf {T} }}f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}}$

デュアルフレーム解析演算子を用いる。^[12]${\displaystyle \{{\widetilde {\mathbf {T} }}f\}_{k}=\langle f,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle }$

信号処理では、信号をヒルベルト空間のベクトルとして表現するのが一般的です。この解釈では、フレームベクトルの線形結合として表現されたベクトルは冗長信号です。信号を線形独立ベクトルの集合で厳密に表現することが、必ずしも最もコンパクトな形式であるとは限りません。^[13]フレームを使用すると、基本信号のファミリと比較して、信号のより単純でスパースな表現を作成できます。したがって、フレームは「堅牢性」を提供します。フレームは空間内で同じベクトルを生成する方法を提供するため、信号をさまざまな方法でエンコードできます。これにより、フォールトトレランスと信号損失に対する回復力が向上します。最後に、冗長性はノイズを軽減するために使用でき、信号の復元、強化、再構築に関連します。

調和解析から、複素三角関数系は の正規直交基底を形成することが知られています。したがって、 は の（タイトな）フレームであり、境界はです。^[14]${\textstyle \{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ikx}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$${\textstyle \{e^{ikx}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$${\displaystyle A=B=2\pi }$

システムは「十分に小さい」摂動の下で安定しており、フレームはのリース基底を形成する。したがって、のすべての関数は、一意の非調和フーリエ級数表現 を持つ。${\displaystyle \{\lambda _{k}-k\}}$${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$${\displaystyle f}$${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}e^{i\lambda _{k}x},}$

とはフーリエフレーム（または指数フレーム）と呼ばれます。「十分に小さい」とは、ミハイル・カデッツにちなんで名付けられた次の定理によって記述されます。^[15]${\textstyle \sum |c_{k}|^{2}<\infty }$${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$

この定理はフレームに簡単に拡張することができ、整数を別の実数列に置き換えると[ ^{16] [17]}${\textstyle \{\mu _{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle |\lambda _{k}-\mu _{k}|\leq L<{\frac {1}{4}},\quad \forall k\in \mathbb {Z} ,\quad {\text{and}}\quad 1-\cos(\pi L)+\sin(\pi L)<{\sqrt {\frac {A}{B}}},}$

境界のある フレームです${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$

${\displaystyle A(1-{\sqrt {\frac {B}{A}}}(1-\cos(\pi L)+\sin(\pi L)))^{2},\quad B(2-\cos(\pi L)+\sin(\pi L))^{2}.}$

フレームの冗長性は、フレーム係数からの追加ノイズを軽減するのに役立ちます。 は、ノイズの多いフレーム係数で計算されたベクトルを表します。の画像に投影することで、ノイズが軽減されます。 ${\displaystyle \mathbf {a} \in \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

シーケンス空間と（として）は、行列によって与えられる核を持つ再生核ヒルベルト空間である。^[9]そのため、上記の式は再生核方程式とも呼ばれ、フレーム係数の冗長性を表現している。^[18]${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (\mathbf {T} )}$${\displaystyle \operatorname {im} (\mathbf {T} )\subseteq \ell ^{2}}$${\displaystyle M_{k,p}=\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{p},\mathbf {e} _{k}\rangle }$

フレームがタイトフレームであるのは、次の場合である。フレーム境界を持つタイトフレームは、次の性質を持つ。 ${\displaystyle A=B}$${\textstyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{A}}\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

例えば、ベクトル空間の互いに素な正規直交基底の和集合は、 を持つ過剰完備タイトフレームである。のとき、タイトフレームはパーセバルフレームである。^[19]各正規直交基底は（完全な）パーセバルフレームであるが、その逆は必ずしも真ではない。^[20]${\displaystyle k}$${\displaystyle A=B=k}$${\displaystyle A=B=1}$

フレームは、各 に対してとなる定数が存在する場合、等ノルムフレームと呼ばれます。 となる場合、等ノルムフレームは正規化フレーム（単位ノルムフレームと呼ばれることもあります）です。^[21]単位ノルムパーセバルフレームは正規直交基底です。このようなフレームはパーセバルの恒等式を満たします。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \|\mathbf {e} _{k}\|=c}$${\displaystyle k}$${\displaystyle c=1}$

フレームが等角フレームであるとは、すべての に対してとなる定数が存在する場合である。特に、すべての正規直交基底は等角である。^[22]${\displaystyle c}$${\displaystyle |\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle |=c}$${\displaystyle i\neq j}$

フレームの適切なサブセットが内積空間に及ばない場合、その フレームは正確なフレームです。内積空間の各基底は、その空間の正確なフレームです (したがって、基底はフレームの特殊なケースです)。

場合によっては、両方のフレーム境界を同時に満たすことができないことがあります。上部（または下部）セミフレームは、上部（または下部）フレーム不等式のみを満たすセットです。^[9]ベッセルシーケンスは、上部フレーム不等式のみを満たすベクトルのセットの例です。

係数から再構成される任意のベクトルには、次のような定数が存在すれば十分である。 ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$${\displaystyle \{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \}_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle A>0}$

