フィルターバンク

信号処理において、フィルタバンク（またはフィルターバンク）は、入力信号を複数の成分に分割するバンドパスフィルタの配列であり、各成分は元の信号のサブバンドを伝送する。^[1]フィルタバンクの1つの用途はグラフィックイコライザーであり、成分を別々に減衰させ、元の信号の修正バージョンに再結合することができる。フィルタバンクによって実行される分解のプロセスは分析（各サブバンドの成分に関して信号を分析することを意味する）と呼ばれ、分析の出力は、フィルタバンク内のフィルタと同じ数のサブバンドを持つサブバンド信号と呼ばれる。再構成プロセスは合成と呼ばれ、フィルタリングプロセスの結果として生じる完全な信号の再構成を意味する。

デジタル信号処理では、フィルタ バンクという用語は、受信機のバンクにもよく適用されます。違いは、受信機はサブバンドを低い中心周波数にダウンコンバートし、低いレートで再サンプリングできるようにすることです。バンドパス サブバンド をアンダーサンプリングすることで、同じ結果を実現できる場合があります。

フィルタ バンクのもう 1 つの用途は、一部の周波数が他の周波数よりも重要である場合の非可逆圧縮です。分解後、重要な周波数は細かい解像度でコード化できます。これらの周波数での小さな違いは重要であり、これらの違いを維持するコード化方式を使用する必要があります。一方、重要度の低い周波数は正確である必要はありません。コード化時に細かい (ただし重要度の低い) 詳細の一部が失われる場合でも、粗いコード化方式を使用できます。

ボコーダーは、フィルタ バンクを使用して、モジュレータ信号 (音声など) のサブバンドの振幅情報を決定し、それを使用してキャリア信号 (ギターやシンセサイザーの出力など) のサブバンドの振幅を制御し、モジュレータの動的特性をキャリアに適用します。

一部のフィルタ バンクは、直交ミラー フィルタやGoertzel アルゴリズムなどの一連のフィルタを使用して信号をより小さな帯域に分割し、ほぼ完全に時間領域で動作します。その他のフィルタ バンクは高速フーリエ変換(FFT) を使用します。

入力データ ストリームの重複セグメントに対してFFTのシーケンスを実行することで、受信機のバンクを作成できます。各セグメントには重み関数 (別名ウィンドウ関数) が適用され、フィルタの周波数応答の形状が制御されます。形状が広いほど、ナイキスト サンプリング基準を満たすために FFT を実行する頻度が高くなります。^[A] セグメントの長さが固定の場合、重複の量によって FFT の実行頻度が決まります (逆も同様)。また、フィルタの形状が広いほど、入力帯域幅をカバーするために必要なフィルタの数が少なくなります。不要なフィルタ (つまり、周波数のデシメーション) の除去は、重み付けされた各セグメントをより小さなブロックのシーケンスとして扱い、FFT をブロックの合計に対してのみ実行することで効率的に行われます。これは、重み付け重複加算 (WOLA)および重み付け事前合計 FFTと呼ばれています( § DTFT のサンプリングを参照) 。

設計上、ブロックの長さが FFT 間の間隔の整数倍である場合、特別なケースが発生します。この場合、FFT フィルタ バンクは、位相が単純な合計ではなく FFT によって再結合される 1 つ以上のポリフェーズ フィルタ構造の観点から説明できます。セグメントあたりのブロック数は、各フィルタのインパルス応答の長さ (または深度) です。汎用プロセッサ上の FFT とポリフェーズ構造の計算効率は同じです。

合成（つまり、複数の受信機の出力を再結合すること）は、基本的に、作成される合計帯域幅に見合ったレートで各受信機をアップサンプリングし、各チャネルを新しい中心周波数に変換し、サンプルのストリームを合計することです。その文脈では、アップサンプリングに関連する補間フィルターは合成フィルターと呼ばれます。各チャネルの正味の周波数応答は、合成フィルターとフィルターバンク（分析フィルター）の周波数応答の積です。理想的には、隣接チャネルの周波数応答は、チャネル中心間のすべての周波数で一定値に合計されます。この状態は、完全な再構成として知られています。

