数理物理学におけるコヒーレント状態

コヒーレント状態は、最初は量子力学における準古典的状態として、その後量子光学のバックボーンとして物理的な文脈で導入され、その精神でコヒーレント状態の記事で説明されています（ ^[1]も参照）。しかし、それらは多種多様な一般化を生み出し、数理物理学における膨大な量の文献につながっています。この記事では、この分野での研究の主な方向性を概説します。詳細については、いくつかの既存の調査を参照してください。 ^{[2] [3] [4]}

を複素可分ヒルベルト空間、局所コンパクト空間、および上の測度とします。内の各 に対して、内のベクトルを表します。このベクトルの集合が次の特性を持つものとします。 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}\,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d\nu}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

1. マッピングは弱連続である、つまり、内の各ベクトルに対して、関数は連続である（ の位相において）。${\displaystyle x\mapsto |x\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle \Psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$${\displaystyle X}$
2. 恒等式の解決はヒルベルト空間 上の弱い意味で成り立ちます。つまり、内の任意の 2 つのベクトルに対して、次の等式が成り立ちます。$${\displaystyle \int _{X}|x\rangle \langle x|\,d\nu (x)=I_{\mathfrak {H}}}$$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle |\phi \rangle ,|\psi \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$$${\displaystyle \int _{X}\langle \phi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \,d\nu (x)=\langle \phi |\psi \rangle \,.}$$

上記の2つの性質を満たすベクトルの集合は、一般化されたコヒーレント状態の族と呼ばれます。標準コヒーレント状態（CCS）の以前の定義（コヒーレント状態の記事で与えられている）を回復するには、複素平面、および${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle X\equiv \mathbb {C} }$${\textstyle d\nu (x)\equiv {\frac {1}{\pi }}d^{2}x.}$

恒等条件の解決は、より弱い条件に置き換えられることがあります。その条件とは、ベクトルが単ににおける全集合^{[明確化が必要]}を形成し、関数 がを通過するときに 、再生核ヒルベルト空間 を形成するというものです。どちらの場合も、目的は、任意のベクトルがこれらのベクトルの線形 (積分) 結合として表現可能であることを保証することです。実際、恒等条件の解決は、 の場合 が成り立つことを直ちに意味します 。 ${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}\,}$${\displaystyle \Psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{X}\Psi (x)\left|x\right\rangle \,d\nu (x)\,,}$$${\displaystyle \Psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$

これらのベクトルは、上で二乗積分可能な連続関数であり、再生特性を満たす。 ここで、は再生核であり、以下の特性を満たす。 ${\displaystyle \Psi}$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \int _{X}K(x,y)\Psi (y)\,d\nu (y)=\Psi (x)\,,}$$${\displaystyle K(x,y)=\langle x|y\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(x,y)&={\overline {K(y,x)}}\;,\qquad K(x,x)>0\,,\\\int _ {X}K(x,z)\,K(z,y)\,d\nu (z)&=K(x,y)\,.\end{aligned}}}$$

このセクションでは、上記の一般的な構造の例として、より一般的に使用されるコヒーレント状態のいくつかのタイプを紹介します。

CCS の一般化の大きなクラスは、その解析構造を単純に修正することによって得られます。 を正の数の無限列 ( ) とします。と を慣例集合 によって定義します。 CCS が記述された同じフォック空間で、関連する変形または非線形コヒーレント状態を次の展開によって 定義します。${\displaystyle \varepsilon _{1}\leq \varepsilon _{2}\leq \dots \leq \varepsilon _{n}\leq \cdots }$${\displaystyle \varepsilon _{1}\neq 0}$${\displaystyle \varepsilon _{n}!=\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\ldots \varepsilon _{n}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}!=1}$

$${\displaystyle \vert \alpha \rangle ={\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})^{-1/2}\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}|n\rangle \,.}$$ 正規化係数はとなるように選択される。これらの一般化されたコヒーレント状態はフォック空間において過剰完備であり、恒等式の解決を満たす。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})}$${\displaystyle \langle \alpha \vert \alpha \rangle =1}$$${\displaystyle \int _{\mathcal {D}}\vert \alpha \rangle \langle \alpha \vert \;{\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})\;d\nu (\alpha ,{\overline {\alpha }})=I\,,}$$

