マーティン・デイビッド・クラスカル

マーティン・クラスカル
生まれる	マーティン・デイビッド・クラスカル ( 1925-09-28 )1925年9月28日 ニューヨーク市、ニューヨーク州、米国
死亡	2006年12月26日(2006-12-26)（享年81歳） プリンストン、ニュージャージー州、米国
市民権	アメリカ合衆国
母校	ニューヨーク大学 シカゴ大学
知られている	クラスカル・シェケレス座標 クラスカル・シャフラノフ不安定性 ベルンシュタイン・グリーン・クラスカルモード クラスカル・シュワルツシルト不安定性ソリトン 理論クラスカル数
受賞歴	ハイネマン賞 (1983) アメリカ科学賞 （1993年） ForMemRS（1997）[1] [2] スティール賞(2006)
科学者としてのキャリア
フィールド	数理物理学
機関	ラトガース大学 プリンストン大学
博士課程の指導教員	リチャード・クーラント
博士課程の学生	ロバート・シンクレア・マッケイ[3] スティーブン・オルザグ[3] ナリニ・ジョシ[3]

マーティン・デイヴィッド・クラスカル（/ ˈ k r ʌ s k əl / ; 1925年9月28日 - 2006年12月26日）^[1]は、アメリカの数学者、物理学者。プラズマ物理学から一般相対性理論、非線形解析から漸近解析に至るまで、数学と科学の多くの分野に根本的な貢献をした。最も有名な貢献はソリトン理論である。^[4]

彼はシカゴ大学とニューヨーク大学の学生で、 1952年にリチャード・クーラントの指導の下で博士号を取得しました。彼はキャリアの多くをプリンストン大学で過ごし、1951年からプラズマ物理学研究所の研究員として働き、その後天文学の教授（1961年）、応用計算数学プログラムの創設者兼議長（1968年）、数学の教授（1979年）を務めました。彼は1989年にプリンストン大学を退職し、ラトガース大学の数学科に加わり、デイヴィッド・ヒルベルト数学教授を務めました。

真面目な数学研究の他に、クルスカルは数学的な娯楽でも知られていました。例えば、クルスカルカウントを発明しましたが、これは手品ではなく数学的現象に基づいていたため、プロのマジシャンを困惑させることで知られています。

マーティン・デイビッド・クラスカルは、ニューヨーク市のユダヤ人家庭^[5]に生まれ、ニューロシェルで育った。彼は一般に、世間ではマーティン、家族からはデイビッドと呼ばれていた。彼の父、ジョセフ・B・クラスカル・シニアは、成功した毛皮卸売業者であった。彼の母、リリアン・ローズ・フォーハウス・クラスカル・オッペンハイマーは、テレビの初期の時代に折り紙芸術の著名な推進者となり、ニューヨーク市にOrigami Center of Americaを設立した。これは後にOrigamiUSAとなった。^[6]彼は5人兄弟の1人であった。彼の2人の兄弟は、ジョセフ・クラスカル（1928–2010、多次元尺度法、クラスカルの木定理、クラスカルのアルゴリズムの発見者）とウィリアム・クラスカル（1919–2005、クラスカル・ワリス検定の発見者）であり、どちらも著名な数学者である。

マーティン・クラスカルの妻、ローラ・クラスカルは折り紙の講師および著述家で、多くの新しいモデルの考案者でもありました。^[7]二人は56年間結婚生活を送りました。マーティン・クラスカルは秘密のメッセージを送るための封筒など、いくつかの折り紙モデルも発明しました。封筒は簡単に広げることができました。しかし、その後、証書を隠すために簡単に再び折りたたむことはできませんでした。^{[8] [検証失敗]}彼らの3人の子供は、カレン（弁護士^[9]）、ケリー（児童書の著者^[10]）、およびコンピューター科学者の クライドです。

マーティン・クラスカルの科学的関心は、純粋数学と数学の科学への応用の幅広い分野に及びました。彼は偏微分方程式と非線形解析の多くの分野に生涯にわたって興味を持ち、漸近展開、断熱不変量、および多数の関連分野 に関する基本的な考え方を発展させました。