時間周波数信号処理において、フィルタバンクは、信号を時間周波数結合領域で表す特殊な二次時間周波数分布(TFD) です。これは、二次 (または双線形) 時間周波数分布のクラスを定義する 2 次元フィルタリングによってWigner-Ville 分布に関連付けられています。^[3]フィルタバンクとスペクトログラムは、二次 TFD を生成する最も単純な 2 つの方法です。本質的には、一方 (スペクトログラム) は時間領域をスライスに分割してフーリエ変換することで得られ、もう一方 (フィルタバンク) は周波数領域をスライスに分割して、分析対象の信号によって励起されるバンドパスフィルタを形成することで得られる点で似ています。

マルチレート フィルタ バンクは、信号を複数のサブバンドに分割します。これらのサブバンドは、周波数帯域の帯域幅に応じて異なるレートで分析できます。実装では、ダウンサンプリング (デシメーション)とアップサンプリング (拡張)を使用します。変換領域でのこれらの操作の効果の詳細については、 「離散時間フーリエ変換 § プロパティ」および「Z 変換 § プロパティ」を参照してください。

狭帯域ローパスフィルタは、通過帯域が狭いローパスフィルタとして定義できます。マルチレート狭帯域ローパス FIR フィルタを作成するには、時間不変 FIR フィルタをローパスアンチエイリアシングフィルタとデシメータ、およびインターポレータとローパスアンチイメージングフィルタに置き換えます。このようにして、結果として得られるマルチレートシステムは、デシメータとインターポレータを介した時間可変線形位相フィルタです。ローパスフィルタは、デシメータ用とインターポレータ用の 2 つの多相フィルタで構成されています。^[4]

フィルタ バンクは、入力信号を一連の信号に分割します。このようにして、生成された各信号は、スペクトル内の異なる領域に対応します。このプロセスでは、領域が重なり合う可能性があります (アプリケーションによっては、重なり合わない場合もあります)。 ${\displaystyle x\left(n\right)}$${\displaystyle x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...}$${\displaystyle x\left(n\right)}$

生成された信号は、帯域幅と中心周波数(それぞれ)を持つバンドパス フィルターのセットのコレクションを介して生成できます 。マルチレート フィルター バンクは、単一の入力信号を使用し、フィルタリングとサブサンプリングによって信号の複数の出力を生成します。入力信号を 2 つ以上の信号に分割するには、分析合成システムを使用できます。 ${\displaystyle x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...}$${\displaystyle {\rm {BW_{1},BW_{2},BW_{3},...}}}$${\displaystyle f_{c1},f_{c2},f_{c3},...}$

信号は、 k =0、1、2、3の4 つのフィルターを使用して、同じ帯域幅の 4 つのバンド (分析バンク内) に分割され、各サブ信号は係数 4 でデシメーションされます。各バンドで信号を分割すると、異なる信号特性が得られます。 ${\displaystyle H_{k}(z)}$

合成セクションでは、フィルターが元の信号を再構築します。まず、処理ユニットの出力で 4 つのサブ信号を 4 倍にアップサンプリングし、次にk = 0、1、2、3の4 つの合成フィルターでフィルタリングします。最後に、これら 4 つのフィルターの出力が加算されます。 ${\displaystyle F_{k}(z)}$

離散時間フィルタバンクフレームワークでは、従来の完全な再構成特性に加えて、設計に入力信号に依存する所望の特徴を組み込むことができます。最大化されたエネルギー圧縮、サブバンド信号の完全な無相関、および与えられた入力共分散/相関構造のその他の特性などの情報理論的特徴は、最適なフィルタバンクの設計に組み込まれています。^[5]これらのフィルタバンクは、基底関数（フィルタ）の長さLとサブスペース次元Mが同じである最適なブロック変換である信号依存カルーネン・レーベ変換（KLT）に似ています。