${\displaystyle {\mathcal {D}}}$は複素平面上の半径 の開円板であり、級数の収束半径 です（CCS の場合は）。この測度は一般に（ の場合）の形式をとります。ここで はモーメント条件を通じて と関連しています。${\displaystyle L}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}}$${\displaystyle L=\infty }$${\displaystyle d\nu }$${\displaystyle d\theta \,d\lambda (r)}$${\displaystyle \alpha =re^{i\theta }}$${\displaystyle d\lambda }$${\displaystyle \varepsilon _{n}!}$

もう一度、フォック空間の任意のベクトルに対して、関数はの形をとり、ここで は領域 上の解析関数であることがわかります。これらのコヒーレント状態に関連付けられた再生核は ${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle \Phi (\alpha )=\langle \phi |\alpha \rangle }$${\displaystyle \Phi (\alpha )={\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})^{-{\frac {1}{2}}}f(\alpha )}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$$${\displaystyle K({\overline {\alpha }},\alpha ')=\langle \alpha |\alpha '\rangle =\left[{\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2}){\mathcal {N}}(\vert \alpha '\vert ^{2})\right]^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\overline {\alpha }}\alpha ')^{n}}{\varepsilon _{n}!}}\,.}$$

CCS の場合と同様に、一般化消滅演算子を、 ベクトル、 およびその随伴演算子への作用によって定義できます。これらは、フォック状態に対して として 作用します。 量 の正確な値に応じて、これら 2 つの演算子は、恒等演算子とそのすべての交換子とともに、さまざまな種類の変形量子代数を含む広範囲の代数を生成できます。これらの一般化コヒーレント状態によく適用される「非線形」という用語は、これもまた量子光学に由来しており、量子光学では、このような状態の多くの族が放射場と原子間の相互作用の研究に使用され、相互作用の強度自体は放射の周波数に依存します。もちろん、これらのコヒーレント状態は一般に、CCS の群論的特性も最小不確実性特性も持ちません (より一般的な特性を持つ場合があります)。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$$${\displaystyle A|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,,}$$${\displaystyle A^{\dagger }}$ ${\displaystyle |n\rangle }$$${\displaystyle A|n\rangle ={\sqrt {\varepsilon _{n}}}|n-1\rangle \,,\qquad A^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {\varepsilon _{n+1}}}|n+1\rangle \,.}$$${\displaystyle \varepsilon _{n}}$${\displaystyle I}$

上記で定義した一般的なタイプの演算子と演算子は、ラダー演算子としても知られています。このような演算子がリー代数の表現の生成元として現れるとき、 の固有ベクトルは通常、 Barut–Girardello コヒーレント状態と呼ばれます。^{[5]典型的な例は、SU(1,1) の}リー代数のフォック空間上の表現から得られます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\dagger }}$${\displaystyle A}$

非線形コヒーレント状態の上記の表現の非解析的拡張は、純粋な点スペクトルを持つ物理ハミルトニアンに関連する一般化されたコヒーレント状態を定義するためによく使用されます。これらのコヒーレント状態は、ガゾー・クラウダーコヒーレント状態として知られ、作用角変数によってラベル付けされます。 ^[6] 物理ハミルトニアン が与えられ、、つまり、エネルギー固有値と固有ベクトルを持ち、これが状態のヒルベルト空間 の正規直交基底を形成すると仮定します。として順序付けられた無次元量のシーケンスを導入して、固有値を と書きます。すると、すべてのおよびに対して、ガゾー・クラウダーコヒーレント状態は次のように定義されます。 ${\textstyle H=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|}$${\displaystyle E_{0}=0}$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle |n\rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle E_{n}=\omega \varepsilon _{n}}$${\displaystyle \{\varepsilon _{n}\}}$${\displaystyle 0=\varepsilon _{0}<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}<\cdots }$${\displaystyle J\geq 0}$${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle |J,\gamma \rangle ={\mathcal {N}}(J)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {J^{n/2}e^{-i\varepsilon _{n}\gamma }}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}|n\rangle \,,}$$ ここでも は正規化係数であり、のみに依存することがわかります。これらのコヒーレント状態は時間的安定性条件を満たします。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle J}$

