ガボール原子

応用数学において、ガボール原子、またはガボール関数とは、 1946年にデニス・ガボールによって提案された解析で使用される関数であり、生成関数の平行移動と変調から関数の族が構築される。

1946年、^{[ 1 ]}デニス・ガボールは、粒状システムを用いて音を生成するというアイデアを提案した。ガボールは、自身の研究の中でフーリエ解析の問題点について論じた。数学的には正しいものの、サイレンの音のように時間とともに周波数が変化する音の挙動を反映していないと考えた。また、正弦波解析を用いる際に前提としている、対象となる信号の持続時間が無限であるという仮定も問題であった。現実世界の音は持続時間が限られているにもかかわらずである（時間周波数解析を参照）。ガボールは量子物理学の考え方を音に適用し、音と量子との類推を可能にした。彼はフーリエ解析をセルに還元する数学的手法を提案した。彼の研究は、通信チャネルを介した情報伝送を目的としていた。ガボールは、自身の原子に、同じ情報をより少ないデータで伝送できる可能性を見出した。信号自体を伝送する代わりに、原子を用いて同じ信号を表す係数のみを伝送することが可能になる。

ガボール関数の族は次のように定義される。

${\displaystyle g_{\ell ,n}(x)=g(xa\ell )e^{2\pi ibnx},\quad \ell ,n\in \mathbb {Z} }$

ここで、^aとbは定数であり、gはL2 ( R )の固定関数であり、|| g ||  =  1である。${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle g}$ガボールシステムは、離散的な並進と変調によって定義されるL2 ( R )の基底となる可能性がある。これは^、マザーウェーブレットを拡大縮小および並進させることによって基底を形成するウェーブレットシステムに似ている。

1人が

${\displaystyle g(t)=Ae^{-\pi t^{2}}}$

ガボール変換の核が得られます。

• ガボールフィルター
• ガボールウェーブレット
• フーリエ解析
• ウェーブレット
• モルレウェーブレット

• Hans G. Feichtinger、Thomas Strohmer: 「ガボール分析とアルゴリズム」、ビルクホイザー、1998 年。 ISBN 0-8176-3959-4
• Hans G. Feichtinger、Thomas Strohmer: 「ガボール分析の進歩」、ビルクホイザー、2003 年。ISBN 0-8176-4239-0
• Karlheinz Gröchenig: 「時間周波数解析の基礎」、ビルクホイザー、2001 年。ISBN 0-8176-4022-3

• NuHAGホームページ[数値調和解析グループ]