区間演算

区間演算（区間数学、 区間分析、区間計算とも呼ばれる）は、関数の境界を計算することで数学計算における丸め誤差や測定誤差を軽減するために使用される数学的手法です。区間演算を含む数値法は、比較的信頼性が高く数学的に正しい結果を保証できます。値を単一の数値として表す代わりに、区間演算または区間数学では、各値を可能性の範囲として表します。

数学的には、不確実な実数値変数を扱う代わりに、区間演算はが取り得る値の範囲を定義する区間 を扱います。言い換えると、変数 の任意の値はと の間の閉区間内にあります。関数を に適用すると、すべての についてのすべての可能な値を含む区間が生成されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [c,d]}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in [a,b]}$

区間演算はさまざまな目的に適しています。最も一般的な用途は科学研究で、特に計算がソフトウェアで処理される場合に、計算の丸め誤差や物理的および技術的パラメータの正確な値に関する知識の不確実性を追跡するために使用されます。後者は、多くの場合、測定誤差やコンポーネントの許容範囲、または計算精度の制限によって発生します。区間演算は、方程式 (微分方程式など) や最適化問題に対する保証された解を見つけるのにも役立ちます。

区間演算の主な目的は、 1 つ以上の変数における関数の範囲の上限と下限を計算する簡単な方法を提供することです。これらの端点は、必ずしも範囲の真の上限または下限である必要はありません。これらの値を正確に計算することは困難または不可能な場合があるためです。境界には、関数の範囲がサブセットとして含まれていれば十分です。

この処理は、通常、実区間に限定されるため、

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\},}$

ここで、 と は許可されます。のいずれかが無限大の場合、区間は無制限の区間になります。 が両方とも無限大の場合、区間は拡張された実数直線になります。 実数は区間 として解釈できるため、区間と実数は自由に組み合わせることができます。 ${\displaystyle a={-\infty }}$${\displaystyle b={\infty }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle r}$${\displaystyle [r,r],}$

人のボディマス指数(BMI)の計算について考えてみましょう。BMI は、人の体重 (キログラム) を身長 (メートル) の 2 乗で割って計算されます。1 キログラム単位の精度を持つ体重計を使用するとします。この体重計では中間値は識別できず、実際の体重は最も近い整数に丸められます。たとえば、体重計は最も近いキログラム単位の値しか表示できないため、79.6 kg と 80.3 kg は区別できません。体重計が 80 kg を示しているときに、その人の体重がちょうど80.0 kg であるということは考えられません。したがって、80 kg と表示されている体重計は、79.5 kg から 80.5 kg の間、つまり間隔 の体重を示しています。 ${\displaystyle [79.5,80.5)}$

体重 80 kg、身長 1.80 m の男性の BMI は約 24.7 です。体重 79.5 kg で同じ身長の場合、BMI は 24.537 になり、体重 80.5 kg の場合は 24.846 になります。体重は連続しており、指定された体重間隔内のすべての値で常に増加するため、実際の BMI は間隔内に収まる必要があります。間隔全体が、正常体重と過剰体重のカットオフ値である 25 未満であるため、この男性は正常体重であると確実に結論付けることができます。 ${\displaystyle [24.537,24.846]}$

この例のエラーは結論 (標準体重) には影響しませんが、これは一般的には当てはまりません。男性の体重がもう少し重い場合、BMI の範囲にカットオフ値 25 が含まれる可能性があります。このような場合、体重計の精度では決定的な結論を出すには不十分です。

この間隔は計算された間隔のスーパーセットであるため、BMI の例の範囲は として報告できます。ただし、間隔には可能な BMI 値が含まれていないため、範囲を として報告することはできません。 ${\displaystyle [24.5,24.9]}$${\displaystyle [24.6,24.8]}$

身長と体重はどちらも BMI の値に影響します。上記の例では体重の変化のみを考慮しましたが、身長も不確実性の対象となります。メートル単位の身長の測定値は通常、最も近いセンチメートルに丸められます。記録された測定値 1.79 メートルは、間隔 内の身長を表します。BMI は体重に対して一様に増加し、身長に対して一様に減少するため、各間隔の最低値と最高値を代入し、最低結果と最高結果を境界として選択することで、誤差間隔を計算できます。したがって、BMI は間隔 内に存在する必要があります。 ${\displaystyle [1.785,1.795)}$

${\displaystyle {\frac {[79.5,80.5)}{[1.785,1.795)^{2}}}\subseteq [24.673,25.266].}$

この場合、男性は標準体重か太りすぎの可能性があります。体重と身長の測定値は、決定的な結論を出すには正確さが足りません。

加算や乗算などの2つの区間の 二項演算は次のように定義されます。${\displaystyle \star }$

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]{\,\star \,}[y_{1},y_{2}]=\{x\star y\,|\,x\in [x_{1},x_{2}]\,\land \,y\in [y_{1},y_{2}]\}.}$