$${\displaystyle e^{-iHt}\vert J,\gamma \rangle =\vert J,\gamma +\omega t\rangle \,,}$$ そして、作用恒等式 です。 これらの一般化されたコヒーレント状態は において過剰完備集合を形成しますが、恒等式の解決は一般に上記のような積分関係によって与えられるのではなく、ほぼ周期関数の理論で使用されているようなボーアの意味での積分によって与えられます。 $${\displaystyle \langle J,\gamma |H|J,\gamma \rangle _{\mathfrak {H}}=\omega J\,.}$$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

実際に、ガゾー・クラウダーCSの構成は、アリとバガレロによって示されているように、ベクトルCSや縮退スペクトルを持つハミルトニアンに拡張することができます。^[7]

別のタイプのコヒーレント状態は、配置空間がコンパクトリー群 Kの群多様体である粒子を考えるとき生じる。ホールは、ユークリッド空間上の通常のガウス分布をK上の熱核に置き換えたコヒーレント状態を導入した。^[8]コヒーレント状態のパラメータ空間はKの「複素化」である。例えば、KがSU( n )の場合、複素化はSL( n , C )である。これらのコヒーレント状態は、複素化上のセガール-バーグマン空間につながる恒等式の解決を持つ。ホールの結果は、ステンツェルによって球を含むコンパクト対称空間に拡張された。^{[9] [10]}の場合の熱核コヒーレント状態は、ティーマンと彼の協力者によって量子重力理論に適用されている。^[11]構築には 2 つの異なるリー群が関係しているが、熱核コヒーレント状態はペレロモフ型ではない。 ${\displaystyle K=\mathrm {SU} (2)}$

ギルモアとペレロモフはそれぞれ独立して、一貫性のある状態の構築は群論的な問題として捉えられることがあることに気づいた。^{[12] [13] [14] [15] [16] [17]}

これを理解するには、CCS の場合を少し振り返ってみましょう。そこでは、変位演算子は、リー代数がおよびによって生成されるハイゼンベルク群(ワイル-ハイゼンベルク群とも呼ばれる)の要素のフォック空間における表現に他なりません。ただし、CCS に進む前に、まず一般的なケースを見てみましょう。 ${\displaystyle D(\alpha )}$${\displaystyle X,\,P}$${\displaystyle I}$

を局所コンパクト群とし、ユニタリ作用素 によるヒルベルト空間上の連続かつ既約な表現を持つものとする。この表現は、に積分が 収束する非ゼロベクトルが存在する場合、二乗積分可能と呼ばれる 。ここでは上の左不変ハール測度である。のベクトルは許容であるとされ、そのようなベクトルが 1 つ存在すれば、 にそのようなベクトルの稠密な集合全体が存在することが保証される。さらに、群がユニモジュラである場合、つまり左不変測度と右不変測度が一致する場合、1 つの許容ベクトルが存在することは 内のあらゆるベクトルが許容されることを意味する。二乗積分可能な表現と許容ベクトル が与えられた場合、ベクトルを定義する 。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle U(g),\;g\in G}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$$${\displaystyle c(\psi )=\int _{G}\vert \langle \psi |U(g)\psi \rangle \vert ^{2}\,d\mu (g)}$$${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle G}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle c(\psi )<\infty }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle |g\rangle ={\frac {1}{\sqrt {c(\psi )}}}\,U(g)|\psi \rangle ,{\text{ for all }}g\in G.}$$これらのベクトルは、そこではハイゼンベルク群 の表現で書かれた標準的なコヒーレント状態の類似物です（ただし、下のギルモア-ペレロモフ CS のセクションを参照してください）。次に、 上で恒等式の解決が成り立つことが示されます 。したがって、ベクトルは一般化されたコヒーレント状態の族を構成します。内のすべてのベクトルの関数は、測度に関して平方積分可能であり、そのような関数の集合は、実際には の位相で連続しており、 の閉じた部分空間を形成します。さらに、マッピングはとの間の線型等長変換であり、この等長変換の下で、表現は上のの左正規表現の部分表現にマッピングされます。 $${\displaystyle \int _{G}\left|g\right\rangle \left\langle g\right|\,d\mu (g)=I_{\mathfrak {H}}}$$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle |g\rangle }$${\displaystyle F(g)=\langle g|\phi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$${\displaystyle \phi \mapsto F}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$${\displaystyle U}$${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$

