シュールな数字

超現実数の文脈では、他の多くの数学的文脈では( L , R )と表記される超現実数の集合の順序対LとRは、各中括弧に隣接する余分なスペースを含めて{ L | R }と表記されます。LまたはR がその要素によって明示的に記述されている場合、超現実要素の集合を囲む中括弧のペアは省略されることがよくあります。LまたはRが空の場合、単に省略されることがよくあります。たとえば、他の文脈で一般的な表記である({0, 1, 2}, {})の代わりに、通常は{ 0, 1, 2 | } と表記します。ここで、0、1、2は超現実数です。

コンウェイの構成法では、^{[ 6 ]}超現実数は段階的に構築され、任意の 2 つの超現実数 a と b に対してa ≤ bまたはb ≤ aとなるような順序≤ が付けられます。(両方とも成り立つ場合、aとbは等価であり、同じ数を表します。) 各数は、既に構築された数の部分集合の順序対から形成されます。数の部分集合LとRが与えられ、 Lのすべての要素がRのすべての要素よりも厳密に小さい場合、ペア{ L | R }は、 Lのすべての要素とRのすべての要素の間の値の中間の数を表します。コンウェイによれば、中間の値は彼の単純性の規則に従わなければなりません。つまり、連続する誕生日に生まれた数は、新しい日と前の日の間の最も単純な数でなければなりません。たとえば、1 日目には -1 と 1 が生まれます。2 日目には、1 と 0 の間の最も単純な数は 1/2 であり、0 と -1 の間の最も単純な数は -1/2 です。異なる部分集合が同じ数を定義する場合があります。L ≠ L ′かつR ≠ R ′であっても、 { L | R }と{ L ′ | R ′ }は同じ数を定義する可能性があります。 （有理数が整数の商として定義される 場合にも同様の現象が発生します。1 / 2と2 / 4は同じ有理数の異なる表現です。）各超現実数は、同じ数を指定する { L | R } の形式の表現の同値類であり、各同値類は集合ではなく真のクラスであることに注意してください。

構築の最初の段階では、既存の数値は存在しないため、唯一の表現方法は空集合{ | }を 使用する必要がある。LとR の両方が空であるこの表現は0 と呼ばれる。後続の段階では、次のような形式が得られる。

そして

したがって、整数は超現実数の中に含まれます。（上記の恒等式は定義であり、右辺は左辺の名称です。名称が実際に適切であることは、以下のセクションで超現実数に対する算術演算が定義されるときに明らかになります。）同様に、次のような表現は、

二進有理数（分母が2のべき乗である有理数）が超現実数の中に含まれるように、二進有理数が生じる。

無限の段階を経て、無限の部分集合が利用可能となり、任意の実数a は{ L _a | R _a }で表すことができる。 ここで、 L _aはaより小さいすべての二進有理数の集合であり、 R _{a は}aより大きいすべての二進有理数の集合である（デデキント切断を彷彿とさせる）。したがって、実数も超現実の中に埋め込まれることになる。

次のような表現もあります

ここで、ωはすべての整数よりも大きい超限数であり、εは0より大きく、かつ任意の正の実数よりも小さい無限小数である。さらに、標準的な算術演算（加算、減算、乗算、除算）をこれらの非実数に拡張することで、超実数の集合を順序付き体に変換することができ、2ωやω - 1などについて議論することができる。

形式とは、超現実数の集合のペアであり、それぞれ左集合と右集合と呼ばれます。左集合Lと右集合Rを持つ形式は、{ L | R }と表記されます。LとRが要素のリストとして与えられる場合、それらを囲む中括弧は省略されます。

形式の左集合と右集合のどちらか一方、または両方が空集合である場合があります。左集合と右集合の両方が空集合である形式{ { } | { } }は、 { | }とも表記されます。