多次元フィルタリング、ダウンサンプリング、アップサンプリングは、マルチレート システムとフィルタ バンクの主要部分です。

完全なフィルタ バンクは、分析側と合成側で構成されます。分析フィルタ バンクは、入力信号を異なる周波数スペクトルを持つ異なるサブバンドに分割します。合成部分は、異なるサブバンド信号を再構成し、再構成された信号を生成します。基本的な構成要素の 2 つは、デシメータとエクスパンダです。たとえば、入力は 4 つの方向性サブバンドに分割され、それぞれがくさび形の周波数領域の 1 つをカバーします。1D システムでは、M 倍デシメータは M の倍数であるサンプルのみを保持し、残りを破棄します。一方、多次元システムでは、デシメータはD × D の非特異整数行列です。デシメータによって生成された格子上にあるサンプルのみを考慮します。一般的に使用されるデシメータは、格子が次のように定義されるQuincunx 行列から生成される 5 点形デシメータです。${\displaystyle {\begin{bmatrix}\;\;\,1&1\\-1&1\end{bmatrix}}}$

五点形行列によって生成される五点形格子は、図に示すとおりです。合成部分は分析部分と双対です。フィルタバンクは、サブバンド分解と再構成の観点から周波数領域の観点から分析できます。ただし、フィルタバンクのヒルベルト空間解釈も同様に重要であり、これは幾何学的な信号表現で重要な役割を果たします。一般的なKチャネルフィルタバンクの場合、分析フィルタ、合成フィルタ、およびサンプリング行列があります。分析側では、のベクトルを次のよう に定義できます。${\displaystyle \left\{h_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K}}$${\displaystyle \left\{g_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K}}$${\displaystyle \left\{M_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K}}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbf {Z} ^{d})}$

${\displaystyle \varphi _{k,m}[n]{\stackrel {\rm {def}}{=}}h_{k}^{*}[M_{k}m-n]}$、

それぞれ 2 つのパラメータでインデックス付けされます: および${\displaystyle 1\leq k\leq K}$${\displaystyle m\in \mathbf {Z} ^{2}}$

同様に、合成フィルタについてはを定義できます。 ${\displaystyle g_{k}[n]}$${\displaystyle \psi _{k,m}[n]{\stackrel {\rm {def}}{=}}g_{k}^{*}[M_{k}m-n]}$

分析/合成側の定義を考慮すると、^[6] および再構築部分については次のことが確認できます。 ${\displaystyle c_{k}[m]=\langle x[n],\varphi _{k,m}[n]\rangle }$

${\displaystyle {\hat {x}}[n]=\sum _{1\leq k\leq K,m\in \mathbf {Z} ^{2}}c_{k}[m]\psi _{k,m}[n]}$。

言い換えれば、分析フィルタバンクは、入力信号と分析セットのベクトルの内積を計算します。さらに、合成セットのベクトルの組み合わせで再構成された信号と、計算された内積の組み合わせ係数は、

${\displaystyle {\hat {x}}[n]=\sum _{1\leq k\leq K,m\in \mathbf {Z} ^{2}}\langle x[n],\varphi _{k,m}[n]\rangle \psi _{k,m}[n]}$

分解とその後の再構成で損失がない場合、フィルタバンクは完全な再構成と呼ばれます。 （その場合、 となります。^[7]図は、 N個のチャネルと共通のサンプリング行列Mを 持つ一般的な多次元フィルタバンクを示しています。 分析部分は、入力信号をN 個のフィルタリングおよびダウンサンプリングされた出力に変換します。 合成部分は、アップサンプリングとフィルタリングによって から元の信号を復元します。 この種の設定は、サブバンド符号化、マルチチャネル取得、離散ウェーブレット変換などの多くのアプリケーションで使用されます。 ${\displaystyle x[n]={\hat {x[n]}}}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle y_{j}[n],}$ ${\displaystyle j=0,1,...,N-1}$${\displaystyle y_{j}[n]}$

多相表現を使用できるため、入力信号は多相成分のベクトルで表すことができます。 と表します。 したがって、 となり、 はフィルタのj番目の多相成分を表します。 ${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle x(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}(X_{0}(z),...,X_{|M|-1}(z))^{T}}$${\displaystyle y(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}(Y_{0}(z),...,Y_{|N|-1}(z))^{T}.}$
${\displaystyle y(z)=H(z)x(z)}$${\displaystyle H_{i,j}(z)}$${\displaystyle H_{i}(z)}$

同様に、出力信号については となります。ここで です。また、G は行列であり、 はj 番目の合成フィルタ Gj(z) の i 番目の多相成分を表します。 ${\displaystyle {\hat {x}}(z)=G(z)y(z)}$${\displaystyle {\hat {x}}(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}({\hat {X}}_{0}(z),...,{\hat {X}}_{|M|-1}(z))^{T}}$${\displaystyle G_{i,j}(z)}$