上記の構成の典型的な例は、直線 のアフィン群によって提供されます。これは、 型のすべての 2×2 行列の群であり、 はを満たす実数です。 も書き、 への作用は で与えられます。この群は非ユニモジュラであり、左不変測度は で与えられます(右不変測度は)。アフィン群は、ヒルベルト空間 上にユニタリ既約表現を持ちます。 内のベクトルは実変数の測定可能な関数であり、この表現の (ユニタリ) 演算子は、それらに として作用します 。 が内の関数で、そのフーリエ変換が(許容) 条件を満たす 場合 、それは許容ベクトルであることが示されます。つまり、 したがって、上で概説した一般的な構成に従うと、ベクトルは 一般化されたコヒーレント状態の族を定義し、 上の 恒等式の解決が得られます 。信号解析の文献では、上記の許容条件を満たすベクトルはマザーウェーブレットと呼ばれ、一般化されたコヒーレント状態はウェーブレットと呼ばれます。信号はベクトルと同一視され、関数は 信号の連続ウェーブレット変換 と呼ばれます。^{[18] [19]}${\displaystyle G_{\text{Aff}}}$$${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle g=(b,a)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (b,a)\cdot x=b+ax}$${\displaystyle d\mu (b,a)=a^{-2}\,db\,da}$${\displaystyle a^{-1}\,db\,da}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U(b,a)}$$${\displaystyle (U(b,a)\varphi )(x)={\frac {1}{\sqrt {\vert a\vert }}}\,\varphi \left({\frac {x-b}{a}}\right)={\frac {1}{\sqrt {\vert a\vert }}}\,\varphi \left((b,a)^{-1}\cdot x\right)\,.}$$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$ ${\displaystyle {\widehat {\psi }}}$$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\frac {\vert {\widehat {\psi }}(k)\vert ^{2}}{\vert k\vert }}\,dk<\infty \,,}$$$${\displaystyle c(\psi )=\int _{G_{\text{Aff}}}\left\vert \left\langle \psi |U(b,a)\psi \right\rangle \right\vert ^{2}\,{\frac {db\,da}{a^{2}}}<\infty \,.}$$$${\displaystyle |b,a\rangle ={\frac {1}{\sqrt {c(\psi )}}}\,U(b,a)\psi \,,\qquad (b,a)\in G_{\text{Aff}}}$$$${\displaystyle \int _{G_{\text{Aff}}}\left|b,a\right\rangle \left\langle b,a\right|{\frac {db\,da}{a^{2}}}=I}$$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$${\displaystyle |b,a\rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$$${\displaystyle F(b,a)=\langle b,a|\varphi \rangle \,,}$$${\displaystyle \varphi }$

この概念は2次元に拡張することができ、その場合、その群は平面の相似群と呼ばれるものに置き換えられる。相似群は平面の平行移動、回転、および全体的膨張から構成される。結果として得られる2Dウェーブレットとその一般化は、画像処理で広く使用されている。^[20]${\displaystyle G_{\text{Aff}}}$