建設規則

数値形式は同値類に分類され、それぞれの同値類は超現実数である。形式の左集合と右集合の要素は、超現実数（形式ではなく、その同値類）の集合から抽出される。

等価性ルール

順序関係は反対称でなければなりません。つまり、xとyが同じ対象である場合に限り、x = y (つまり、x ≤ yとy ≤ xの両方が真である) という性質を持たなければなりません。これは超現実数形式には当てはまりませんが、超現実数(同値類)については構成上真です。

{ | }を含む同値類は 0 とラベル付けされます。言い換えれば、{ | }は超現実数 0 の一種です。

超現実数の再帰的定義は、比較を定義することによって完了する。

数値形式x = { X _L | X _R }およびy = { Y _L | Y _R }が与えられたとき、x ≤ yとなるのは、以下の両方が成り立つ場合のみです。

• y ≤ x _Lとなるようなx _L ∈ X _Lは存在しない。つまり、 xの左側のすべての要素はyより厳密に小さい。
• y _R ∈ Y _Rでy _R ≤ xとなるものは存在しない。つまり、 yの右辺のすべての要素はxより厳密に大きい。

超現実数は、それぞれの超現実数を表すために、その同値類から数値形式を選択することによって、互いに（または数値形式と）比較することができる。

この定義群は再帰的であり、それらに含まれる対象（形式と数）の宇宙を定義するには、何らかの数学的帰納法が必要となる。有限帰納法によって到達可能な超現実数は二進分数のみであり、超限帰納法を用いればより広い宇宙に到達できる。

与えられた数x = { X _L | X _R }の否定は次のように定義される。 $${\displaystyle -x=-\{X_{L}\mid X_{R}\}=\{-X_{R}\mid -X_{L}\},}$$ ここで、数の集合Sの否定は、 Sの否定された要素の集合によって与えられる。 $${\displaystyle -S=\{-s:s\in S\}.}$$

この式は、 xの左集合と右集合に現れる超現実数の否定を含みます。これは、数の形式を選択し、その形式の否定を評価し、結果として得られる形式の同値類を取ることによって得られるものと理解されます。これは、オペランドの形式の選択に関係なく結果が同じである場合にのみ意味を持ちます。これは、XL と R に現れる数が、形式 x が最初に現れる世代よりも前の世代から抽出されているという事実と、次の特別_なケースを観察することによって帰納的_に証明できます。 $${\displaystyle -0=-\{{}\mid {}\}=\{{}\mid {}\}=0.}$$

加算の定義もまた、再帰式である。 $${\displaystyle x+y=\{X_{L}\mid X_{R}\}+\{Y_{L}\mid Y_{R}\}=\{X_{L}+y,x+Y_{L}\mid X_{R}+y,x+Y_{R}\},}$$ どこ

$${\displaystyle X+y=\{x'+y:x'\in X\},\quad x+Y=\{x+y':y'\in Y\}}$$

この公式は、元のオペランドの一方と、もう一方のオペランドの左集合または右集合から抽出された超現実数の和を含む。以下の特殊な場合を用いて帰納的に証明できる。 $${\displaystyle 0+0=\{{}\mid {}\}+\{{}\mid {}\}=\{{}\mid {}\}=0}$$$${\displaystyle x+0=x+\{{}\mid {}\}=\{X_{L}+0\mid X_{R}+0\}=\{X_{L}\mid X_{R}\}=x}$$$${\displaystyle 0+y=\{{}\mid {}\}+y=\{0+Y_{L}\mid 0+Y_{R}\}=\{Y_{L}\mid Y_{R}\}=y}$$