言い換えれば、 のすべての可能な値の集合であり、ここでと は対応する区間にあります。 が区間上の各オペランドに対して単調である場合、これは 4 つの基本的な算術演算の場合 (分母に が含まれる場合の除算を除く)、極値はオペランド区間の端点で発生します。すべての組み合わせを書き出すと、これを述べる 1 つの方法は次のようになります。 ${\displaystyle x\star y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \star }$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\star [y_{1},y_{2}]=\left[\min\{x_{1}\star y_{1},x_{1}\star y_{2},x_{2}\star y_{1},x_{2}\star y_{2}\},\max\{x_{1}\star y_{1},x_{1}\star y_{2},x_{2}\star y_{1},x_{2}\star y_{2}\}\right],}$

ただし、 はすべてのおよびに対して定義されます。 ${\displaystyle x\star y}$${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle y\in [y_{1},y_{2}]}$

実際のアプリケーションでは、これをさらに簡略化できます。

• 追加：$${\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}]}$$
• 減算:$${\displaystyle [x_{1},x_{2}]-[y_{1},y_{2}]=[x_{1}-y_{2},x_{2}-y_{1}]}$$
• 掛け算:$${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[\min\{x_{1}y_{1},x_{1}y_{2},x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}\},\max\{x_{1}y_{1},x_{1}y_{2},x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}\}]}$$
• 部門：どこ$${\displaystyle {\frac {[x_{1},x_{2}]}{[y_{1},y_{2}]}}=[x_{1},x_{2}]\cdot {\frac {1}{[y_{1},y_{2}]}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{[y_{1},y_{2}]}}&=\left[{\tfrac {1}{y_{2}}},{\tfrac {1}{y_{1}}}\right]&&{\textrm {if}}\;0\notin [y_{1},y_{2}]\\{\frac {1}{[y_{1},0]}}&=\left[-\infty ,{\tfrac {1}{y_{1}}}\right]\\{\frac {1}{[0,y_{2}]}}&=\left[{\tfrac {1}{y_{2}}},\infty \right]\\{\frac {1}{[y_{1},y_{2}]}}&=\left[-\infty ,{\tfrac {1}{y_{1}}}\right]\cup \left[{\tfrac {1}{y_{2}}},\infty \right]\subseteq [-\infty ,\infty ]&&{\textrm {if}}\;0\in (y_{1},y_{2})\end{aligned}}}$$

最後のケースでは、 の除外に関する有用な情報が失われます。したがって、と を別々の区間として扱うのが一般的です。より一般的には、不連続関数を扱う場合、 という形式のいわゆる多重区間を使用して計算を行うと便利な場合があります。対応する多重区間演算は、（通常は互いに素な）区間のセットを維持し、重複する区間を結合することもできます。^[1]${\displaystyle (1/y_{1},1/y_{2})}$${\displaystyle \left[-\infty ,{\tfrac {1}{y_{1}}}\right]}$${\displaystyle \left[{\tfrac {1}{y_{2}}},\infty \right]}$${\textstyle \bigcup _{i}\left[a_{i},b_{i}\right].}$

区間乗算では、多くの場合、2回の乗算のみが必要です。、が非負の場合、 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle y_{1}}$

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}\cdot y_{1},x_{2}\cdot y_{2}],\qquad {\text{ if }}x_{1},y_{1}\geq 0.}$

乗算は、さまざまな辺を持つ長方形の面積として解釈できます。結果の範囲は、最小から最大までのすべての可能な面積をカバーします。

これらの定義の助けを借りれば、 、 などの単純な関数の範囲を計算することはすでに可能です。たとえば、の場合: ${\displaystyle f(a,b,x)=a\cdot x+b.}$${\displaystyle a=[1,2]}$${\displaystyle b=[5,7]}$${\displaystyle x=[2,3]}$

${\displaystyle f(a,b,x)=([1,2]\cdot [2,3])+[5,7]=[1\cdot 2,2\cdot 3]+[5,7]=[7,13].}$

間隔の表記を短縮するには、括弧を使用できます。

${\displaystyle [x]\equiv [x_{1},x_{2}]}$は区間を表すのに使用できます。このような簡潔な表記では、単一点区間と一般区間を混同しないように注意してください。すべての区間の集合については、次のように使用できます。 ${\displaystyle [x]}$${\displaystyle [x_{1},x_{1}]}$

${\displaystyle [\mathbb {R} ]:=\left\{\,[x_{1},x_{2}]\,|\,x_{1}\leq x_{2}{\text{ and }}x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}\right\}}$

省略形として。間隔のベクトルの場合は太字フォントを使用できます: 。 ${\displaystyle \left([x]_{1},\ldots ,[x]_{n}\right)\in [\mathbb {R} ]^{n}}$${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$

4 つの基本演算子を超える区間関数も定義できます。

1 つの変数の単調関数の場合、値の範囲は簡単に計算できます。 が区間内で単調に増加 (または減少) する場合、すべて に対して(または) となります。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle [x_{1},x_{2}],}$${\displaystyle y_{1},y_{2}\in [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle y_{1}<y_{2},}$ ${\displaystyle f(y_{1})\leq f(y_{2})}$${\displaystyle f(y_{2})\leq f(y_{1})}$

したがって、区間に対応する範囲は、関数をその端点に適用することによって計算できます。 ${\displaystyle [y_{1},y_{2}]\subseteq [x_{1},x_{2}]}$

${\displaystyle f([y_{1},y_{2}])=\left[\min \left\{f(y_{1}),f(y_{2})\right\},\max \left\{f(y_{1}),f(y_{2})\right\}\right].}$