フィルタ バンクは、任意の入力に対して完全な再構成を持ちます。つまり、G(z) は H(z) の左逆であることを意味します。 ${\displaystyle x(z)={\hat {x}}(z)}$${\displaystyle I_{|M|}=G(z)H(z)}$

1D フィルタ バンクは今日まで十分に開発されてきましたが、画像、ビデオ、3D サウンド、レーダー、ソナーなどの多くの信号は多次元であり、多次元フィルタ バンクの設計が必要です。

通信技術の急速な発展に伴い、信号処理システムは、処理、送信、受信中にデータを保存するためのより多くのスペースを必要としています。処理するデータを減らし、ストレージを節約し、複雑さを軽減するために、これらの目標を達成するためにマルチレート サンプリング技術が導入されました。フィルタ バンクは、画像コーディング、音声コーディング、レーダーなど、さまざまな分野で使用できます。

1Dフィルタの問題の多くは十分に研究されており、研究者は多くの1Dフィルタバンク設計アプローチを提案してきました。しかし、解決すべき多次元フィルタバンク設計の問題はまだ多く残っています。^[8]いくつかの方法では信号が適切に再構築されない可能性があり、いくつかの方法は複雑で実装が困難です。

多次元フィルタ バンクを設計する最も簡単な方法は、デシメーション マトリックスが対角で、データが各次元で個別に処理されるツリー構造の形式で 1D フィルタ バンクをカスケード接続することです。このようなシステムは分離可能システムと呼ばれます。ただし、フィルタ バンクのサポート領域は分離可能ではない場合があります。その場合、フィルタ バンクの設計は複雑になります。ほとんどの場合、非分離可能システムを扱います。

フィルタ バンクは、分析ステージと合成ステージで構成されます。各ステージは、並列のフィルタ セットで構成されます。フィルタ バンクの設計は、分析ステージと合成ステージのフィルタの設計です。分析フィルタは、アプリケーション要件に応じて、信号を重複または非重複のサブバンドに分割します。合成フィルタは、これらのフィルタの出力が結合されたときに、サブバンドから入力信号を再構築するように設計する必要があります。処理は通常、分析ステージの後に実行されます。これらのフィルタ バンクは、無限インパルス応答(IIR) または有限インパルス応答(FIR) として設計できます。データ レートを削減するために、分析ステージと合成ステージでそれぞれダウンサンプリングとアップサンプリングが実行されます。

以下に、多次元フィルタ バンクの設計に関するいくつかのアプローチを示します。詳細については、元の参考文献を確認してください。

分割された信号を元の信号に再構築する必要がある場合は、完全再構成 (PR) フィルタ バンクを使用できます。

H( z )をフィルタの伝達関数とする。フィルタのサイズは、各次元における対応する多項式の次数として定義される。多項式の対称性または反対称性は、対応するフィルタの線形位相特性を決定し、そのサイズに関係する。1Dの場合と同様に、2チャネルフィルタバンクのエイリアシング項A(z)と伝達関数T(z)は次のようになる。^[9]

A( z )=1/2(H ₀ (- z ) F ₀ ( z )+H ₁ (- z ) F ₁ ( z )); T( z )=1/2(H ₀ ( z ) F ₀ ( z )+H ₁ ( z ) F ₁ ( z ))、ここでH ₀とH ₁は分解フィルタ、F ₀とF _1は再構成フィルタです。

エイリアス項がキャンセルされ、T( z )が単項式に等しければ、入力信号は完全に再構成できます。したがって、必要な条件は、T'( z )が一般に対称であり、奇数×奇数のサイズであること です。

線形位相 PR フィルタは、画像処理に非常に便利です。この 2 チャネル フィルタ バンクは、比較的簡単に実装できます。ただし、2 チャネルでは不十分な場合があります。2 チャネル フィルタ バンクをカスケード接続して、マルチチャネル フィルタ バンクを生成できます。

