スピングループ

数学においてスピン群（スピンぐん、英: spin group ）は、Spin( n )と表記され、^{[1] [2] 、}その基礎となる多様体が特殊直交群SO( n ) = SO( n , R )の二重被覆であるリー群であり、リー群の短い完全列が存在する（ n ≠ 2 のとき）

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1.}$

二重被覆上の群乗法則は、上の乗法を持ち上げることによって与えられます。 ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

リー群として、スピン( n )は次元を共有する。⁠ｎ（ｎ −１）/2⁠、および特殊直交群を含む そのリー代数。

n > 2の場合、 Spin( n ) は単連結であり、 SO( n )の普遍被覆と一致します。

カーネルの非自明な要素は−1 で表されますが、これは一般に − Iで表わされる原点を通る反射の直交変換と混同しないでください。

Spin( n )はクリフォード代数Cl( n )の可逆要素の部分群として構成できる。スピン表現については別の記事で議論されている。

スピン群は物理学において、（電気的に中性で電荷を持たない）フェルミオンの対称性を記述するために使用される。その複素化 Spinc は、電荷を持つフェルミオン、特に電子を記述するために使用される。厳密に言えば、スピン群は 0 次元空間内のフェルミオンを記述する。しかし、空間は 0 次元ではないため、スピン群は（擬）リーマン多様体上のスピン構造を定義するために使用される。スピン群は、スピノル束の構造群である。スピノル束上のアフィン接続はスピン接続である。スピン接続により、一般相対性理論の計算を簡略化できる。スピン接続により、ディラック方程式を曲がった時空（実質的にはテトラッド座標）で記述できるようになり、量子重力の基礎と、ホーキング放射の形式化（一対のもつれた仮想フェルミオンの一方が事象の地平線を越​​えて落ち、もう一方は越えない）が可能になる。

スピン群の構成は、しばしば、定積二次形式qを持つ実ベクトル空間V上のクリフォード代数の構成から始まる。^[3]クリフォード代数は、テンソル代数 T V を両側イデアルで割ったものである。テンソル代数（実数上）は次のように書ける。

${\displaystyle \mathrm {T} V=\mathbb {R} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus \cdots }$

クリフォード代数Cl( V )は商代数である。

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\mathrm {T} V/\left(v\otimes v-q(v)\right),}$

ここで、はベクトルに適用された二次形式である。結果として得られる空間は有限次元で、自然に次数付けされ（ベクトル空間として）、次のように記述できる。 ${\displaystyle q(v)}$${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{1}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Cl} ^{n}}$

ここで はの次元であり、である。スピン代数は次のように定義される 。${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{0}=\mathbf {R} }$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{1}=V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {spin}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{2}={\mathfrak {spin}}(V)={\mathfrak {spin}}(n),}$

ここで最後のは、 V が実次元nの実ベクトル空間であることの省略形です。これはリー代数であり、 Vに対して自然な作用を持ち、このようにして特殊直交群のリー代数と同型であることが示されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

ピン群 は、形式 ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k},}$

それぞれは単位長さです。${\displaystyle v_{i}\in V}$${\displaystyle q(v_{i})=1.}$

スピン群は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)=\operatorname {Pin} (V)\cap \operatorname {Cl} ^{\text{even}},}$

ここで、は 偶数個のベクトルの積である要素によって生成される部分空間です。つまり、Spin( V ) は、 k が偶数であるという制限を伴い、上記で与えられたPin( V )のすべての要素で構成されます。偶数部分空間への制限は、以下で構築される 2 成分 (ワイル) スピノルの形成の鍵となります。 ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\text{even}}=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \operatorname {Cl} ^{4}\oplus \cdots }$

集合が（実）ベクトル空間Vの正規直交基底である場合、上の商は空間に自然な反可換構造を与えます。 ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$のために${\displaystyle i\neq j,}$