これにより、区間関数の次の基本機能を簡単に定義できます。

• 指数関数：${\displaystyle a^{[x_{1},x_{2}]}=[a^{x_{1}},a^{x_{2}}]}$${\displaystyle a>1,}$
• 対数：正の区間と${\displaystyle \log _{a}[x_{1},x_{2}]=[\log _{a}{x_{1}},\log _{a}{x_{2}}]}$${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle a>1,}$
• 奇数の累乗: 、奇数${\displaystyle [x_{1},x_{2}]^{n}=[x_{1}^{n},x_{2}^{n}]}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

偶数乗の場合、考慮する値の範囲は重要であり、乗算を行う前に処理する必要があります。たとえば、 の場合、の区間が生成されますが、の区間乗算を繰り返すことによって が取られる と、結果は必要以上に広くなります。 ${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle x\in [-1,1]}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle n=2,4,6,\ldots .}$${\displaystyle [-1,1]^{n}}$${\displaystyle [-1,1]\cdot [-1,1]\cdot \cdots \cdot [-1,1]}$${\displaystyle [-1,1],}$

より一般的には、区分的単調関数については、区間の端点 、を、区間内のいわゆる臨界点、つまり関数の単調性が方向を変える点とともに考慮すれば十分であると言えます。正弦関数と余弦関数の場合、臨界点はそれぞれまたは です。したがって、区間に少なくとも 2 つの極値が含まれる場合、結果として得られる区間は となるため、区間内の最大 5 つの点のみを考慮する必要があります。正弦関数と余弦関数の場合、臨界点は簡単に事前に計算できる値、つまり -1、0、1 につながるため、完全な評価が必要なのは端点だけです。 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\pi }$${\displaystyle n\pi }$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle [-1,1]}$

一般的に、多くの関数の出力区間のこのような単純な記述を見つけることは容易ではないかもしれない。しかし、関数を区間演算に拡張することはまだ可能である。が実数ベクトルから実数への関数である場合、は区間拡張と呼ばれる。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle [f]:[\mathbb {R} ]^{n}\to [\mathbb {R} ]}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle [f]([\mathbf {x} ])\supseteq \{f(\mathbf {y} )\mid \mathbf {y} \in [\mathbf {x} ]\}.}$

この区間拡張の定義では、正確な結果は得られません。たとえば、 と はどちらも指数関数の許容される拡張です。計算の相対的なコストと不正確さを考慮する必要がありますが、より厳密な拡張が望ましいです。この場合、最も厳密な結果が得られる を選択する必要があります。 ${\displaystyle [f]([x_{1},x_{2}])=[e^{x_{1}},e^{x_{2}}]}$${\displaystyle [g]([x_{1},x_{2}])=[{-\infty },{\infty }]}$${\displaystyle [f]}$

実数式が与えられた場合、その自然な区間拡張は、その部分式、関数、および演算子のそれぞれの区間拡張を使用して実現されます。

テイラー区間拡張（次数）は、次のように定義される 回微分可能な関数である。${\displaystyle k}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle [f]([\mathbf {x} ]):=f(\mathbf {y} )+\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{i!}}\mathrm {D} ^{i}f(\mathbf {y} )\cdot ([\mathbf {x} ]-\mathbf {y} )^{i}+[r]([\mathbf {x} ],[\mathbf {x} ],\mathbf {y} ),}$

ある に対して、 は点 におけるの - 階微分であり、はテイラー剰余の区間拡張です。${\displaystyle \mathbf {y} \in [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle \mathrm {D} ^{i}f(\mathbf {y} )}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle [r]}$

${\displaystyle r(\mathbf {x} ,\xi ,\mathbf {y} )={\frac {1}{(k+1)!}}\mathrm {D} ^{k+1}f(\xi )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {y} )^{k+1}.}$

ベクトルはとの間にあり、によって保護されています。通常は、 を区間の中点として、自然区間拡張を使用して剰余を評価します。 ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle \mathbf {y} }$

次数のテイラー区間拡張の特殊なケースは平均値形式とも呼ばれます。 ${\displaystyle k=0}$

区間は、中心から指定された距離内にある点の集合として定義することができ、この定義は実数から複素数に拡張することができる。^[2]別の拡張では、区間は複素平面内の長方形として定義される。実数の計算の場合と同様に、複素数の計算には不確実なデータが含まれる。したがって、区間数は実数の閉区間であり、複素数は実数の順序付きペアであるという事実を考慮すると、区間演算の適用を実数の計算における不確実性の尺度に限定する理由はない。^[3]したがって、区間演算は、複素区間数を介して、複素数の計算における不確実性の領域を決定するように拡張することができる。複素区間演算は、長方形または円板を使用して定義することができ、それぞれに長所と短所がある。^[3]

実区間数（実閉区間）の基本的な代数演算は、複素数に拡張できます。したがって、複素区間演算が通常の複素演算と類似しているが同じではないことは驚くべきことではありません。^[3]実区間演算の場合と同様に、特定の特別な場合を除いて、複素区間数の加算と乗算の間には分配法則はなく、複素区間数には逆元が常に存在するわけではありません。^[3]通常の複素演算のその他の 2 つの有用な特性は、複素区間演算では成立しません。通常の複素共役の加法特性と乗法特性は、複素区間共役には成立しません。^[3]

