直交ミラーフィルタ

デジタル信号処理において、直交ミラー フィルタは、振幅応答が別のフィルタの振幅応答の鏡像となるフィルタです。Croisier らによって初めて導入されたこれらのフィルタは、直交ミラー フィルタ ペアとして知られています。 ${\displaystyle \pi /2}$

フィルタは、の直交ミラーフィルタです。 ${\displaystyle H_{1}(z)}$${\displaystyle H_{0}(z)}$${\displaystyle H_{1}(z)=H_{0}(-z)}$

フィルタ応答は以下について対称です。 ${\displaystyle \Omega =\pi /2}$

${\displaystyle {\big |}H_{1}{\big (}e^{j\Omega }{\big )}{\big |}={\big |}H_{0}{\big (}e^{j(\pi -\Omega )}{\big )}{\big |}.}$

オーディオ/音声コーデックでは、入力信号を2 つのバンドに分割するフィルタ バンクを実装するために、直交ミラー フィルタ ペアがよく使用されます。結果として得られるハイパス信号とローパス信号は、多くの場合 2 分の 1 に削減され、元の信号の厳密にサンプリングされた 2 チャネル表現が得られます。分析フィルタは、直交ミラー プロパティに加えて、次の式によって関連付けられることがよくあります。

${\displaystyle {\big |}H_{0}{\big (}e^{j\Omega }{\big )}{\big |}^{2}+{\big |}H_{1}{\big (}e^{j\Omega }{\big )}{\big |}^{2}=1,}$

ここで、は周波数、サンプリングレートは に正規化されます。これは、パワー補完特性として知られています。言い換えると、ハイパスフィルタとローパスフィルタのパワーの合計は 1 に等しくなります。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle 2\pi }$

直交ウェーブレット- Haar ウェーブレットと関連するDaubechies ウェーブレット、Coiflets、およびMallatによって開発されたいくつかのウェーブレットは、ウェーブレットとともに直交ミラー フィルタ関係を満たす スケーリング関数によって生成されます。

最も初期のウェーブレットは、関数を長方形のステップで展開するハールウェーブレットに基づいていました。これは通常、近似としては不十分ですが、ドーブシーウェーブレットは最も単純ですが最も重要なウェーブレットファミリーの1つです。点の記録が与えられた場合、「滑らかな」信号に対してゼロになる線形フィルタは次のように定義されます 。${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle y_{n}=\sum _{i=0}^{M-1}b_{i}x_{ni}.}$

定数に対してはゼロになることが望ましいので、例えば次の式を取ると、 ${\displaystyle m=4}$

${\displaystyle b_{0}\cdot 1+b_{1}\cdot 1+b_{2}\cdot 1+b_{3}\cdot 1=0.}$

そしてそれを線形傾斜で消滅させると、

${\displaystyle b_{0}\cdot 0+b_{1}\cdot 1+b_{2}\cdot 2+b_{3}\cdot 3=0.}$

線形フィルタは任意の に対してゼロとなり、これが4次ウェーブレットで実現できるすべてです。2次曲線をゼロにするには6つの項が必要となり、その他の制約を考慮すると、以下同様となります。次に付随するフィルタは次のように定義されます。 ${\displaystyle x=\alpha n+\beta }$

${\displaystyle z_{n}=\sum _{i=0}^{M-1}c_{i}x_{ni}.}$

このフィルタは、滑らかな信号に対しては大きく、滑らかでない信号に対しては小さく、正反対の反応を示します。線形フィルタは、信号とフィルタの係数の畳み込みに過ぎないため、係数の系列はフィルタが最大限に反応する信号です。したがって、最初のフィルタの係数が入力されると、2番目のフィルタの出力は消えます。目的は、

${\displaystyle \sum _{i=0}^{M-1}c_{i}b_{i}=0.}$

ここで、線形フィルタは畳み込みであるため、関連する時系列は係数の順序を反転し、この合計では両方のインデックスが同じになります。この特性を持つフィルタのペアは、直交ミラーフィルタとして定義されます。^[1] 結果として得られる 2 つのバンドが係数 2 でサブサンプリングされている場合でも、フィルタ間の関係により、ほぼ完全な再構成が可能です。つまり、2 つのバンドをアップサンプリングし、同じフィルタで再度フィルタリングして加算することで、元の信号を正確に再現できます (ただし、わずかな遅延があります)。(実際の実装では、浮動小数点演算の数値精度の問題が再構成の完全性に影響する可能性があります。)

• A. Croisier、D. Esteban、C. Galand。補間/間引きツリー分解技術を使用した完全なチャネル分割。科学とシステムに関する第一回国際会議、パトラス、1976 年 8 月、pp. 443-446。
• Johnston, JD 直交ミラーフィルタバンクで使用するために設計されたフィルタファミリ。^{[ permanent dead link ‍ ]}、音響、音声および信号処理、IEEE 国際会議、5、291–294、1980 年 4 月。
• 二項式 QMF は、 Daubechies ウェーブレットフィルターとも呼ばれます。
• サブバンドとウェーブレットに関する NJIT シンポジウム 1990、1992、1994、1997。
• Mohlenkamp, MJ「ウェーブレットとその応用に関するチュートリアル」コロラド大学ボルダー校、応用数学部、2004 年。
• Polikar, R. マルチ解像度解析: 離散ウェーブレット変換。ローワン大学、ニュージャージー州、電気およびコンピュータ工学部。