${\displaystyle A\|x-y\|^{2}\leq \|Tx-Ty\|^{2},\quad \forall x,y\in V.}$

分析演算子の線形性 を設定して適用すると、この条件は次の式と同等になります。${\displaystyle \mathbf {v} =x-y}$

${\displaystyle A\|\mathbf {v} \|^{2}\leq \|T\mathbf {v} \|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V,}$

これはまさに下限フレーム境界条件です。

融合フレームは、単一の部分空間の代わりに、正のスカラー重みを持つ閉じた部分空間の集合が考慮される、デュアルフレーム合成および分析演算子の拡張として理解するのが最も適切です。融合フレームは、フレーム条件を満たす ファミリです。${\displaystyle V\subseteq H}$${\displaystyle \{W_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }\subseteq H}$${\displaystyle \{w_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \{W_{i},w_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle A\|f\|^{2}\leq \sum _{i}w_{i}^{2}\|P_{W_{i}}f\|^{2}\leq B\|f\|^{2},\quad \forall f\in H,}$

ここで は部分空間への直交射影を表す。^[23]${\displaystyle P_{W_{i}}}$${\displaystyle W_{i}}$

がヒルベルト空間、局所コンパクト空間、が上の局所有限ボレル測度であるとする。この とき、内の測度を持つベクトルの集合は、定数が存在し、${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle 0<A\leq B}$

${\displaystyle A||f||^{2}\leq \int _{X}|\langle f,f_{x}\rangle |^{2}d\mu (x)\leq B||f||^{2},\quad \forall f\in H.}$

連続フレームが実際に上記のフレームの自然な一般化であることを確認するために、離散集合と、ディラック測度である測度 を考えてみましょう。すると、連続フレーム条件は次のように簡約されます。 ${\displaystyle \Lambda \subset X}$${\displaystyle \mu =\delta _{\Lambda }}$${\displaystyle \delta _{\Lambda }}$

${\displaystyle A||f||^{2}\leq \sum _{\lambda \in \Lambda }|\langle f,f_{\lambda }\rangle |^{2}\leq B||f||^{2},\quad \forall f\in H.}$

離散の場合と同様に、連続フレームを扱うときに分析、合成、およびフレーム演算子を定義できます。

連続フレームが与えられた場合、連続解析演算子は次のように定義される関数にマッピングされる演算子です。 ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle T:H\to L^{2}(X,\mu )}$による。 ${\displaystyle f\mapsto \langle f,f_{x}\rangle _{x\in X}}$

連続解析演算子の随伴演算子は連続合成演算子であり、これは写像である。

${\displaystyle T^{*}:L^{2}(X,\mu )\to H}$による。${\displaystyle a_{x}\mapsto \int _{X}a_{x}f_{x}d\mu (x)}$

連続分析演算子と連続合成演算子の合成は、連続フレーム演算子として知られています。連続フレームの場合、次のように定義されます。 ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$

${\displaystyle S:H\to H}$による${\displaystyle Sf:=\int _{X}\langle f,f_{x}\rangle f_{x}d\mu (x).}$

この場合、連続フレーム投影は次のように定義される正射影である。 ${\displaystyle P:L^{2}(x,\mu )\to \operatorname {im} (T)}$

${\displaystyle P:=TS^{-1}T^{*}.}$

射影子は再生核を持つ積分演算子なので、再生核ヒルベルト空間となる。^[9]${\displaystyle P}$${\displaystyle K(x,y)=\langle S^{-1}f_{x},f_{y}\rangle }$${\displaystyle \operatorname {im} (T)}$

連続フレームと別の連続フレームが与えられたとき、がすべて に対して次の条件を満たす場合、は の連続デュアルフレームであると言われます。 ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$${\displaystyle \{g_{x}\}_{x\in X}}$${\displaystyle \{g_{x}\}_{x\in X}}$${\displaystyle \{f_{x}\}}$${\displaystyle f,h\in H}$

${\displaystyle \langle f,h\rangle =\int _{X}\langle f,f_{x}\rangle \langle g_{x},h\rangle d\mu (x).}$

フレームが基底を線形従属である可能性のあるセットに自然に一般化したものであるのと同様に、正演算子値測度(POVM) は、POVM の要素が必ずしも直交射影ではないという点で、射影値測度(PVM)の自然な一般化です。

がボレルσ-代数を持つ可測空間であり、がから上の正の作用素の空間へのPOVMであり、さらに次の性質を持つとする。 ${\displaystyle (X,M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle 0<AI\leq F(M)\leq BI<\infty ,}$

ここで は恒等演算子である。 はフレーム付きPOVMと呼ばれる。^[23]${\displaystyle I}$${\displaystyle F}$

融合フレーム条件の場合、これにより置換が可能になる。

${\displaystyle F(m)=\sum _{i\in m}w_{i}P_{W_{i}},\quad m\in M.}$

連続フレーム演算子の場合、フレームPOVMは^[24]

${\displaystyle \langle F(M)f_{x},f_{y}\rangle =\int _{M}\langle Sf_{x},f_{y}\rangle d\mu (x).}$

• kフレーム
• 双直交ウェーブレット
• 直交ウェーブレット
• 制限された等長性特性
• シャウダー基底
• 調和分析
• フーリエ解析
• 機能分析

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