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組合せゲーム理論において、∗または∗1と表記されるスター は、両方のプレイヤーがゼロゲームに進む選択肢しか持たないゲームに与えられる値です。 スター は超現実的な形式{0|0}と表記されることもあります。 このゲームは無条件に最初のプレイヤーが勝ちます。
ジョン・コンウェイが『数学的プレイで勝つ方法』で定義しているように、星は値ではあるが、従来の意味での数字ではない。星はゼロではなく、正でも負でもない。そのため、あいまいで、0（「より小さい」、「等しい」、「より大きい」のいずれでもないことを意味する4番目の選択肢）と混同されていると言われている。星は、すべての正の有理数より小さく、すべての負の有理数より大きい。
{0 | 0} 以外のゲームでは、値 ∗ を持つ場合があります。たとえば、値が数字であるゲーム では、各プレーヤーが単に 0 に移動する以外にも選択肢があるにもかかわらず、値 ∗ が設定されます。
なぜ∗≠0なのか
組み合わせゲームには、プラスのプレイヤーとマイナスのプレイヤーがいます。どちらのプレイヤーが先に動くかはあいまいです。組み合わせゲーム 0、つまり{ | }には選択肢がなく、2 番目のプレイヤーが勝ちます。同様に、組み合わせゲームでは (最適なプレイを想定)、値が 0 の場合にのみ2 番目のプレイヤーが勝ちます。したがって、値 ∗ のゲームは最初のプレイヤーが勝ちますが、これはプラスでもマイナスでもありません。ただし、 ∗ は最初のプレイヤーが勝つゲームで可能な唯一の値ではありません ( nimbersを参照)。
スターには、 ∗ + ∗の合計 が 0 になるという特性があります。これは、最初のプレーヤーの唯一の動きがゲーム ∗ であり、2 番目のプレーヤーが勝つためです。
価値ゲームの例
1 つの山と 1 つのピースを持つNimは、値 ∗ を持ちます。最初のプレーヤーはピースを取り除き、2 番目のプレーヤーは負けます。n個のピースの 1 つの山を持つ単一山 Nim ゲーム (これも最初のプレーヤーの勝ち) は、値 ∗ n を持つと定義されます。整数zの数 ∗ z は、組み合わせゲームのコンテキストで加算が定義され、乗算がより複雑な定義が与えられている場合、特性2 の無限体を形成します。
参照
参考文献
- コンウェイ、JH、「数とゲームについて」、 Academic Press Inc. (London) Ltd.、1976年