例えば：

誕生日の性質により、これは 1 の一種である。これは前のセクションで使用したラベルを正当化する。

乗法は、0、乗法単位元1、およびその加法逆元-1を 含む特殊な場合から始めて、再帰的に定義することもできます。$${\displaystyle {\begin{aligned}xy&=\{X_{L}\mid X_{R}\}\{Y_{L}\mid Y_{R}\}\\&=\left\{X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L},X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}\mid X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R},xY_{L}+X_{R}y-X_{R}Y_{L}\right\}\\\end{aligned}}}$$ この式には、オペランドとその左集合および右集合を含む算術式が含まれています。例えば、次の式です。${\textstyle X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}}$xとyの積の左側の集合に現れる。これは次のように理解される。${\textstyle \left\{x'y+xy'-x'y':x'\in X_{R},~y'\in Y_{R}\right\}}$、 の要素のすべての可能な組み合わせを選択することによって生成される数値の集合${\textstyle X_{R}}$そして${\textstyle Y_{R}}$そして、それらを式に代入します。

例えば、1/2 の二乗が 1/4 であることを示すには、次のようにします。

除算の定義は、逆数と乗算を用いて行われる。

$$\displaystyle {\frac {x}{y}}=x\cdot {\frac {1}{y}}}$$

^[ 6 ^{] : 21​}

$${\displaystyle {\frac {1}{y}}=\left\{\left.0,{\frac {1+(y_{R}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{L}}{y_{R}}},{\frac {1+\left(y_{L}-y\right)\left({\frac {1}{y}}\right)_{R}}{y_{L}}}\,\,\right|\,\,{\frac {1+(y_{L}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{L}}{y_{L}}},{\frac {1+(y_{R}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{R}}{y_{R}}}\right\}}$$

正のyの場合。式では正のy _Lのみが許容され、非正の項は無視されます ( y _Rは常に正です)。この式は、 yの左集合と右集合の数値で割ることができるという点での再帰だけでなく、 1 / y自体の左集合と右集合の要素という点でも再帰を含んでいます。0は常に1 / yの左集合の要素であり、これを利用して再帰的にさらに多くの項を見つけることができます。たとえば、y = 3 = { 2 | } の場合、 1 / 3の左項は0 になることがわかります。これは、1 + (2 − 3)0 / 2 = 1/2が右項であることを意味します。 これは、$${\displaystyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}}$$ これは左派用語です。つまり、 $${\displaystyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}}$$ 適切な用語となるでしょう。続けて、これは $${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\left\{\left.0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots \,\right|\,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \right\}}$$

負のyの場合、1 / yは次のように与えられる 。$${\displaystyle {\frac {1}{y}}=-\left({\frac {1}{-y}}\right)}$$

y = 0の場合、1 / yは定義されません。

否定、加算、乗算の定義は、以下の意味で一貫性があることが示される。

• 加算と否定は、「より単純な」加算と否定のステップで再帰的に定義されるため、誕生日nの数に対する演算は、最終的には誕生日がn未満の数に対する演算のみで表現されます。
• 乗算は、加算、否定、および「より単純な」乗算ステップに関して再帰的に定義されるため、誕生日nの数の積は、最終的には誕生日がn未満の数の積の和と差によって完全に表現されます。
• オペランドが明確に定義された超現実数形式である限り（左集合の各要素が右集合の各要素より小さい場合）、結果もまた明確に定義された超現実数形式になります。
• これらの演算は数値（形式の同値類）にも拡張できます。xを否定したり、 xとyを加算または乗算した結果は、xとyの形式の選択に関係なく同じ数値を表します。
• これらの演算は、体の定義における結合法則、交換法則、加法逆元、分配法則の公理に従い、加法単位元 0 = { | }、乗法単位元1 = { 0 | }となります。

これらのルールを用いることで、最初の数世代で見つかった数字が正しくラベル付けされていたことを検証できる。構築ルールを繰り返して、さらに多くの世代の超現実数を得る。

各自然数(有限順序数) nに対して、 S _nで生成されるすべての数は二進分数であり、つまり既約分数⁠ a / 2 ^b ⁠として書くことができ、ここでaとbは整数であり、0 ≤ b < n です。