彼の博士論文は、ニューヨーク大学のリチャード・クーラントとバーナード・フリードマンの指導の下で執筆され、「極小曲面のブリッジ定理」というテーマでした。彼は 1952 年に博士号を取得しました。

1950年代から1960年代初頭にかけて、彼は主にプラズマ物理学に取り組み、現在この分野の基礎となっている多くのアイデアを生み出した。彼の断熱不変量理論は核融合研究において重要であった。彼の名を冠したプラズマ物理学の重要な概念には、クラスカル・シャフラノフ不安定性やベルンシュタイン・グリーン・クラスカル（BGK）モードなどがある。彼はIBバーンスタイン、EAフリーマン、RMクルスルードとともにMHD（または磁気流体力学^[11]）エネルギー原理を開発した。彼の関心はプラズマ天体物理学や実験室プラズマにまで及んだ。

1960年、クラスカルは一般相対性理論における最も単純なタイプのブラックホールの完全な古典的時空構造を発見した。球対称の時空は、一般相対性理論の初期に発見されたシュワルツシルト解によって記述できる。しかし、元の形式では、この解はブラックホールの事象の地平線の外側の領域のみを記述する。クラスカルは（ジョージ・シェケレスと並行して）シュワルツシルト解の最大解析接続を発見し、現在クラスカル-シェケレス座標と呼ばれるものを使用してそれをエレガントに示しました。

これにより、クラスカルは、ブラックホールの内部が、 2 つの同一の漸近的に平坦な宇宙を繋ぐ「ワームホール」のように見えるという驚くべき発見に至りました。これは、一般相対性理論におけるワームホール解の最初の実際の例でした。ワームホールは、観測者または信号が 1 つの宇宙から別の宇宙に移動する前に、特異点に崩壊します。これは現在、一般相対性理論におけるワームホールの一般的な運命であると考えられています。1970 年代にブラックホール物理学の熱的性質が発見されたとき、シュワルツシルト解のワームホール特性は重要な要素であることが判明しました。今日では、これは量子重力を理解するための基本的な手がかりであると考えられています。

クラスカルの最も広く知られている業績は、1960 年代に、1 つの空間変数と時間の関数を含む特定の非線形偏微分方程式の積分可能性を発見したことです。これらの開発は、クラスカルとノーマン ザブスキー(ハリー ディムの協力を得て) による、コルテヴェク - デ フリース方程式(KdV)として知られる非線形方程式の先駆的なコンピュータ シミュレーションから始まりました。KdV 方程式は、非線形分散波の伝播の漸近モデルです。しかし、クラスカルとザブスキーは、KdV 方程式の「孤立波」解という驚くべき発見をしました。この解は非分散的に伝播し、他の同様の波と衝突した後でも元の形に戻ります。このような波の粒子のような特性のため、彼らはそれを「ソリトン」と名付けました。この用語はすぐに定着しました。

この研究は、 1955年にロスアラモスのエンリコ・フェルミ、ジョン・パスタ、スタニスワフ・ウラム、メアリー・ツィンゴウが行った、ある非線形格子のごく初期のコンピュータシミュレーション^[12]で観測された近似再帰パラドックスに部分的に動機づけられた。これらの著者らは、予想されていた急速な熱化とは対照的に、非調和振動子の一次元鎖の長期にわたる近似再帰挙動を観測した。クラスカルとザブスキーは、クラスカルがその一次元鎖の連続体極限として得たKdV方程式をシミュレートし、熱化の反対であるソリトン挙動を発見した。これが現象の核心であることが判明した。

孤立波現象は、1834 年に運河を伝わる現在ではソリトンと呼ばれる現象を観測し、馬に乗ってそれを追跡したジョン スコット ラッセルの研究にまで遡る 19 世紀の謎でした。 ^[13]波の水槽実験でソリトンを観察したにもかかわらず、スコット ラッセルは、最大振幅の孤立波である「並進の大波」に注目していたため、それをソリトンとして認識することはありませんでした。1844 年に英国科学振興協会に提出された波に関する報告書で発表された彼の実験的観察は、ジョージ エアリーとジョージ ストークスから懐疑的な目で見られました。彼らの線形水波理論では説明できなかったからです。 ジョセフ ブシネスク(1871 年) とレイリー卿(1876 年) は、スコット ラッセルの観察を正当化する数学的理論を発表しました。 1895 年、ディーデリック・コルテヴェグとグスタフ・デ・フリースは、浅瀬の波 (ラッセルが観測した運河の波など) を記述するために KdV 方程式を定式化しましたが、この方程式の基本的な特性は、1960 年代のクラスカルとその協力者による研究まで理解されていませんでした。