区間演算は、同様の方法で、四元数や八元数などの他の多次元数体系に拡張することができますが、通常の演算の他の有用な特性を犠牲にする必要があります。^[3]

古典的な数値解析の方法は、数値間の依存関係が通常考慮されないため、区間値アルゴリズムに 1 対 1 で転送することはできません。

実際の実装で効果的に機能するには、区間が浮動小数点計算と互換性がある必要があります。以前の演算は正確な演算に基づいていましたが、一般に高速な数値解法は利用できない場合があります。 および の関数の値の範囲は、たとえば です。同じ計算を 1 桁の精度で行うと、結果は通常 になります。しかし であるため、このアプローチは区間演算の基本原理に反します。 のドメインの一部が失われるためです。代わりに、外向きに丸められた解が使用されます。 ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$${\displaystyle x\in [0.1,0.8]}$${\displaystyle y\in [0.06,0.08]}$${\displaystyle [0.16,0.88]}$${\displaystyle [0.2,0.9]}$${\displaystyle [0.2,0.9]\not \supseteq [0.16,0.88]}$${\displaystyle f([0.1,0.8],[0.06,0.08])}$${\displaystyle [0.1,0.9]}$

2 進浮動小数点演算の標準IEEE 754では、丸めの実装手順も規定されています。IEEE 754 準拠のシステムでは、プログラマーは最も近い浮動小数点数に丸めることができます。代替案としては、0 への丸め (切り捨て)、正の無限大への丸め (切り上げ)、負の無限大への丸め (切り下げ) があります。

区間演算に必要な外部丸めは、上限（上）と下限（下）の計算におけるプロセッサの丸め設定を変更することで実現できます。あるいは、適切な小さな区間を追加することもできます。 ${\displaystyle [\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}]}$

いわゆる「依存性」の問題は、区間演算の適用における大きな障害です。区間法は基本的な算術演算と関数の範囲を非常に正確に決定できますが、これはより複雑な関数では必ずしも当てはまりません。パラメータを使用した計算で区間が複数回発生し、各発生が独立して行われる場合、結果の区間が望ましくないほど拡大する可能性があります。

例として、次のように定義される関数を取ります。この関数の区間上の値は、自然な区間拡張として、次のように計算されます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+x.}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle \left[-{\tfrac {1}{4}},2\right].}$

${\displaystyle [-1,1]^{2}+[-1,1]=[0,1]+[-1,1]=[-1,2],}$

これはわずかに大きいです。代わりに、関数 の最小値と最大値を 上で計算しました。のより良い表現があり、 では変数が1 回だけ出現します。つまり、 を として書き直し、二次方程式で を 2 乗します。 ${\displaystyle h(x,y)=x^{2}+y}$${\displaystyle x,y\in [-1,1].}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+x}$

${\displaystyle f(x)=\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}.}$

したがって、適切な間隔の計算は

${\displaystyle \left([-1,1]+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}=\left[-{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\right]^{2}-{\frac {1}{4}}=\left[0,{\frac {9}{4}}\right]-{\frac {1}{4}}=\left[-{\frac {1}{4}},2\right]}$

正しい値を返します。

一般に、各変数が 1 回だけ出現し、ボックス内で連続している場合、正確な値の範囲を実現できることが示されます。ただし、すべての関数をこのように書き直すことができるわけではありません。 ${\displaystyle f}$

値の範囲を過大評価する問題の依存性は、大きな範囲をカバーすることになり、より有意義な結論を導き出すことを妨げる可能性があります。

範囲のさらなる増加は、区間ベクトルの形をとらない領域の解から生じます。線形システムの解集合

${\displaystyle {\begin{cases}x=p\\y=p\end{cases}}\qquad p\in [-1,1]}$

はまさに点と点を結ぶ線であり、区間法を使用すると単位正方形になります。これはラッピング効果として知られています。 ${\displaystyle (-1,-1)}$${\displaystyle (1,1).}$${\displaystyle [-1,1]\times [-1,1].}$

線形区間システムは、行列区間拡張と区間ベクトルで構成されます。と のペアが存在し、 を満たすすべてのベクトルに対して、 最小の直方体 を求めます。 ${\displaystyle [\mathbf {A} ]\in [\mathbb {R} ]^{n\times m}}$${\displaystyle [\mathbf {b} ]\in [\mathbb {R} ]^{n}}$${\displaystyle [\mathbf {x} ]\in [\mathbb {R} ]^{m}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle \mathbf {A} \in [\mathbf {A} ]}$${\displaystyle \mathbf {b} \in [\mathbf {b} ]}$

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {b} }$。

2 次方程式の場合、つまり の場合、すべての可能な解をカバーするような区間ベクトル が存在する可能性があり、これは区間ガウス法で簡単に見つけることができます。これは数値演算に代わるもので、ガウス消去法と呼ばれる線型代数法がその区間バージョンになります。ただし、この方法では計算で区間エンティティとを繰り返し使用するため、問題によっては結果が悪くなることがあります。したがって、区間値のガウスの結果を使用すると、最初の大まかな推定値しか得られません。これは、区間値ガウスには解の集合全体が含まれているものの、その外側にも大きな領域があるためです。 ${\displaystyle n=m}$${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle [\mathbf {A} ]}$${\displaystyle [\mathbf {b} ]}$