有限のnに対して、あるS _nで生成されるすべての超現実数の集合は、次のように表される。${\textstyle S_{*}=\bigcup _{n\in N}S_{n}}$3つのクラスを形成できる $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=\{0\}\\S_{+}&=\{x\in S_{*}:x>0\}\\S_{-}&=\{x\in S_{*}:x<0\}\end{aligned}}}$$S _∗は それらの和集合である。個々のS _nは加算と乗算に関して閉じていない（S ₀を除く）が、S _∗は閉じている。S ∗ はすべての二進分数からなる有理数の部分環である。

誕生日がβより小さい超現実数の集合がさまざまな算術演算に関して閉じているような順序数βは無限に存在する。 ^{[ 7 ]}任意の順序数αに対して、誕生日がβ = ω ^α ( ωのべき乗を使用) より小さい超現実数の集合は加算に関して閉じており、群を形成する。誕生日がω ^{ω α}より小さい場合は乗算に関して閉じており、環を形成する。^{[ b ]}また、誕生日が (順序) ε _αより小さい場合は乗法逆元に関して閉じており、体を形成する。後者の集合は、Kruskal と Gonshor によって定義された指数関数に関しても閉じている。^{[ 7 ] [ 8 ] : ch. 10 [ 7 ]}

しかし、超現実数の集合のどの要素よりも大きい超現実数を常に構成することが可能であり（構成子の左辺に集合を含めることによって）、したがって超現実数の集合は真のクラスである。超現実数は、その順序と代数演算によって順序体を構成するが、集合を形成しないという注意点がある。実際、それは非常に特別な順序体であり、すべての順序体が超現実数の部分体であるという点で最大の順序体である。^{[ 2 ]}すべての超現実数のクラスは記号で表される。${\textstyle \mathbb {いいえ} }$。

Sω内の_任意のx = { L | R }に対して、以下のうちちょうど１つだけが真である。

• LとRは両方とも空であり、その場合はx = 0となる。
• Rが空で、ある整数n ≥ 0がLのすべての要素よりも大きい場合、x はそのような最小の整数nに等しくなります。
• Rは空で、どの整数nもLのすべての要素より大きくない場合、x は+ ωに等しくなります。
• Lが空集合であり、かつ、ある整数n ≤ 0がRのすべての要素よりも小さい場合、x はそのような最大の整数nに等しくなります。
• Lは空であり、整数nはRのすべての要素より小さくない。この場合、x は− ωに等しい。
• LとRはどちらも空集合ではなく、以下の条件を満たす。
  • ある二項分数yがLとRの「ちょうど中間」にある( Lのすべての要素より大きく、 Rのすべての要素より小さい) 場合、x はそのような二項分数yの中で最も古いものに等しくなります。
  • 厳密にはLとRの間にある二項分数yはないが、ある二項分数は${\textstyle y\in L}$Lのすべての要素以上かつRのすべての要素より小さい場合、x はy + εに等しくなります。
  • 厳密にはLとRの間にある二項分数yはないが、ある二項分数は${\textstyle y\in R}$Lのすべての要素より大きく、 Rのすべての要素以下である場合、x はy − εに等しくなります。
  • すべての二項分数は、 Rの何らかの要素より大きいか、 Lの何らかの要素より小さいかのいずれかであり、後者の場合、x は二項分数として表現できない実数である。

S _ωは算術演算に関して閉じていないため、代数体ではありません。ω + 1 を考えてみましょう。その形式は $${\displaystyle \omega +1=\{1,2,3,4,...\mid {}\}+\{0\mid {}\}=\{1,2,3,4,\ldots ,\omega \mid {}\}}$$S _ω のどの数にも含まれません。S ωの算術演算（有限系列）に関して閉じている最大の部分集合は、無限大± _ω、無限小± ε 、および各非ゼロ二進分数yの無限小近傍y ± εを除外して得られる実数体です。