これは、について考えることによって成り立ちます。この反交換性は、フェルミオンに対するパウリの排他原理の精神を捉えているため、物理学において重要であることがわかります。正確な定式化はここでは範囲外ですが、ミンコフスキー時空上のスピノル束の作成を伴います。結果として生じるスピノル場は、クリフォード代数構成の副産物として反交換性であると見ることができます。この反交換特性は、超対称性の定式化の鍵でもあります。クリフォード代数とスピン群には、興味深く興味深い特性が多数あり、そのいくつかを以下に挙げます。 ${\displaystyle v\otimes v}$${\displaystyle v=e_{i}+e_{j}}$

スピン群は、クリフォード代数に頼らずに、それほど明示的には構成できません。多様体として、は の二重被覆です。その乗法則は、次のように持ち上げることで定義できます。被覆写像を と呼びます。次に、は2 つの要素を持つセットであり、一般性を失うことなく 1 つを選択して恒等元にすることができます。これを と呼びます。次に、 での乗法を定義するために、について、 、および を満たす経路を選択します。これらは、を満たすように定義されたでの経路を定義します。 は二重被覆であるため、でのの持ち上げが一意に存在します。次に、積を として定義します。 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle p:\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle p^{-1}(\{e\})}$${\displaystyle {\tilde {e}}}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle a,b\in \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle \gamma _{a},\gamma _{b}}$${\displaystyle \gamma _{a}(0)=\gamma _{b}(0)={\tilde {e}}}$${\displaystyle \gamma _{a}(1)=a,\gamma _{b}(1)=b}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \gamma (t)=p(\gamma _{a}(t))\cdot p(\gamma _{b}(t))}$${\displaystyle \gamma (0)=e}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {e}}}$${\displaystyle a\cdot b={\tilde {\gamma }}(1)}$

すると、この定義は経路とは独立であり、乗算は連続的であり、反転が連続することで群の公理が満たされ、リー群が 形成されることが示されます。${\displaystyle \gamma _{a},\gamma _{b}}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$

二次空間Vに対して、スピン ( V ) による SO( V )の二重被覆は、次のように明示的に与えられる。をVの正規直交基底とする。反自己同型を次のように 定義する。${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle t:\operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle \left(e_{i}e_{j}\cdots e_{k}\right)^{t}=e_{k}\cdots e_{j}e_{i}.}$

これは線形性によって のすべての元に拡張できる。これは逆準同型である。 ${\displaystyle a,b\in \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle (ab)^{t}=b^{t}a^{t}.}$

は、すべての要素として定義できることに注目してください。 ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$${\displaystyle a\in \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle aa^{t}=1.}$

ここで、 1次元における 自己同型性を定義すると、${\displaystyle \alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle \alpha (v)=-v,\quad v\in V,}$

を と表記し、これは の反自己同型である。この表記法を用いると、明示的な二重被覆は次式で与えられる 準同型となる。${\displaystyle a^{*}}$${\displaystyle \alpha (a)^{t}}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$${\displaystyle \rho :\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)}$

${\displaystyle \rho (a)v=ava^{*},}$

ここで です。が 1 次 (つまり) のとき、は に直交する超平面を横切る鏡映です。これはクリフォード代数の反可換性からわかります。 ${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\in V}$${\displaystyle \rho (a)}$${\displaystyle a}$

これは、 と同じ変換を与えるため、によると によるの両方の二重被覆を与えます。 ${\displaystyle \operatorname {O} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$

この形式を前提として、スピノル空間とワイルスピノルがどのように構築されるかを確認することは価値があります。次元n = 2 m偶数の実ベクトル空間Vが与えられた場合、その複素化は です。これは、スピノルの部分空間と反スピノルの 部分空間の直和として表すことができます。${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle {\overline {W}}}$

${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

空間は のスピノルによって張られ 、複素共役スピノルは を張る。スピノルが反交換すること、およびスピノルと反スピノルの積がスカラーであることは簡単にわかる。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle \eta _{k}=\left(e_{2k-1}-ie_{2k}\right)/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1\leq k\leq m}$${\displaystyle {\overline {W}}}$