大まかな解は、ガウス・ザイデル法の区間バージョンによって改善されることが多い。その理由は、線形方程式の区間拡張の行が、 ${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{[a_{11}]}&\cdots &{[a_{1n}]}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{[a_{n1}]}&\cdots &{[a_{nn}]}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{x_{1}}\\\vdots \\{x_{n}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{[b_{1}]}\\\vdots \\{[b_{n}]}\end{pmatrix}}}$

除算が許可されている場合は、変数によって決定できます。したがって、同時に行われます。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle 1/[a_{ii}]}$

${\displaystyle x_{j}\in [x_{j}]}$そして。${\displaystyle x_{j}\in {\frac {[b_{i}]-\sum \limits _{k\not =j}[a_{ik}]\cdot [x_{k}]}{[a_{ii}]}}}$

それで、次のように 置き換えることができます。${\displaystyle [x_{j}]}$

${\displaystyle [x_{j}]\cap {\frac {[b_{i}]-\sum \limits _{k\not =j}[a_{ik}]\cdot [x_{k}]}{[a_{ii}]}}}$、

そして、ベクトルの各要素を掛け合わせます。この手順は対角優勢行列に対してより効率的なので、システムの代わりに、結果として得られる行列方程式を持つ適切な有理行列をそれに掛け合わせることを試みることもできます 。 ${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle [\mathbf {A} ]\cdot \mathbf {x} =[\mathbf {b} ]{\mbox{,}}}$${\displaystyle \mathbf {M} }$

${\displaystyle (\mathbf {M} \cdot [\mathbf {A} ])\cdot \mathbf {x} =\mathbf {M} \cdot [\mathbf {b} ]}$

解くべき残りの部分。例えば、中心行列 を選択した場合、 は単位行列の外側の拡張になります。 ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {A} ^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {A} \in [\mathbf {A} ]}$${\displaystyle \mathbf {M} \cdot [\mathbf {A} ]}$

これらの方法は、発生する区間の幅が十分に小さい場合にのみ有効です。より広い区間の場合、有限（ただし大きい）実数等価線形システムで区間線形システムを使用すると便利です。すべての行列が逆行列である場合、区間で発生するエンドポイントのすべての可能な組み合わせ（上限と下限）を考慮するだけで十分です。結果として生じる問題は、従来の数値手法を使用して解決できます。区間演算は、丸め誤差を決定するために引き続き使用されます。 ${\displaystyle \mathbf {A} \in [\mathbf {A} ]}$

これは、より小さな次元のシステムにのみ適しています。なぜなら、完全に占有された行列では、実数行列を反転して、右側にベクトルを配置する必要があるためです。このアプローチは、Jiri Rohn によって開発され、現在も開発中です。^[4]${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle 2^{n^{2}}}$${\displaystyle 2^{n}}$

区間ベクトルの零点を見つけるためのニュートン法の区間変形は平均値拡張から導出できる。^[5]に未知ベクトルを適用すると、次式が得られる。 ${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle \mathbf {z} \in [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle \mathbf {y} \in [\mathbf {x} ]}$

${\displaystyle f(\mathbf {z} )\in f(\mathbf {y} )+[J_{f}](\mathbf {[x]} )\cdot (\mathbf {z} -\mathbf {y} )}$。

がゼロの場合、つまり となり、したがって は満たさなければなりません。 ${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle f(z)=0}$

${\displaystyle f(\mathbf {y} )+[J_{f}](\mathbf {[x]} )\cdot (\mathbf {z} -\mathbf {y} )=0}$。

これは と同等です 。 の外部推定値は線形法を使用して決定できます。 ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbf {y} -[J_{f}](\mathbf {[x]} )^{-1}\cdot f(\mathbf {y} )}$${\displaystyle [J_{f}](\mathbf {[x]} )^{-1}\cdot f(\mathbf {y} ))}$

区間ニュートン法の各ステップでは、近似開始値が に置き換えられるため、結果を改善できます。従来の方法とは対照的に、区間法はゼロを含めることで結果に近づきます。これにより、結果が初期範囲のすべてのゼロを生成することが保証されます。逆に、ニュートンステップで空集合が生成される場合、 初期範囲に のゼロがなかったことが証明されます。${\displaystyle [\mathbf {x} ]\in [\mathbb {R} ]^{n}}$${\displaystyle [\mathbf {x} ]\cap \left(\mathbf {y} -[J_{f}](\mathbf {[x]} )^{-1}\cdot f(\mathbf {y} )\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$

この方法は、開始領域内のすべてのゼロに収束します。ゼロによる除算により、個別のゼロが分離される可能性がありますが、分離は完全ではない可能性があります。これは、二分法によって補完できます。

例として、関数、開始範囲、点 を考えます。このとき、 となり、最初のニュートンステップは となります。 ${\displaystyle f(x)=x^{2}-2}$${\displaystyle [x]=[-2,2]}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle J_{f}(x)=2\,x}$