M 次元方向フィルタ バンク (MDFB) は、シンプルで効率的なツリー構造構造で任意の M 次元信号の方向分解を実現できるフィルタ バンクのファミリです。方向分解、効率的なツリー構造、角度分解能、完全な再構成など、多くの特徴的な特性があります。一般的な M 次元の場合、MDFB の理想的な周波数サポートは、ハイパーキューブ ベースのハイパーピラミッドです。MDFB の分解の最初のレベルは、N チャネルの非デシメーション フィルタ バンクによって実現されます。このフィルタ バンクのコンポーネント フィルタは、w ₁、...、w _Mの各軸に揃った MD「砂時計」型フィルタです。その後、入力信号は一連の2次元反復再サンプリングチェッカーボードフィルタバンクIRC _li ^{( Li )} (i=2,3,...,M)によってさらに分解されます。ここで、IRC _li ^{( Li )は}、次元ペア(n ₁ ,n _i )で表される入力信号の2次元スライスに対して動作し、上付き文字(Li)はi番目のレベルのフィルタバンクの分解レベルを意味します。2番目のレベルから始めて、前のレベルの各出力チャネルにIRCフィルタバンクを接続するため、フィルタ全体で合計2 ^{( L ₁ +...+ L _N )}の出力チャネルがあることに注意してください。^[10]

オーバーサンプリングフィルタバンクは、分析段階での出力サンプル数が入力サンプル数よりも大きいマルチレートフィルタバンクです。これは堅牢なアプリケーション向けに提案されています。オーバーサンプリングフィルタバンクの特定のクラスは、ダウンサンプリングやアップサンプリングを行わない非サブサンプリングフィルタバンクです。オーバーサンプリングフィルタバンクの完全な再構成条件は、多相領域における行列逆問題として表すことができます。^[11]

^{IIRオーバーサンプリングフィルタバンクについては、制御理論の文脈でWolovich [12]}とKailath ^[13]によって完全な再構成が研究されている 。一方、FIRオーバーサンプリングフィルタバンクでは、1次元とMDで異なる戦略を使用する必要があります。FIRフィルタは実装が簡単なため、より人気があります。1次元オーバーサンプリングFIRフィルタバンクの場合、ユークリッドアルゴリズムは行列逆問題で重要な役割を果たします。^[14] ただし、ユークリッドアルゴリズムは多次元(MD)フィルタでは機能しません。MDフィルタの場合、FIR表現を多項式表現に変換できます。^[15] 次に、代数幾何学とグレブナー基底を使用して、多次元オーバーサンプリングフィルタバンクのフレームワークと再構成条件を取得します。^[11]

非サブサンプリングフィルタバンクは、ダウンサンプリングやアップサンプリングを行わないオーバーサンプリングフィルタバンクの一種です。非サブサンプリングFIRフィルタバンクの完全再構成条件はベクトル逆問題につながります。解析フィルタはFIRとして与えられ、目標は次を満たすFIR合成フィルタのセットを見つけることです。^[11]${\displaystyle \{H_{1},...,H_{N}\}}$${\displaystyle \{G_{1},...,G_{N}\}}$

多次元フィルタバンクは多変量有理行列で表現できるため、この方法は多次元フィルタバンクを扱うのに非常に効果的なツールである。^[15]

Charo ^[15]では、多変量多項式行列分解アルゴリズムが紹介され議論されています。最も一般的な問題は、完全な再構成のための多次元フィルタバンクです。この論文では、線形位相の制約条件を満たすこの目標を達成する方法について説明します。

論文の説明によると、因数分解におけるいくつかの新しい結果が議論され、多次元線形位相完全再構成有限インパルス応答フィルタバンクの問題に適用されている。グレブナー基底の基本概念はAdamsで与えられている。^[16]

多変量行列分解に基づくこのアプローチは、さまざまな分野で使用できます。多項式イデアルとモジュールのアルゴリズム理論は、多次元信号の処理、圧縮、送信、およびデコードに関する問題に対処するために変更できます。

一般的な多次元フィルタ バンク (図 7) は、サイズがおよび の解析多相行列と合成多相行列のペアで表すことができます。ここで、Nはチャネル数、はサンプリング行列の行列式の絶対値です。また、およびは、解析フィルタと合成フィルタの多相成分の z 変換です。したがって、これらは多変量ローラン多項式であり、一般的な形式は次のとおりです。 ${\displaystyle H(z)}$${\displaystyle G(z)}$${\displaystyle N\times M}$${\displaystyle M\times N}$${\displaystyle M{\stackrel {\rm {def}}{=}}|M|}$${\displaystyle H(z)}$${\displaystyle G(z)}$