ソリトン的振る舞いから、KdV方程式には、質量、エネルギー、運動量の明白な保存則を超えた保存則がなければならないことが示唆された。4番目の保存則はジェラルド・ウィタムによって発見され、5番目はクラスカルとザブスキーによって発見された。ロバート・ミウラはいくつかの新しい保存則を手作業で発見し、修正コルテヴェク・ド・フリース（MKdV）方程式として知られる関連方程式に多くの保存則が存在することも示した。^[14]これらの保存則により、ミウラはKdV方程式とMKdV方程式の解の間の関連性（ミウラ変換と呼ばれる）を示した。これが手がかりとなり、クラスカルはクリフォード・S・ガードナー、ジョン・M・グリーン、ミウラ（GGKM）^[15]とともに、KdV方程式の正確な解とその保存則を理解するための一般的な手法を発見した。これが逆散乱法であり、KdV方程式がポアソン可換な保存量を無限に許容し、完全に積分可能であることを示す驚くべきエレガントな方法でした。この発見は、ソリトン現象を理解するための現代的な基礎を与えました。孤立波は出力状態で再現されますが、これはすべての保存則を満たす唯一の方法だからです。GGKMの直後、ピーター・ラックス氏は、等スペクトル変形とラックス対の観点から逆散乱法を有名に解釈しました。

逆散乱法は、数学や物理学のさまざまな分野で驚くほど多様な一般化と応用がなされてきました。クルスカル自身が、サイン・ゴードン方程式の保存量が無限に存在することなど、いくつかの一般化の先駆者となりました。これがきっかけで、MJアブロウィッツ、DJ カウプ、AC ニューウェル、H. セガー (AKNS) によるその方程式の逆散乱法が発見されました。^{[16]サイン・ゴードン方程式は、ソリトン現象も示す 1+1 次元の相対論的波動方程式であり、解ける}相対論的場の理論の重要なモデルとなりました。AKNS に先立つ独創的な研究で、ザカロフとシャバットは非線形シュレーディンガー方程式の逆散乱法を発見しました。

ソリトンは、物理学から生物学まで、自然界のいたるところに存在することが知られています。1986 年、クラスカルとザブスキーは、フランクリン研究所から「数理物理学および分析と計算の初期の独創的な組み合わせへの貢献、特にソリトンの特性に関する独創的な研究」に対してハワード N. ポッツ ゴールド メダルを共同で受賞しました。2006 年のスティール賞をガードナー、グリーン、クラスカル、三浦に授与した際、アメリカ数学会は、彼らの研究以前には「非線形微分方程式の重要なクラスを正確に解くための一般理論は存在しなかった」と述べました。AMS は、「数学の応用において、ソリトンとその派生 (キンク、反キンク、インスタントン、ブリーザー) は、非線形光学、プラズマ物理学、海洋、大気、惑星科学など、さまざまな分野に参入し、変化をもたらしました。非線形性は革命を遂げました。排除すべき厄介者から、活用すべき新しいツールへと変化しました」と付け加えました。

クラスカルは、「非線形進化方程式のソリトン解の理論の主任設計者として20年以上にわたり非線形科学のリーダーとして影響を与えた」として、1993年に アメリカ国家科学賞を受賞した。

著名な数学者フィリップ・A・グリフィスは、2000 年代初頭の数学の状況を概観した論文^[17]で、KdV 方程式の積分可能性の発見について「数学の統一性を最も美しい形で示した。それは計算の発展と、微分方程式を研究する伝統的な方法である数学的解析の発展を伴った。これらの微分方程式の解は、代数幾何学の非常にエレガントな構成を通じて理解できることが判明した。また、これらの方程式には無限の数の隠れた対称性があることが判明したため、解は表現論とも密接に関連している。最終的に、それらは初等幾何学の問題に関係する」と書いている。