${\displaystyle [-2,2]\cap \left(0-{\frac {1}{2\cdot [-2,2]}}(0-2)\right)=[-2,2]\cap {\Big (}[{-\infty },{-0.5}]\cup [{0.5},{\infty }]{\Big )}=[{-2},{-0.5}]\cup [{0.5},{2}]}$。

および では、さらにニュートンステップが別々に使用されます。これらは、 および の周りの任意の小さな間隔に収束します。 ${\displaystyle x\in [{-2},{-0.5}]}$${\displaystyle [{0.5},{2}]}$${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$${\displaystyle +{\sqrt {2}}}$

区間ニュートン法は、 などの 厚い関数でも使用できます。この場合、いずれにしても区間結果が返されます。その結果、 を含む区間が生成されます。 ${\displaystyle g(x)=x^{2}-[2,3]}$${\displaystyle \left[-{\sqrt {3}},-{\sqrt {2}}\right]\cup \left[{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right]}$

さまざまな間隔法では、異なる間隔拡張のサイズ間の依存関係が考慮されないため、控えめな結果が得られます。ただし、間隔が狭いほど依存関係の問題はそれほど重要ではなくなります。

区間ベクトルを小さなボックスで覆うと、 ${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle [\mathbf {x} _{1}],\ldots ,[\mathbf {x} _{k}],}$

${\displaystyle [\mathbf {x} ]=\bigcup _{i=1}^{k}[\mathbf {x} _{i}],}$

値の範囲に対して有効になります。

${\displaystyle f([\mathbf {x} ])=\bigcup _{i=1}^{k}f([\mathbf {x} _{i}]).}$

したがって、上記の間隔拡張については、次のことが当てはまります。

${\displaystyle [f]([\mathbf {x} ])\supseteq \bigcup _{i=1}^{k}[f]([\mathbf {x} _{i}]).}$

は右辺の 真のスーパーセットであることが多いため、これにより推定値が改善されることが多いです。${\displaystyle [f]([\mathbf {x} ])}$

このようなカバーは、区間ベクトルの太い要素を中央で 2 つの区間に分割する二分法によって生成できます。結果がまだ適切でない場合は、さらに段階的に細分化することができます。区間のカバーはベクトル要素の分割によって生成され、計算コストが大幅に増加します。 ${\displaystyle [x_{i1},x_{i2}]}$${\displaystyle [\mathbf {x} ]=([x_{11},x_{12}],\ldots ,[x_{n1},x_{n2}])}$${\displaystyle \left[x_{i1},{\tfrac {1}{2}}(x_{i1}+x_{i2})\right]}$${\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}(x_{i1}+x_{i2}),x_{i2}\right].}$${\displaystyle 2^{r}}$${\displaystyle r}$

非常に広い区間の場合、すべての区間を一定の（より狭い）幅を持ついくつかのサブ区間に分割すると便利です。この方法はミンシングと呼ばれます。これにより、中間の二分ステップの計算を回避できます。どちらの方法も、低次元の問題にのみ適しています。

区間演算は、正確な数値を持たない推定値を扱うために、様々な分野（集合反転、動作計画、集合推定、安定性解析など）で使用することができます。 ^[6]

区間演算は、各計算から生じる丸め誤差を制御するために、誤差分析で使用されます。区間演算の利点は、各演算の後に、真の結果を確実に含む区間が存在することです。区間境界間の距離によって、現在の丸め誤差の計算が直接得られます。

指定された間隔での誤差 = 。${\displaystyle \mathrm {abs} (a-b)}$${\displaystyle [a,b]}$

区間分析は、ピボットなどの従来の誤差低減手法を置き換えるのではなく、従来の手法に追加されます。

正確な数値を割り当てることができないパラメータは、技術的および物理的プロセスのシミュレーション中に頻繁に発生します。技術コンポーネントの製造プロセスでは一定の許容範囲が許容されるため、一部のパラメータは一定の範囲内で変動します。さらに、多くの基本定数は正確にはわかっていません。^[1]

許容誤差の影響を受けるこのようなシステムの動作が、たとえば、に対して を満たし、 が不明である場合、可能な解の集合は次のようになります。 ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} )=0}$${\displaystyle \mathbf {p} \in [\mathbf {p} ]}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \{\mathbf {x} \,|\,\exists \mathbf {p} \in [\mathbf {p} ],f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} )=0\}}$、

区間法によって見つけることができます。これは、従来の誤差伝播解析の代替手段となります。モンテカルロシミュレーションなどのポイント法とは異なり、区間演算法では、解領域のどの部分も見落とされないことが保証されます。ただし、他の確率ベースの分布は考慮されないため、結果は常に誤差の分布に関する最悪のケースの解析になります。

区間演算は、ファジー論理で使用されるファジー量の所属関数でも使用できます。厳密なステートメントととは別に、実数が割り当てられる中間値も可能です。は明確なメンバーシップに対応し、は非メンバーシップに対応します。分布関数は不確実性を割り当てますが、これはさらなる区間として理解できます。 ${\displaystyle x\in [x]}$${\displaystyle x\not \in [x]}$${\displaystyle \mu \in [0,1]}$${\displaystyle \mu =1}$${\displaystyle \mu =0}$

ファジィ演算^[7]では、有限個の離散的な所属段階のみが考慮される。不明瞭な値に対するそのような分布の形は、一連の区間によって表すことができる。 ${\displaystyle \mu _{i}\in [0,1]}$

