正規直交基底

数学、特に線型代数において、有限次元の内積空間の正規直交基底とは、ベクトルが正規直交である、つまりすべてのベクトルが単位ベクトルであり互いに直交している基底のことである。 ^{[1] [2] [3]}たとえば、ユークリッド空間の標準基底は正規直交基底であり、ここで関連する内積はベクトルのドット積である。回転または鏡映（または任意の直交変換）による標準基底の像もまた正規直交であり、 のすべての正規直交基底はこの方法で生じる。正規直交基底は正規化によって直交基底から導くことができる。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$原点と正規直交基底を選択すると、正規直交フレームと呼ばれる座標フレームが形成されます。

一般的な内積空間では、正規直交基底を使用して、上の正規化された直交座標を定義できます。これらの座標では、内積はベクトルのドット積になります。したがって、正規直交基底の存在により、有限次元内積空間の研究はドット積の下での研究に簡略化されます。すべての有限次元内積空間には正規直交基底があり、これはグラム・シュミット過程を使用して任意の基底から取得できます。 ${\displaystyle V,}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

関数解析において、正規直交基底の概念は、任意の（無限次元）内積空間に一般化できます。^[4]前ヒルベルト空間が与えられた場合、の正規直交基底は、 内のすべてのベクトルが基底のベクトルの無限線形結合として記述できるという性質を持つベクトルの正規直交集合です。この場合、正規直交基底は のヒルベルト基底と呼ばれることがあります。この意味での正規直交基底は、無限線形結合が必要なため、一般にハメル基底ではないことに注意してください。^[5]具体的には、基底の線形スパンは、必ずしも空間全体 である必要はありませんが、 で稠密である必要があります。${\displaystyle H,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle H,}$

ヒルベルト空間に進むと、正規直交基底と同じ線形スパンを持つ非正規直交ベクトル集合は、基底ではない可能性がある。たとえば、区間上の任意の2乗可積分関数は（ほとんどどこでも）ルジャンドル多項式（正規直交基底）の無限和として表すことができるが、必ずしも単項式の無限和として表す必要はない。${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle x^{n}.}$

別の一般化は擬似内積空間、つまり計量テンソルと呼ばれる非退化対称双線型形式を備えた有限次元ベクトル空間への一般化です。このような基底では、計量は正と負の値を持つ形式を取ります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle {\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

• の場合、ベクトルの集合は標準基底と呼ばれ、標準ドット積に関しての正規直交基底を形成します。標準基底と標準ドット積はどちらも、直交積として見ることに依存していることに注意してください。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ={\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{2}} ={\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{3}} ={\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}}\right\},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

  証明:簡単な計算により、これらのベクトルの内積はゼロで、それぞれの大きさは 1 であることがわかります。これは、が正規直交集合であることを意味します。すべてのベクトルは、が張るようにスケールされた基底ベクトルの合計として表すことができるため、 は基底である必要があります。また、原点を通る軸を中心に回転した標準基底、または原点を通る平面で反射された標準基底も、 の正規直交基底を形成することが示されます。${\displaystyle \left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =0}$${\displaystyle \left\|\mathbf {e_{1}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{2}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{3}} \right\|=1.}$${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}$${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )\in \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=\mathbf {xe_{1}} +\mathbf {ye_{2}} +\mathbf {ze_{3}} ,}$$${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• については、標準基底と内積は同様に定義されます。他の任意の正規直交基底は、グループ O(n) 内の直交変換によって標準基底に関連付けられます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 擬ユークリッド空間 では、 の場合、計量を持つ直交基底はを満たし、の場合、 の場合を満たします。任意の 2 つの正規直交基底は擬直交変換によって関連付けられます。 の場合、これらはローレンツ変換です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q},}$${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$${\displaystyle \mu \neq \nu }$${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=+1}$${\displaystyle 1\leq \mu \leq p}$${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=-1}$${\displaystyle p+1\leq \mu \leq p+q}$${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$
• の集合（指数関数を表す）は、 2 ノルムに関して、有限ルベーグ積分を持つ関数の空間の正規直交基底を形成します。これは、フーリエ級数の研究の基本です。${\displaystyle \left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$${\displaystyle f_{n}(x)=\exp(2\pi inx),}$${\displaystyle \exp }$${\displaystyle L^{2}([0,1]),}$
• とそれ以外の場合の集合は、正規直交基底を形成する。${\displaystyle \left\{e_{b}:b\in B\right\}}$${\displaystyle e_{b}(c)=1}$${\displaystyle b=c}$${\displaystyle e_{b}(c)=0}$${\displaystyle \ell ^{2}(B).}$
• Sturm-Liouville 固有問題の固有関数。
• 直交行列の列ベクトルは正規直交集合を形成します。

が の直交基底である場合、各要素は次のように表される。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle x\in H}$$${\displaystyle x=\sum _{b\in B}{\frac {\langle x,b\rangle }{\lVert b\rVert ^{2}}}b.}$$

が正規直交のとき、これは次のように簡略化され 、のノルム の2乗は次のように表される。 ${\displaystyle B}$$${\displaystyle x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}.}$$

が非可算な場合でも、この和の項のうち非ゼロとなるのは可算な数だけなので、この式は明確に定義されます。この和はのフーリエ展開とも呼ばれ、この式は通常パーセバルの恒等式として知られています。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle x,}$

が の正規直交基底である場合、 はと同型である。つまり、 となるような 全単射線型写像が存在する。${\displaystyle B}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$ ${\displaystyle \Phi :H\to \ell ^{2}(B)}$$${\displaystyle \langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle \ \ \forall \ x,y\in H.}$$

