選言和

組合せゲームの数学では、 2 つのゲームの和または選言和は、 2 つのゲームが並行してプレイされ、各プレーヤーは 1 ターンにつき 1 つのゲームにのみ移動できるゲームです。2 つの並行ゲームのどちらにも移動が残っていないときに和ゲームが終了し、その時点で (通常のプレイでは) 最後に移動したプレーヤーが勝ちます。この操作は、ゲームを並行してプレイし、1 ターンにつき正確に 1 つのゲームに移動することで、任意の数のゲームの選言和に拡張できます。これは、公平なゲームに対するSprague-Grundy の定理で使用されている基本的な操作であり、党派ゲームの組み合わせゲーム理論の分野につながりました。

分離和は、各プレイヤーが順番にプレイするコンポーネントを 1 つだけ選択する必要があるという点を除いて相互作用しないコンポーネントまたは領域に自然に分割されるゲームで発生します。このようなゲームの例としては、囲碁、Nim、Sprouts、Domineering、Game of the Amazons、地図塗り絵ゲームなどがあります。

このようなゲームでは、各コンポーネントを個別に分析して、結果や他のゲームとの分離和の結果に影響を与えない単純化を行うことができます。この分析を実行すると、一度に 2 つのゲームの分離和を取得してコンポーネントを結合し、元のゲームと同じ結果を持つ 1 つのゲームに組み合わせることができます。

合計演算は、Conway (1976) によって形式化されました。これは、交換可能かつ結合的な演算です。2 つのゲームを組み合わせると、組み合わせる順序に関係なく結果は同じになり、2 つ以上のゲームを組み合わせると、グループ化方法に関係なく結果は同じになります。

ゲームG (2 人のプレイヤーの役割を交換することで形成されるゲーム)の否定 − Gは、選言和の下で加法逆を形成します。ゲームG  + − Gは、2 番目のプレイヤーが他のゲームの最初のプレイヤーの動きを繰り返しコピーする単純なエコー戦略を使用するゼロ ゲーム (2 番目に先攻のプレイヤーが勝つ) です。任意の 2 つのゲームGとHについて、ゲームH  +  G  + − G はH自体と同じ結果になります(ただし、使用可能な動きのセットが大きい場合があります)。

これらの特性に基づくと、組み合わせゲームのクラスは、アーベル群の構造を持つと考えられるが、(群のより標準的な) 元の集合ではなく、元の適切なクラスを持つ。ゲームの重要なサブクラスである超実数には、この群を体に拡張する乗算演算子が存在する。

公平なミゼールプレイゲームの場合、同様の和の理論を開発できますが、これらの特性は少なくなります。これらのゲームは、順序が 2 のスター( * ) と呼ばれる 1 つの非自明な可逆要素のみを持つ可換 モノイドを形成します。

• コンウェイ、ジョン・ホートン（1976）『数とゲームについて』、アカデミック・プレス。