上で説明した群表現を用いたコヒーレント状態の構築だけでは不十分である。既に CCS は得られない。なぜなら、これらはハイゼンベルク群の元ではなく、ハイゼンベルク群の中心による商の点によってインデックス付けされており、その商は正確に であるからである。重要な観察結果は、ハイゼンベルク群の中心が、位相 まで真空ベクトルを不変にすることである。この考えを一般化して、ギルモアとペレロモフ^{[12] [13] [14] [15]}は、必ずしも二乗積分可能ではない、ヒルベルト空間 上の局所コンパクト群とユニタリ既約表現を考察している。単位ノルムの のベクトル をに固定し、位相 まで不変にするすべての元からなる の部分群によって表す。つまり、 はの実数値関数である。を左剰余類空間、 内の任意の元とする。各剰余類 について剰余類代表 を選択して、ベクトル を定義します 。 これらのベクトルが剰余類代表の特定の選択に依存するのは、位相を介してのみです。実際、 の代わりに、同じ剰余類 について異なる代表を取った場合、ある について となるため、 となります。したがって、量子力学的には、とはどちらも同じ物理的状態を表し、特に、射影演算子は剰余類 のみに依存します。このように定義されたベクトルは、ギルモア・ペレロモフのコヒーレント状態と呼ばれます。 は既約であると仮定されるため、を通るこれらすべてのベクトルの集合は、において稠密です。この一般化されたコヒーレント状態の定義では、恒等式の解決は仮定されていません。ただし、 がの自然な作用の下で不変測度を持ち、として定義された 形式演算子 が有界である場合、それは必然的に恒等式の倍数となり、再び恒等式の解決が取得されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle G}$${\displaystyle U}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle h}$$${\displaystyle U(h)\left|\psi \right|\rangle =e^{i\omega (h)}\left|\psi \right\rangle \,,}$$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle h}$${\displaystyle X=G/H}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g(x)\in G}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle |x\rangle =U(g(x))\left|\psi \right\rangle \in {\mathfrak {H}}.}$$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle g(x)'\in G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g(x)'=g(x)h}$${\displaystyle h\in H}$${\displaystyle U(g(x)')|\psi \rangle =e^{i\omega (h)}|x\rangle }$${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle U(g(x)')|\psi \rangle }$${\displaystyle \left|x\right\rangle \left\langle x\right|}$${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle B=\int _{X}\left|x\right\rangle \left\langle x\right|d\mu (x)\,,}$$

ギルモア・ペレロモフのコヒーレント状態は量子群に一般化されているが、これについては文献を参照されたい。^{[21] [22] [23] [24] [25] [26]}

ペレロモフ構成は、任意の局所コンパクト群のコヒーレント状態を定義するために使用できます。一方、特にギルモア-ペレロモフ構成が失敗した場合、群の表現を使用して、群の同次空間に平方積分可能性の概念を一般化する、一般化されたコヒーレント状態の他の構成が存在します。^{[2] [3]}

簡単に言うと、このアプローチでは、ユニタリ既約表現から始めて、となる ベクトル、部分群、およびを見つけようとします。 ここで は、有界な逆を持つ有界な正の演算子であり、 は上の準不変測度です。が の作用下で位相まで不変であるとは仮定されておらず、明らかに、が恒等式の倍数であるときが最適な状況です。 多少専門的ではありますが、この一般的な構成は、 （は の閉じた部分群）タイプの半直積群に対して非常に汎用性があります。したがって、これは、以前の定義の意味で平方積分可能な表現を持たない、ポアンカレ群やユークリッド群などの多くの物理的に重要な群に役立ちます。特に、演算子を定義する積分条件は、 の任意のベクトルが一般化されたコヒーレント状態、つまり で表せることを保証します。これは、 あらゆる種類のコヒーレント状態の主な目的です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma :G/H\to G}$$${\displaystyle \int _{G/H}\left|x\right\rangle \left\langle x\right|d\mu (x)=T\,,}$$${\displaystyle |x\rangle =U(\sigma (x))\left|\psi \right\rangle }$${\displaystyle T}$${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle X=G/H}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rtimes K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle T}$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle |x\rangle }$$${\displaystyle |\phi \rangle =\int _{X}\Psi (x)|x\rangle \,d\mu (x)\,,\qquad \Psi (x)=\langle x|T^{-1}\phi \rangle \,,}$$