スピノル空間は外積代数 として定義される。（複素化された）クリフォード代数はこの空間に自然に作用する。（複素化された）スピン群は長さ保存自己準同型に対応する。外積代数には自然な次数付けがある。 の奇数個のコピーの積は物理学の概念であるフェルミオン に対応し、偶数部分空間はボソン に対応する。スピン群のスピノル空間への作用の表現は比較的簡単に構築できる。^[3]${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$${\displaystyle W}$

スピン^Cグループは、正確な配列によって定義される。

${\displaystyle 1\to \mathrm {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

これはクリフォード代数の複素化 の乗法部分群であり、具体的にはスピン( V )とCの単位円によって生成される部分群である。あるいは商 ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C} }$

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(V)=\left(\operatorname {Spin} (V)\times S^{1}\right)/\sim }$

ここで同値性は( a , u )と(− a , − u )を同一視する。 ${\displaystyle \sim }$

これは4次元多様体理論とザイバーグ・ウィッテン理論において重要な応用がある。物理学では、スピン群は電荷を持たないフェルミオンを記述するのに適しており、スピン^C群は電荷を持つフェルミオンを記述するために使用される。この場合、U(1)対称性は特に電磁気学のゲージ群である。

低次元では、例外同型と呼ばれる古典リー群間の同型が存在する。例えば、異なる単純リー代数の族のルートシステム（および対応するディンキン図の同型）間の低次元同型により、低次元スピン群と特定の古典リー群の間に同型が存在する。実数をR 、複素数をC 、四元数をHと書き、Cl( n )はCl( R ⁿ )の省略形であり、Spin( n )はSpin( R ⁿ )の省略形であるという一般的な理解から、次の式が得られる。^[3]

Cl^偶数(1) = R実数

ピン(1) = {+i, −i, +1, −1}

Spin(1) = O(1) = {+1, −1} ゼロ次元の直交群。

--

Cl^偶数(2) = C複素数

Spin(2) = U(1) = SO(2)であり、これはR ²のzに対して二重位相回転z ↦ u ² zによって作用する。アーベル関数に対応する。dim = 1${\displaystyle D_{1}}$

--

Cl^偶数(3) = H四元数

Spin(3) = Sp(1) = SU(2)であり、dim = 3 に対応する。${\displaystyle B_{1}\cong C_{1}\cong A_{1}}$

--

Cl^偶数(4) = H ⊕ H

スピン(4) = SU(2) × SU(2)、dim = 6に対応${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$

--

Cl ^even (5)= M(2, H ) 四元数係数を持つ2行2列の行列

Spin(5) = Sp(2)、dim = 10 に対応する。${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$

--

Cl ^even (6)= M(4, C ) 複素係数を持つ4行4列の行列

Spin(6) = SU(4) 、 dim = 15に対応${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$

n = 7, 8の場合、これらの同型の痕跡がいくつか残っている(詳細についてはSpin(8)を参照) 。nがさらに高くなると、これらの同型は完全に消える。

不定シグネチャでは、スピン群Spin( p , q )は、標準的なスピン群と同様の方法でクリフォード代数を通じて構築されます。これは、不定直交群SO( p , q )の恒等式の連結成分であるSO ₀ ( p , q )の二重被覆です。p + q > 2の場合、Spin( p , q )は連結です。( p , q ) = (1, 1)の場合、 2つの連結成分があります。^{[4] : 193}定シグネチャと同様に、低次元では偶然の同型がいくつかあります。

スピン(1, 1) = GL(1, R )

スピン(2, 1) = SL(2, R )

スピン(3, 1) = SL(2, C )

スピン(2, 2) = SL(2, R ) × SL(2, R )

スピン(4, 1) = Sp(1, 1)

スピン(3, 2) = Sp(4, R )

スピン(5, 1) = SL(2, H )

スピン(4, 2) = SU(2, 2)

スピン(3, 3) = SL(4, R )

スピン(6, 2) = SU(2, 2, H )