この実数の構成は、一般的な有理数ではなく二進分数から出発し、S _ωの各二進分数を前の世代の形式と自然に同一視するという点で、標準解析のデデキント切断とは異なります。（ S _ωの実数要素のω完全形式は、デデキント切断によって得られる実数と 1 対 1 で対応しますが、有理数に対応するデデキント実数は、左集合と右集合の両方から切断点が省略された形式で表されます。）有理数は、超現実構成の識別可能な段階ではありません。有理数は、 S _∗から抽出されたaとゼロでないbに対してx b = aとなるすべての要素xを含むS _ωの部分集合Qにすぎません。Q が超現実算術演算の個々の繰り返しに関して閉じていることを示すことにより、 Q が体であることを示すことができます。そして、Qのすべての要素が乗法逆元を含む有限の系列 (実際には 2 つ以下) の算術演算によってS _∗から到達可能であることを示すことにより、Q は実数と同一視されるS _ωの部分集合よりも厳密に小さいことを示すことができる。

集合S _ωは実数Rと同じ濃度を持ちます。これは、 S _ωからRの閉単位区間Iへの全射写像と逆の全射写像を示すことで証明できます。S ω_をIに写像するのは簡単です。ε 以下の数(−ω を含む)を0 に、 1 − ε以上(ω を含む)の数を1 に、εと1 − εの間の数をIの対応する数に写像します (各二分数yの無限小の近傍y ± εとy自体をyに写像します)。I をS _ωに写像するには、 Iの(開いた) 中央 3 分の 1 ( 1 / 3 , 2 / 3 )を{ | } = 0に写像し、上部 3 分の1の中央 3 分の 1 ( 7 / 9 , 8 / 9 )を{ 0 |に写像します。} = 1 ; など。これは、I の空でない開区間を S ∗ の各要素に単調に写像します。Iの剰余_はカントール集合2 ω^で構成され、その各点は、中央 3 分の 1 区間を左右の集合に分割することによって一意に識別され、S _ωの形式{ L | R }に正確に対応します。これにより、カントール集合は誕生日ωの超現実数の集合と 1 対 1 で対応します。

ω関数のべき乗も指数関数ですが、実数への拡張に必要な性質は持ち合わせていません。しかし、底e の指数関数の展開には必要となるため、以下でω ^xという表記を用いる場合は、常にこの関数を指しています。

yが二進分数の場合、べき関数${\textstyle x\in \mathbb {No} }$x ↦ x ^{y は}、乗法、乗法逆元、平方根から構成され、これらはすべて帰納的に定義できます。その値は、基本関係x ^{y + z} = x ^y · x ^zによって完全に決定され、定義されている場合は、存在する可能性のある他のすべての指数と必ず一致します。

超現実指数関数の帰納手順は、実数指数関数の級数展開に基づいている。 $${\displaystyle \exp x=\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}}$$ より具体的には、基本的な代数によって正であることが示せるが、それ以降のすべての部分和よりも小さい部分和です。xが正の場合、これらは[ x ] _nと表記され、すべての部分和を含みます。xが負だが有限の場合、[ x ] _{2n +1は}、正の実部を持つ最初のステップ（常に存在する）から始まる数列の奇数番目のステップを表します。xが負の無限の場合、奇数番目の部分和は厳密に減少し、[ x ] _{2n + 1}表記は空集合を表しますが、帰納法では対応する要素は必要ないことがわかります。

実数x < yに対して成り立つ関係式は次のようになる。

そして

そしてこれは、定義によってシュールレアリズムにも拡張できる。

$${\displaystyle \exp z=\{0,\exp z_{L}\cdot [z-z_{L}]_{n},\exp z_{R}\cdot [z-z_{R}]_{2n+1}\mid \exp z_{R}/[z_{R}-z]_{n},\exp z_{L}/[z_{L}-z]_{2n+1}\}.}$$