ここで標準的な状況から離れて、コヒーレント状態を構築する一般的な方法を示します。この方法は、標準的な CS の調和振動子ハミルトニアンのように、何らかの自己随伴演算子の固有状態の重ね合わせとしてのこれらのオブジェクトの構造に関するいくつかの観察から始めます。この重ね合わせが確率的な特徴を持つというのが、量子力学の本質です。実際、標準的なコヒーレント状態の確率構造には、その構築の基礎となる2 つの確率分布が含まれています。ある種の双対性として、量子システムがコヒーレント状態 にあるときに励起を検出する確率を支配するポアソン分布と、複素パラメータの集合、より正確には動径変数の平方の範囲に関するガンマ分布があります。一般化はその双対性スキームに従います。 を、に関して平方積分可能な測度とそれに関連する複素数値関数のヒルベルト空間を備えたパラメータの集合とします。有限または可算正規直交集合において、以下を選択しましょう。 無限可算の場合、この集合は (重要な) 有限性条件に従わなければなりません。 を、 の元と一対一に対応する正規直交基底を持つ可分複素ヒルベルト空間とします 。上記の 2 つの条件は、 によって定義される における 正規化されたコヒーレント状態の族が、 における恒等式を解決することを意味します。このよう な関係 により、における次の演算子を適切な条件を満たす関数に関連付けることで、パラメータ集合のコヒーレント状態またはフレーム量子化を実装できます。 が実数値の場合、 演算子は対称であり、 が実数で半有界の場合、演算子は (二次形式として) 自己随伴です。元の演算子は、演算子 の上部シンボル(通常は一意ではない)です。 として定義されるのいわゆる下部シンボルが、 元の集合 に付与されるさらなる位相特性に従って正確にされる軽度の機能特性を持つ場合、それは族に関して古典的な観測可能量と呼ばれます 。量子状態空間のこの構築における最後のポイントは、その統計的側面に関するものです。実際、2 つの確率分布の間には相互作用があります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle |z\rangle }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L^{2}(X,d\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L^{2}(X,d\mu )}$${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{\phi _{n}\,,\,n=0,1,\dots \}}$$${\displaystyle \langle \phi _{m}|\phi _{n}\rangle =\int _{X}{\overline {\phi _{m}(x)}}\,\phi _{n}(x)\,d\mu (x)=\delta _{mn}\,.}$$$${\displaystyle 0<{\mathcal {N}}(x):=\sum _{n}\vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}<\infty \,\quad \mathrm {a.e.} \,.}$$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \,,\,n=0,1,\dots \}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathfrak {H}}=\{|x\rangle \,,\,x\in X\}}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$$${\displaystyle |x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {{\mathcal {N}}(x)}}}\sum _{n}{\overline {\phi _{n}(x)}}\,|e_{n}\rangle \,,}$$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$$${\displaystyle \int _{X}d\mu (x)\,{\mathcal {N}}(x)\left|x\right\rangle \left\langle x\right|=I_{\mathfrak {H}}\,.}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\ni x\mapsto f(x)}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$$${\displaystyle f(x)\mapsto A_{f}:=\int _{X}\mu (dx)\,{\mathcal {N}}(x)\,f(x)\left|x\right\rangle \left\langle x\right|.}$$${\displaystyle A_{f}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle A_{f}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathfrak {H}}}$${\displaystyle A_{f}}$$${\displaystyle {\check {f}}(x):=\langle x|A_{f}|x\rangle =\int _{X}\mu (dx')\,{\mathcal {N}}(x')\,f(x')\,\vert \langle x|x'\rangle \vert ^{2}\,.}$$${\displaystyle X}$

• 一貫性のある状態
• リーブ予想
• 量子化