${\displaystyle F(z)=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{d}}f[k]z^{k}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{d}}f[k_{1},...,k_{d}]z_{1}^{k_{1}}...z_{d}^{k_{d}}}$。

完全な再構成フィルタバンクを設計するには、ローラン多項式行列方程式を解く必要があります。

${\displaystyle G(z)H(z)=I_{|M|}}$。

多変数多項式を用いた多次元の場合には、グレブナー基底の理論とアルゴリズムを使用する必要があります。^[17]

グレブナー基底は完全再構成多次元フィルタバンクを特徴付けるために使用できるが、まず多項式行列からローラン多項式行列に拡張する必要がある。^{[18] [19]}

グレブナー基底計算は、多項式行列方程式を解くためのガウス消去法と同等に考えることができる 。多項式ベクトルの集合 ${\displaystyle G(z)H(z)=I_{|M|}}$

${\displaystyle \mathrm {Module} \left\{h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\{c_{1}(z)h_{1}(z)+...+c_{N}(z)h_{N}(z)\}}$

は多項式です。 ${\displaystyle c_{1}(z),...,c_{N}(z)}$

モジュールは、線形代数のベクトル集合の範囲に類似しています。グレブナー基底の理論は、モジュールが多項式のべき乗積の指定された順序に対して一意の縮小グレブナー基底を持つことを意味します。

グレブナー基底を と定義すると、有限の一連の簡約（除算）ステップによって からグレブナー基底を得ることができます。${\displaystyle \left\{b_{1}(z),...,b_{N}(z)\right\}}$${\displaystyle \left\{h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\}}$

リバースエンジニアリングを使用すると、次のように変換行列を通じて元のベクトルに関して基底ベクトルを計算できます。 ${\displaystyle b_{i}(z)}$${\displaystyle h_{j}(z)}$${\displaystyle K\times N}$${\displaystyle W_{ij}(z)}$

${\displaystyle b_{i}(z)=\sum _{j=1}^{N}W_{ij}(z)h_{j}(z),i=1,...,K}$

グレブナー基底アプローチでは、良好な周波数応答を持つフィルタを設計することは困難です。
マッピングベースの設計は、良好な周波数応答を持つ非分離型多次元フィルタバンクを設計するために広く使用されています。^{[20] [21]}

マッピング手法では、フィルタの種類に一定の制限がありますが、リフティング/ラダー構造による効率的な実装など、多くの重要な利点があります。ここでは、サンプリング行列 を使用した 2D の 2 チャネル フィルタ バンクの例を示します。 チャネル フィルタとの理想的な周波数応答には、いくつかの選択肢があります。(他の 2 つのフィルタと は、相補領域でサポートされていることに注意してください。) 図のすべての周波数領域は、 で張られる長方形格子によって臨界的にサンプリングできます。 したがって、フィルタ バンクが FIR フィルタで完全な再構成を実現すると想像してください。次に、ポリフェーズ領域の特性から、フィルタ H1(z) と G1(z) は、それぞれ H0(z) と G0(z) によって完全に指定されることがわかります。したがって、必要な周波数応答を持ち、ポリフェーズ領域条件を満たす H0(x) と G0(z) を設計する必要があります。 上記の結果を得るために使用できるさまざまなマッピング手法があります。^[22]
${\displaystyle D_{1}=\left[{\begin{array}{cc}2&0\\0&1\end{array}}\right]}$${\displaystyle H_{0}(\xi )}$${\displaystyle G_{0}(\xi )}$${\displaystyle H_{1}(\xi )}$${\displaystyle G_{1}(\xi )}$
${\displaystyle D_{1}}$
${\displaystyle H_{0}(z_{1},z_{2})G_{0}(z_{1},z_{2})+H_{0}(-z_{1},z_{2})G_{0}(-z_{1},z_{2})=2}$

完全な再構成が必要ない場合は、FIRフィルタを使用する代わりに周波数領域で作業することで設計問題を簡素化できます。^{[23] [24]}
周波数領域法は、サブサンプリングされていないフィルタバンクの設計に限定されないことに注意してください（^[25]を参照）。