ヒルベルト空間において互いに正規直交するベクトルの集合は正規直交系と呼ばれる。正規直交基底は、 の線型範囲がにおいて稠密であるという追加の特性を持つ正規直交系である。^[6]あるいは、集合はに関して完全または不完全と見なすことができる。つまり、を含む最小の閉線型部分空間を取ることができる。すると はの正規直交基底となり、もちろん はそれ自身よりも小さくなり、不完全正規直交集合となるか、完全正規直交集合のときはとなる。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle V\subseteq H}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V;}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H,}$

ツォルンの補題とグラム・シュミット過程（またはもっと簡単に言えば整列法と超限再帰法）を用いると、あらゆるヒルベルト空間が正規直交基底を持つことを示すことができる。^[7]さらに、同じ空間の任意の 2 つの正規直交基底は同じ濃度を持つ（これは、ベクトル空間の通常の次元定理の証明に似た方法で証明できるが、より大きな基底候補が可算かどうかによってケースが分かれる）。ヒルベルト空間が可算な正規直交基底を持つ場合、かつその場合に限り、ヒルベルト空間は可算である。（この最後のステートメントは選択公理を使わずに証明できる。しかし、可算選択公理を使う必要がある。）

具体的には、正定値対称双線型形式を持つ実 -次元ベクトル空間の正規直交基底について議論します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi =\langle \cdot ,\cdot \rangle }$

に対する正規直交基底をベクトル の集合として見る方法の 1 つは、 、およびまたは と書くことができるようにすることです。この基底に関して、 の成分は特に単純です: (ここではクロネッカーのデルタです)。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}}$${\displaystyle v=v^{i}e_{i}\ \ \forall \ v\in V}$${\displaystyle v^{i}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle (v^{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

基底を内積空間の同型写像として見ることができる。これをより明確にするために、次のように書くことができる。 ${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:(V,\phi )\rightarrow (\mathbb {R} ^{n},\delta _{ij}).}$

明示的には、が の双対基底要素である場合にと書くことができます。 ${\displaystyle (\psi _{\mathcal {B}}(v))^{i}=e^{i}(v)=\phi (e_{i},v)}$${\displaystyle e^{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

逆はコンポーネントマップである

${\displaystyle C_{\mathcal {B}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V,(v^{i})\mapsto \sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}.}$

これらの定義は、一対一であることを示している。

${\displaystyle \{{\text{Space of orthogonal bases }}{\mathcal {B}}\}\leftrightarrow \{{\text{Space of isomorphisms }}V\leftrightarrow \mathbb {R} ^{n}\}.}$

同型写像の空間は、辺または辺のいずれかにおける直交群の作用を許容します。具体的には、同型写像が 方向を指すように固定し、そのような写像の空間 を検討します。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow V}$${\displaystyle {\text{Iso}}(\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V)}$

この空間は、 の等長変換群による左作用、つまり が成り立つような作用を許容し、その作用は合成によって与えられる。${\displaystyle V}$${\displaystyle R\in {\text{GL}}(V)}$${\displaystyle \phi (\cdot ,\cdot )=\phi (R\cdot ,R\cdot )}$${\displaystyle R*C=R\circ C.}$

この空間には、 の等長変換群による右作用、つまり が存在でき、その作用は という合成によって再び与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle R_{ij}\in {\text{O}}(n)\subset {\text{Mat}}_{n\times n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle C*R_{ij}=C\circ R_{ij}}$

標準内積を持つの正規直交基底の集合は、直交群の主同次空間またはG-トルソルであり、正規直交フレームのシュティーフェル多様体と呼ばれる。^[8]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G={\text{O}}(n),}$ ${\displaystyle V_{n}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle n}$

言い換えれば、正規直交基底の空間は直交群に似ていますが、基底点の選択がありません。正規直交基底の空間が与えられた場合、正規直交基底の自然な選択はありませんが、一度与えられた場合、基底と直交群の間には 1 対 1 の対応があります。具体的には、線型写像は、与えられた基底をどこに送信するかによって決まります。可逆写像が任意の基底を他の任意の基底に送信できるように、直交写像は任意の直交基底を他の任意の直交基底に送信できます。

不完全正規直交基底（正規直交-フレーム）のに対する他のシュティーフェル多様体は、直交群に対して依然として同次空間であるが、主同次空間ではない。任意の -フレームは直交写像によって任意の他の -フレームに移動できるが、この写像は一意に決定されない。 ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle k<n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

• の正規直交基底の集合はの G-トルソルです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$${\displaystyle G={\text{O}}(p,q)}$
• の正規直交基底の集合はの G-トルソルです。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle G={\text{U}}(n)}$
• の正規直交基底の集合はの G-トルソルです。${\displaystyle \mathbb {C} ^{p,q}}$${\displaystyle G={\text{U}}(p,q)}$
• の右手正規直交基底の集合は、のGトルソルである。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle G={\text{SO}}(n)}$

• 直交基底 – ベクトルが互いに直交する v の基底
• 基底（線形代数）  – 座標を定義するために使用されるベクトルの集合
• 正規直交フレーム – 距離と角度のないユークリッド空間
• シャウダー基底 - 計算ツール
• 全集合 – 線形スパンが稠密である位相ベクトル空間の部分集合Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

• ローマン、スティーブン（2008）。上級線形代数。数学大学院テキスト（第3版）。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-72828-5。（第9章、218ページ）
• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• スタインワート、インゴ。クリストマン、アンドレアス (2008)。ベクター マシンをサポートします。ニューヨーク：スプリンガー。土井：10.1007/978-0-387-77242-4。ISBN 978-0-387-77241-7。

• ^{この Stack Exchange の投稿では、ディラックのデルタ関数の集合が L 2} ([0,1])の基底にならない理由について説明します。