これはすべての超現実的な引数に対して明確に定義されています（値は存在し、 z _Lとz _Rの選択に依存しません）。

この定義を用いると、以下が成り立つ：^{[ e ]}

• exp は厳密に増加する正の関数であり、x < y ⇒ 0 < exp x < exp yである。
• exp はexp( x + y ) = exp x · exp y を満たす
• expは全射(上${\textstyle \mathbb {No} _{+}}$）そして、明確な逆関数log = exp ^{–1を持つ。}
• exp は実数上の通常の指数関数と一致します (したがってexp 0 = 1、exp 1 = e )
• xが無限小の場合、 expの形式的べき級数（テイラー展開）の値は明確に定義され、帰納的定義と一致する。
  • xがコンウェイ正規形で与えられると、結果の指数の集合は整列しており、係数は有限和となるため、結果の正規形（先頭に1がある）が直接得られる。
  • 同様に、xが1に限りなく近い場合、log xはx -1のべき級数展開によって与えられる。
• 正の無限大xに対しては、exp x も無限大となる。
  • x がω ^α ( α > 0 )の形である場合、exp x はω ^{ω β}の形になります。ここでβはαの厳密に増加する関数です。実際、帰納的に定義された全単射が存在します。${\textstyle g:\mathbb {No} _{+}\to \mathbb {No}$ :\alpha \mapsto \beta } の逆関数も帰納的に定義できる
  • xが正規形x = Σ _{α < β} r _α ω ^{a _α} (すべてa _α > 0 )の「純粋な無限」である場合、exp x = ω ^{Σ _{α < β} r _α ω g ( a _α )}
  • 同様に、x = ω ^{Σ _{α < β} r _α ω b _α}の場合、逆数はlog x = Σ _{α < β} r _α ω ^{g –1 ( b _α )で求められます。}
• 任意の超現実数は、純粋な無限、実数、および無限小の和として表すことができ、指数関数は上記の部分的な結果の積である。
  • 正規形は、無限部分（ ωの 1 乗）と実指数関数を無限小から生じるべき級数に掛け合わせることによって書き出すことができる。
  • 逆に、正規形の先頭項を割り出すと、任意の超現実数は( ω ^{Σ _{γ < δ} t _γ ω b _γ} )· r ·(1 + Σ _{α < β} s _α ω ^{a _α} )の形になります。ただし、a _α < 0です。ここで、各因子は、対数を計算する方法が上記で示されている形を持ちます。その和は一般対数になります。
    • logには（ expとは異なり）一般的な帰納的定義はありませんが、部分的な結果はそのような定義に基づいて与えられます。このようにして、対数が指数関数の逆数であるという事実を参照することなく、対数を明示的に計算することができます。
• 指数関数は、いかなる有限のべき乗よりもはるかに大きい。
  • 任意の正の無限大xと任意の有限nに対して、exp( x )/ x ^{n は}無限大となる。
  • 任意の整数nと超現実x > n ²に対して、exp( x ) > x ⁿが成り立つ。このより強い制約は、実指数場に対する Ressayre 公理の 1 つである^{[ 7 ] 。}
• exp は実指数体に関する Ressayre の公理をすべて満たします^{[ 7 ]}
  • 指数関数を持つ超現実は、実指数場の基本的な拡張である。
  • εβ_を順序イプシロン数とすると、誕生日がεβより小さい超現実数の集合は指数法則に関して閉じた体を構成し、同様に実指数体の初等拡張となる_。

超現実的な指数関数は、本質的にωの正のべき乗におけるその振る舞いによって与えられる。すなわち、関数⁠${\displaystyle g(a)}$⁠、有限数に関するよく知られた挙動と組み合わせる。前者の例のみを示す。さらに、 ⁠${\displaystyle g(a)=a}$⁠ はその範囲の大部分で成り立ちます。たとえば、正の実部を持つ任意の有限数と、 ωの反復べき乗( ω ^{ω · · ω}の数のレベル)より小さい任意の無限数に対して成り立ちます

• exp ω = ω ^ω
• exp ω ^{1/ ω} = ωおよびlog ω = ω ^{1/ ω}
• exp ( ω・ log ω ) = exp ( ω・ω ^{1/ ω} ) = ω ^{ω 1 + 1/ ω}
  • これは、「ωのべき乗」関数がexpと互換性がないことを示している。なぜなら、互換性のためにはここでω ^ωの値が必要になるからである。
• exp ε ₀ = ω ^{ω ε ₀ + 1}
• log ε ₀ = ε ₀ / ω

