不定直交群

数学において、不定値直交群O( p , q )は、n = p + qである、符号( p , q )の非退化で対称な双線型形式を不変にするn次元実ベクトル空間のすべての線型変換のリー群である。これは擬似直交群[ ^1]または一般化直交群^[2]とも呼ばれる。群の次元はn ( n − 1)/2である。

不定特殊直交群SO ( p , q )は、行列式が 1 であるすべての要素からなるO( p , q )の部分群です。定の場合とは異なり、SO( p , q )は連結されておらず、2 つの要素を持ちます。また、連結されたSO ⁺ ( p , q )と2 つの要素を持つO ⁺ ( p , q )という 2 つの追加の有限インデックス部分群があります。定義と説明については、 § 位相を参照してください。

形式の符号は同型性まで群を決定する。pとqを入れ替えることは計量をその負数で置き換えることと同じであり、同じ群を与える。pまたはqのいずれかがゼロに等しい場合、群は通常の直交群O( n ) と同型である。以下では p と q の両方が正であると仮定する。

群O( p , q )は、実数上のベクトル空間に対して定義されます。複素空間の場合、すべての群O( p , q ; C )は、変換によって形式の署名が変化するため、通常の直交群 O( p + q ; C )と同型です。これは、署名( p , q )のセクスティリニア形式を保存する不定ユニタリ群U( p , q )と混同しないでください。 ${\displaystyle z_{j}\mapsto iz_{j}}$

偶数次元n = 2 pでは、O( p , p )は分割直交群として知られています。

基本的な例はスクイーズ写像であり、これは単位双曲線を保存する線型変換（の恒等成分）の群SO ⁺ (1, 1)である。具体的には、これらは行列であり、群 SO(2) が円回転として解釈できるのと同様に、双曲回転として解釈できる。${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],}$

物理学において、ローレンツ群 O(1,3)は、電磁気学と特殊相対性理論の舞台として、中心的な重要性を持っています。(一部のテキストでは、ローレンツ群としてO(3,1) を使用していますが、ディラック方程式の幾何学的特性はO(1,3)の方が自然であるため、量子場の理論ではO (1,3)が一般的です。)

古典的な直交群O( n )と同様に、O( p , q )を行列の群として定義することができます。次に示す 対角行列を考えます。${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).}$

次に、対称双線型形式を 次の式で 定義する。${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$

${\displaystyle [x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}}$、

ここで、上の標準内積はです。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$

次に、この双線型形式を保存する行列の群を次のように定義する: ^[3]${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} )|[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}}$。

より具体的には、次のような行列から構成される^[4]${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle gA^{\mathrm {tr} }g=A^{-1}}$、

ここで はの転置です。 ${\displaystyle A^{\mathrm {tr} }}$${\displaystyle A}$

g をp 個の正の固有値とq 個の負の固有値を持つ任意の対称行列に置き換えることで、同型群（実際、GL( p + q )の共役部分群）が得られます。この行列を対角化すると、この群と標準群O( p , q )の共役が得られます。

SO ⁺ ( p , q )群とO( p , q )の関連する部分群は代数的に記述できます。O ( p , q )内の行列L をブロック行列として分割します。

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

ここで、A、B、C、D はそれぞれp × p、p × q、q × p、q × qブロックです。左上のp × pブロックAが正の行列式を持つO( p , q )内の行列の集合は部分群であることが示せます。または、別の言い方をすると、

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\;\mathrm {and} \;M={\begin{pmatrix}W&X\\Y&Z\end{pmatrix}}}$

O( p , q )の場合、

${\displaystyle (\operatorname {sgn} \det A)(\operatorname {sgn} \det W)=\operatorname {sgn} \det(AW+BY).}$

右下のq × qブロックについても同様の結果が得られる。SO ⁺ ( p , q )サブグループには、detAとdetDがともに正となる行列Lが含まれる。^{[5] [6]}

O( p , q )内のすべての行列Lに対して、 AとDの行列式は次の性質を持つ。 ^[7]特に、部分群SO( p , q )は、detAとdetDが同じ符号を持つような行列Lで構成される。^[5]${\textstyle {\frac {\det A}{\det D}}=\det L}$${\displaystyle |{\det A}|=|{\det D}|\geq 1.}$

pとq が両方とも正であると仮定すると、グループO( _{p , q ) と SO( p , q ) はどちらも連結されておらず、それぞれ 4 つの要素と 2 つの要素を持ちます。π 0} ( O ( p , q ) ) ≅ C 2 × C 2はクラインの4次元_グループで_あり、各要素は、形式が確定しているp次元とq次元の部分空間上でそれぞれの方向を維持するか反転するかです。これらの部分空間の 1 つだけで方向を反転すると、空間全体の方向が反転することに注意してください。特殊直交群には、コンポーネントπ ₀ (SO( p , q )) = {(1, 1), (−1, −1) } があり、それぞれが両方の方向を維持するか、両方の方向を反転しますが、どちらの場合も全体の方向は維持されます。^{[説明が必要]}

O( p , q )の恒等成分はSO ⁺ ( p , q )と表記されることが多く、両方の方向を保存するSO( p , q )内の要素の集合と同一視できます。この表記は、直交ローレンツ群の表記O ⁺ (1, 3)に関連しています。ここで、+ は最初の (時間) 次元の方向を保存することを表します。

群O( p , q )もコンパクトではありませんが、形式が定まる部分空間に作用するコンパクト部分群 O( p ) と O( q )を含みます。実際、 O( p ) × O( q ) はO( p , q )の最大コンパクト部分群であり、S(O( p ) × O( q ))はSO( p , q )の最大コンパクト部分群です。同様に、SO( p ) × SO( q )はSO ⁺ ( p , q )の最大コンパクト部分群です。したがって、これらの空間は (特殊) 直交群の積とホモトピー同値であり、そこから代数位相不変量を計算できます。( 「最大コンパクト部分群」を参照してください。)

特に、SO ⁺ ( p , q )の基本群は、成分の基本群の積、π ₁ (SO ⁺ ( p , q )) = π ₁ (SO( p )) × π ₁ (SO( q ))であり、次のように表されます。

偶数次元では、中間の群O( n , n )は分割直交群として知られ、弦理論におけるT 双対変換の群として現れるなど、特に興味深い。これは、複素リー代数so _{2 n} （リー代数の分割実数形式のリー群）に対応する分割リー群である。より正確には、単位元成分が分割リー群であり、非単位元成分はリー代数から再構成できない。この意味で、これは、複素リー代数の コンパクトな実数形式である定直交群O( n ) := O( n , 0) = O(0, n )の反対である。

SO(1, 1)群は単位分割複素数の群と同一視される。

リー型の群、つまりリー代数からの代数群の構成という点では、分割直交群はシュヴァレー群であり、非分割直交群は少し複雑な構成を必要とし、スタインバーグ群である。

分割直交群は、非代数的に閉じた体上の 一般化旗多様体を構築するために使用されます。

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