${\displaystyle \left[x^{(1)}\right]\supset \left[x^{(2)}\right]\supset \cdots \supset \left[x^{(k)}\right].}$

間隔はステージの変動範囲と正確に一致する${\displaystyle \left[x^{(i)}\right]}$${\displaystyle \mu _{i}.}$

不明瞭な値とそれに対応するシーケンス に関する関数の適切な分布。${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle \left[x_{1}^{(1)}\right]\supset \cdots \supset \left[x_{1}^{(k)}\right],\ldots ,\left[x_{n}^{(1)}\right]\supset \cdots \supset \left[x_{n}^{(k)}\right]}$

シーケンスによって近似できます。

${\displaystyle \left[y^{(1)}\right]\supset \cdots \supset \left[y^{(k)}\right],}$

どこ

${\displaystyle \left[y^{(i)}\right]=f\left(\left[x_{1}^{(i)}\right],\ldots \left[x_{n}^{(i)}\right]\right)}$

区間法で計算できます。値は区間計算の結果に対応します。 ${\displaystyle \left[y^{(1)}\right]}$

ワーウィック・タッカーは区間演算を用いてスメールの問題の14番目を解き、ローレンツ・アトラクターがストレンジ・アトラクターであることを証明した。^[8] トーマス・ヘイルズは区間演算を用いてケプラー予想を解いた。

区間演算は数学においてまったく新しい現象ではありません。歴史の過程で、さまざまな名前で何度か登場しています。たとえば、アルキメデスは紀元前 3 世紀に下限と上限の 223/71 < π < 22/7 を計算しました。区間を使った実際の計算は、他の数値計算手法ほど普及していませんが、完全に忘れ去られたわけでもありません。

実数の区間やその他の部分集合を使った計算規則は、1931年にロザリンド・シセリー・ヤングの著書で発表された。^[9]デジタルシステムの信頼性を向上させるための数値範囲に関する算術的研究は、1951年にポール・S・ドワイヤーの線形代数の教科書で発表された 。 [ ^10]区間は、浮動小数点数に関連する丸め誤差を測定するために使用された。数値解析における区間代数に関する包括的な論文は、須永輝夫（1958年）によって発表された。^[11]

現代の区間演算の誕生は、1966年にラモン・E・ムーアが『区間解析』という本を出版したことで始まりました。 ^{[12] [13]}彼は1958年の春にこのアイデアを思いつき、1年後にコンピュータ区間演算に関する論文を発表しました。^[14]その利点は、単純な原理から始めて、丸めによって生じる誤差だけでなく、自動誤差解析の一般的な方法を提供したことです。

1956年にミェチスワフ・ヴァルムスは独立して区間計算の公式を提案したが^[15]、ムーアが初めて非自明な応用を発見した。

その後の20年間、カールスルーエ大学で、そして後にはベルギッシェ・ヴッパータール大学でも、ドイツの研究者グループがウルリッヒ・W・クリッシュ^{[16] [17]}とゲッツ・アレフェルト [de] ^[18]を中心に先駆的な研究を行った。例えば、カール・ニッケル [de]はより効果的な実装を研究し、連立方程式の解集合の包含手順の改善はアーノルド・ノイマイヤーらによるものであった。1960年代には、エルドン・R・ハンセンが線形方程式の区間拡張を扱い、現在ではハンセン法として知られる区間アルゴリズムを含む大域最適化に極めて重要な貢献をした。^[5]この古典的な方法では、最大（または最小）の大域値を決定する問題がしばしばあるが、局所最適値しか見つけられず、より良い値を見つけることができなかった。ヘルムート・ラチェクとジョン・ジョージ・ロクネは、それまで整数値にのみ適用されていた 分岐限定法を、区間を使用して連続値に適用できるように開発しました。

1988年、ルドルフ・ローナーは常微分方程式を用いた初期値問題の信頼性の高い解を求めるFortranベースのソフトウェアを開発した。^[19]

1990年代から発行されている雑誌「Reliable Computing」（元はInterval Computations）は、コンピュータ支援計算の信頼性に特化した雑誌です。主任編集者であるR. Baker Kearfottは、グローバル最適化に関する研究に加え、区間演算で使用される表記法と用語の統一に大きく貢献しました。^[20]

近年では、フランスのソフィア・アンティポリスにあるINRIAのCOPRINワーキンググループによって、特にパラメータ化された関数の原像の推定とロバスト制御理論に研究が集中している。^[21]

区間演算を用いた数値アプリケーションの開発を可能にするソフトウェアパッケージは数多く存在する。^{[22]これらは通常、プログラムライブラリの形で提供される。また、区間データ型と適切な演算を言語拡張として処理する}C++およびFortranコンパイラもあり、区間演算が直接サポートされる。