2チャンネルフィルタバンクを設計するための既存の方法の多くは、変数変換技術に基づいています。たとえば、マクレラン変換は1次元2チャンネルフィルタバンクの設計に使用できます。2次元フィルタバンクは1次元プロトタイプと多くの類似点がありますが、2チャンネル以上のケースに拡張することは困難です。^[26]

Nguyen ^[26]では、著者らは周波数領域での直接最適化による多次元フィルタバンクの設計について論じている。ここで提案されている方法は、主にMチャネル2Dフィルタバンクの設計に焦点を当てている。この方法は、周波数サポート構成に対して柔軟である。周波数領域での最適化によって設計された2Dフィルタバンクは、Wei ^[27]とLu ^[28]で使用されている。Nguyen の論文^[26]では、提案された方法は2チャネル2Dフィルタバンクの設計に限定されず、このアプローチは、任意の臨界サブサンプリング行列を持つMチャネルフィルタバンクに一般化されている。論文の実装によれば、最大8チャネルの2Dフィルタバンクの設計に使用できる。

（６）リバースジャケットマトリックス^[29]

Lee の 1999 年の論文^{[29]では、逆}ジャケット行列を使用した多次元フィルタバンクの設計について説明しています。Hをn 次アダマール行列とすると、 Hの転置行列はその逆行列と密接に関連しています。正しい式は、ここで I _nは n×n 単位行列、H ^{T は}Hの転置行列です。1999 年の論文^[29]では、著者らはアダマール行列と重み付きアダマール行列を使用して逆ジャケット行列 [RJ] _Nを一般化しています。^{[30] [31]}${\displaystyle HH^{T}=I_{n}}$

この論文では、著者らは 128 タップの FIR フィルタを基本フィルタとして使用し、RJ 行列のデシメーション係数を計算することを提案しました。著者らはさまざまなパラメータに基づいてシミュレーションを行い、低いデシメーション係数で高品質のパフォーマンスを実現しました。

BambergerとSmithは2D方向性フィルタバンク（DFB）を提案した。^[32] DFBはlレベルのツリー構造分解によって効率的に実装され、くさび形の周波数分割を持つサブバンドにつながる（図を参照）。DFBの元々の構成では、入力信号を変調し、ダイヤモンド形のフィルタを使用している。さらに、目的の周波数分割を得るためには、複雑なツリー拡張ルールに従う必要がある。^[33]その結果、結果として得られるサブバンドの周波数領域は、図9に示すように、チャネルインデックスに基づく単純な順序には従わない。 ${\displaystyle 2^{l}}$

DFB の第一の利点は、冗長な変換ではないだけでなく、完全な再構成も提供することです。DFB のもう 1 つの利点は、方向選択性と効率的な構造です。この利点により、DFB は多くの信号処理や画像処理の用途に適したアプローチになります。(例: ラプラシアン ピラミッド、コンターレットの構築、^[34]スパース画像表現、医療用画像処理、^[35]など)。

方向性フィルタ バンクは、より高次元に展開できます。3D で使用して、周波数区分を実現できます。

フィルタバンクは、広帯域無線通信の物理層にとって重要な要素であり、その課題は複数のチャネルの効率的なベースバンド処理である。フィルタバンクベースのトランシーバアーキテクチャは、非連続チャネルの場合に従来の方式で見られるスケーラビリティと効率の問題を排除する。フィルタバンクによるパフォーマンスの低下を軽減するには、適切なフィルタ設計が必要である。普遍的に適用可能な設計を得るために、波形フォーマット、チャネル統計、およびコーディング/デコーディング方式について軽度の仮定を行うことができる。ヒューリスティック設計と最適設計の両方の方法論を使用でき、トランシーバが適度に大きなオーバーサンプリング係数で動作する限り、低い複雑さで優れたパフォーマンスを実現できる。実用的なアプリケーションはOFDM伝送であり、わずかな追加複雑さで非常に優れたパフォーマンスを提供する。^[36]

• ハリス、フレドリック J. (2004)。通信システムのためのマルチレート信号処理。アッパーサドルリバー、ニュージャージー州: プレンティスホールPTR。ISBN 0-13-146511-2。