1980 年代、クラスカルはパンルヴェ方程式に強い関心を抱くようになりました。パンルヴェ方程式はソリトン方程式の対称性縮小として頻繁に現れ、クラスカルはこれらの方程式を特徴付ける特性と完全に積分可能なシステムとの間に存在すると思われる密接な関係に興味をそそられました。その後の研究の多くは、この関係を理解し​​、パンルヴェ方程式を研究するための新しい直接的でシンプルな方法を開発したいという願望によって推進されました。クラスカルは微分方程式に対する標準的なアプローチにほとんど満足していませんでした。

6 つのパンルヴェ方程式には、パンルヴェ特性と呼ばれる特徴的な性質がある。つまり、その解は、その位置が初期条件に依存するすべての特異点の周りで単一の値をとる。クラスカルの意見では、この特性がパンルヴェ方程式を定義しているので、余分な構造を追加することなく、この特性から始めて、その解に関する必要な情報をすべて計算できるはずである。最初の結果は、ナリニ・ジョシとのパンルヴェ方程式の漸近的研究であり、当時としては珍しく、関連する線形問題を使用する必要がなかった。古典的な結果に対する彼の執拗な疑問は、ジョシと共同で開発した、パンルヴェ方程式のパンルヴェ特性を証明する直接的で単純な方法につながった。

後年、クラスカルが主に関心を寄せたのは超実数論だった。構成的に定義される超実数は、実数のすべての基本的な特性と演算を備えている。超実数には、実数のほか、さまざまな種類の無限大や無限小が含まれる。クラスカルは、この理論の基礎、超実関数の定義、およびその構造の解析に貢献した。彼は、超実数、漸近線、指数漸近線の間に注目すべきつながりを発見した。1970年代後半にコンウェイ、クラスカル、ノートンによって提起され、クラスカルが粘り強く研究した大きな未解決の問題は、十分に振る舞いの良い超実関数が定積分を持つかどうかである。この疑問は、コンウェイらが期待した通り、2015年にコスティン、フリードマン、エーリッヒによって完全に一般化して否定的な回答が得られた。[ ^18]は、クルスカルの漸近解析のビジョンが広く考えられている超現実的な関数の十分に広いクラスに対して定積分が存在することを示しています。クルスカルは、死去した時点で、O. コスティンとともに超現実的な解析に関する本を執筆中でした。

クラスカルは「応用数学システムを限界ケースで扱う技術」を説明するために漸近論という用語を作り出した。 ^[19]彼は漸近論の7つの原則を定式化した。1. 単純化の原則、2. 再帰の原則、3. 解釈の原則、4. 野生の行動の原則、5. 消滅の原則、6. 最大バランスの原則、7. 数学的ナンセンスの原則。

漸近論という用語は、ソリトンという用語ほど広くは使用されていません。さまざまな種類の漸近的方法は、科学自体の誕生以来、ほぼ一貫して使用されてきました。それでも、クルスカルは、漸近論が科学と芸術の中間にある特別な知識分野であることを示そうとしました。彼の提案は非常に実り多いものであることがわかりました。^{[20] [21] [22]}

クラスカルの受賞と栄誉は以下のとおりです。

• レクリエーション数学におけるクラスカルカウント

Wikiquote にMartin David Kruskalに関する引用があります。

• 追悼: マーティン・デイヴィッド・クラスカル
• Zabusky, Norman J. (2005). 「フェルミ–パスタ–ウラム、ソリトン、非線形および計算科学の構造: 歴史、シナジェティクス、およびビジオメトリクス」。カオス。15 ( 1 ): 015102。Bibcode : 2005Chaos..15a5102Z。doi : 10.1063/1.1861554。PMID 15836279  。
• ソリトン、特異点、超現実など: マーティン・クラスカルの 80 歳の誕生日を祝う会議
• NY タイムズ死亡記事、2007 年 1 月 13 日
• プリンストン大学週刊速報訃報、2007-02-05
• クリス・アイルベック/ヘリオット・ワット大学、英国エディンバラ
• ロサンゼルス タイムズ 訃報記事、2007 年 1 月 6 日
• 訃報 – マーティン・デイビッド・クラスカル 工業応用数学協会、2007-04-11