1967年以来、カールスルーエ大学でC++、Fortran、 Pascalなどさまざまなプログラミング言語向けの科学計算用拡張機能（XSC）が開発されてきました。^[23]最初のプラットフォームはZuse Z23で、適切な基本演算子を備えた新しい区間データ型が利用可能になりました。 1976年には、Zilog Z80上のPascalバリアントであるPascal-SCが登場し、これにより、自動化された結果検証用の高速で複雑なルーチンの作成が可能になりました。 その後、System/370アーキテクチャ用のFortran 77ベースのACRITH-XSC （FORTRAN-SC）が登場し、後にIBMによって提供されました。 1991年からは、Pascal-XSCを使用してCコンパイラ用のコードを作成できるようになりました。 1年後には、C++クラスライブラリがさまざまなコンピュータシステムでC-XSCをサポートしました。 1997年には、すべてのXSCバリアントがGNU General Public Licenseの下で利用可能になりました。 2000 年の初めに、改良された C++ 標準に対応するために、 ベルギッシェ・ブッパータール大学の科学計算ワーキング グループのリーダーシップの下で C-XSC 2.0 がリリースされました。

1993 年にハンブルク工科大学で、 Profil/BIAS (Programmer's Runtime Optimized Fast Interval Library, Basic Interval Arithmetic)と呼ばれる別の C++ クラス ライブラリが作成されました。このライブラリは、通常の区間演算をよりユーザーフレンドリなものにしました。このライブラリは、ハードウェアの効率的な使用、移植性、および区間の特定の表現の独立性を重視しました。

BoostのC++ライブラリコレクションには、区間のテンプレートクラスが含まれています。その作者は、区間演算を標準C++言語で実現することを目指しています。^[24]

Frinkプログラミング言語には、任意精度の数値を処理する区間演算の実装があります。Frink で書かれたプログラムは、書き直しや再コンパイルなしで区間を使用できます。

GAOL ^{[25]は、区間}制約プログラミングで使用される関係区間演算子を提供するという点でユニークな、もう1つのC++区間演算ライブラリです。

ムーアライブラリ^[26]はC++での区間演算の効率的な実装である。任意の精度の端点を持つ区間を提供し、C++のコンセプト機能に基づいている。

Juliaプログラミング言語[ ^27]には、ValidatedNumerics.jlパッケージを介して、区間演算の実装に加えて、ルート探索（実数値関数と複素数値関数の両方）や区間制約プログラミングなどの高レベル機能が備わっています。^[28]

さらに、Euler Mathematical Toolbox、FriCAS、Maple、Mathematica、Maxima ^[29]、MuPADなどのコンピュータ代数システムも区間を扱うことができます。Matlab拡張機能Intlab ^[30]はBLASルーチンに基づいており、ツールボックスb4mはProfil/BIASインターフェースを作成します。^[30] [ ^31]

関数型言語OCamlのライブラリはアセンブリ言語とCで書かれました。^[32]

区間演算の標準規格IEEE Std 1788-2015は、2015年6月に承認されました。^[33] 2つのリファレンス実装が無料で利用可能です。^[34]これらは、標準のワーキンググループのメンバーによって開発されました。C++用のlibieeep1788 ^{[35]ライブラリと、} GNU Octave用のintervalパッケージ^[36]です。

標準規格の最小限のサブセットであるIEEE Std 1788.1-2017は、2017年12月に承認され、2018年2月に公開されました。これにより実装が容易になり、実装の生産がスピードアップする可能性があります。^[37]

毎年、世界中でいくつかの国際会議やワークショップが開催されています。主な会議はおそらく SCAN (International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetic, and Verified Numerical Computation) ですが、SWIM (Small Workshop on Interval Methods)、PPAM (International Conference on Parallel Processing and Applied Mathematics)、REC (International Workshop on Reliable Engineering Computing) もあります。

• アフィン演算
• INTLAB（インターバルラボ）
• 自動微分
• マルチグリッド法
• モンテカルロシミュレーション
• 区間有限要素
• ファジー数
• 重要な数字
• カールスルーエの正確な算数(KAA)
• ウナム

• ヘイズ、ブライアン ( 2003年 11 月 - 12 月)。「明晰な間隔」(PDF)。アメリカン サイエンティスト。91 (6)。シグマ Xi: 484 - 488。doi : 10.1511/2003.6.484。
• タッカー、ワーウィック（2011）。検証済み数値：厳密な計算への短い入門。プリンストン大学出版。ISBN 978-1400838974。
• ヴィッパーマン、ハンス=ヴィルム (1968) [1967-06-15、1966]。 「Triplex-ALGOL におけるシュランケンツァーレンの定義」。コンピューティング(ドイツ語)。３（２）。カールスルーエ、ドイツ：シュプリンガー：99–109。土井：10.1007/BF02277452。ISSN  0010-485X。S2CID  36685400。(11 ページ) (注: Triplex-ALGOL Karlsruheについて。これは、三重化数をサポートする ALGOL 60 (1963) 実装です。)

• 区間演算 (Wolfram Mathworld)
• 歩行者向けの検証済み数値
• ウィーン大学のアーノルド・ノイマイヤーによる区間法
• SWIM（インターバル法に関する夏季ワークショップ）
• 並列処理と応用数学に関する国際会議
• INTLAB、信頼性コンピューティング研究所、Wayback Machineに 2020-01-30 にアーカイブ、ハンブルク工科大学
• Joris van der Hoeven によるボール算術
• kv - 検証済み数値計算用の C++ ライブラリ
  • GitHubの kv
• Arb - 任意精度のボール演算用の C ライブラリ
  • GitHubの arb
• GitHubの JuliaIntervals