一般的な指数関数はx ^y = exp( y · log x )と定義でき、 2 ^ω = exp( ω · log 2)のような式に解釈を与えることができる。= ω ^{log 2 · ω} 。ここでも、特にω が底として現れる可能性がある場合は、「 ωのべき乗」関数

^{アリン[ 11 ]}が提示したシュールレアリスムへの別のアプローチでは、 明示的な構成は完全に省略されている。代わりに、シュールレアリスムへの特定のアプローチが満たさなければならない一連の公理が与えられている。実数への公理的アプローチとよく似て、これらの公理は同型を除いて一意性を保証する。

トリプル${\textstyle \langle \mathbb {No} ,\mathrm {<} ,b\rangle }$が超現実数体系であるのは、以下の条件が満たされる場合に限る。

• <は全順序です${\textstyle \mathbb {No} }$
• bは関数です${\textstyle \mathbb {No} }$すべての順序数のクラス ( bは「誕生日関数」と呼ばれます)へ${\textstyle \mathbb {No} }$)
• AとBを以下の部分集合とする${\textstyle \mathbb {No} }$すべてのx ∈ Aおよびy ∈ Bに対して、x < yとなるように(Alling の用語では、〈A , B〉は「コンウェイ カット」である)${\textstyle \mathbb {No} }$) すると、一意の${\textstyle z\in \mathbb {No} }$b ( z )が最小値であり、すべてのx∈Aおよびすべてのy∈Bに対してx < z < yとなるような公理。（この公理はしばしば「コンウェイの単純性定理」と呼ばれる。）
• さらに、順序数αがすべてのx∈A,Bに対してb ( x )より大きい場合、 b ( z ) ≤αが成り立つ。（アリンはこの公理を満たすシステムを「完全超現実数システム」と呼んでいる。）

コンウェイのオリジナルの構成とシュルレアリスムの記号拡張による構成は、いずれもこれらの公理を満たしている。

これらの公理に基づいて、Alling ^{[ 11 ]}は≤のコンウェイの元の定義を導き出し、超現実的な算術を展開します。

単純性（祖先）と順序関係を持つ最大二分擬似木としての超現実数の構成は、フィリップ・エーリッヒによるものである。^{[ 12 ]}通常の木の定義との違いは、頂点の祖先の集合が整列しているが、最大要素（直前の先行要素）を持たない可能性があることである。言い換えれば、その集合の順序型は、自然数だけでなく、一般的な順序数である。この構成はアリンの公理も満たし、符号列表現に容易にマッピングできる。エーリッヒはさらに、コンウェイの最大超現実数体とフォン・ノイマン・ベルネイス・ゲーデル集合論の最大超実数との間の同型を構築した。^{[ 12 ]}

Alling ^{[ 11 ] : th. 6.55、p. 246}では、超現実数の体は、超現実数自体の値群上の実係数ハーン級数の体と同型（順序体として）であることを証明しています（級数表現は、上で定義した超現実数の標準形に対応します）。これにより、超現実数と、より従来型の順序体理論への数学的アプローチとの間に繋がりが生まれます。

ハーン級数のサポートは、真クラスではなく集合でなければならないことに注意してください。たとえば、ハーン級数${\displaystyle \omega ^{-\alpha }}$すべての順序数αについて合計すると、超現実的な対応物は存在しない。

この同型写像により、超現実数は、コンウェイ標準形の先頭項の指数の加法逆元である評価値を持つ体となる。例えば、 ν ( ω ) = −1 となる。評価環は、有限超現実数（実数部および／または無限小部分を持つ数）から構成される。符号反転の理由は、コンウェイ標準形の指数が逆順の整列集合を構成するのに対し、ハーン級数は値群の（逆順ではない）整列部分集合で定式化されるためである。