Spin( p , q ) = Spin( q , p )であることに注意してください。

連結リー群と単純連結リー群は、そのリー代数によって分類される。したがって、G が単純リー代数を持つ連結リー群で、G ′がGの普遍被覆である場合、包含が存在する。

${\displaystyle \pi _{1}(G)\subset \operatorname {Z} (G'),}$

Z( G ′)はG ′の中心です。この包含とGのリー代数はG を完全に決定します(と π ₁ ( G ) がG を完全に決定するわけではないことに注意してください。たとえば、 SL(2, R ) と PSL(2, R ) は同じリー代数と同じ基本群Zを持ちますが、同型ではありません)。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

確定シグネチャSpin( n )はすべてn >2に対して単連結なので、SO( n ) の普遍被覆となる。

不定符号では、Spin( p , q ) は必ずしも連結されているわけではなく、一般に恒等成分であるSpin ₀ ( p , q ) は単連結ではないため、普遍被覆ではありません。基本群は、 SO( p , q )の最大コンパクト部分群(SO( p ) × SO( q ) ) を考え、2 重被覆の積 (したがって 4 重被覆) ではなく、Spin( p , q ) が「対角」2 重被覆 (つまり 4 重被覆の 2 重商) であることに注目すると、最も簡単に理解できます。明示的に、Spin( p , q ) の最大コンパクト連結部分群は、

スピン( p )×スピン( q )/{(1,1),(−1,−1)}。

これにより、 p ≥ qをとってSO( p , q )の基本群を計算することができます。

${\displaystyle \pi _{1}({\mbox{SO}}(p,q))={\begin{cases}0&(p,q)=(1,1){\mbox{ or }}(1,0)\\\mathbb {Z} _{2}&p>2,q=0,1\\\mathbb {Z} &(p,q)=(2,0){\mbox{ or }}(2,1)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &(p,q)=(2,2)\\\mathbb {Z} &p>2,q=2\\\mathbb {Z} _{2}&p,q>2\\\end{cases}}}$

したがって、 p , q > 2のとき、基本群は Z ₂です。これは、2 つの普遍被覆の積の 2 倍商であるためです。

基本群上の写像は次のように与えられる。p、q > 2の場合、写像π ₁ (Spin( p、q )) → π ₁ (SO( p、q ))は、 1 ∈ Z ₂から(1, 1) ∈ Z ₂ × Z ₂へ移ることで与えられる。p = 2、q > 2の場合、この写像は1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z ₂で与えられる。そして最後に、p = q = 2の場合、(1, 0) ∈ Z × Zは(1,1) ∈ Z × Zへ移され、(0, 1)は(1, −1)へ移される。

基本群は、ホモトピー理論の結果を使用してより直接的に導くことができます。特に、最小の 3 つの基底多様体にはよく知られた次の多様体があるため、について見つけることができます。は点多様体、、および(軸-角度表現を使用して表示)。 ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))}$${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))}$${\displaystyle n>3}$${\displaystyle SO(1)}$${\displaystyle SO(2)\cong S^{1}}$${\displaystyle SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3}}$

証明には代数位相幾何学における既知の結果が用いられる。^[5]

同じ議論は、が二層双曲面の上層シート であり、 が収縮可能であり、 が真ローレンツ群（真正直交ローレンツ群）の恒等成分であるようなファイバリングを考えることによって、 を示すのにも使用できます。 ${\displaystyle \pi ({\text{SO}}(1,n)^{\uparrow })\cong \pi ({\text{SO}}(n))}$$${\displaystyle {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }\rightarrow H^{n},}$$${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }}$

n ≥ 3 のスピン群の中心（複素数と実数）は次のように与えられる：^{[4] : 208}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n,\mathbf {C} ))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&n=2k+1\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k\\\end{cases}}\\\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&p{\text{ or }}q{\text{ odd}}\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

商群は、スピン群を中心の部分群で割ることによって得ることができ、スピン群は結果として得られる商の被覆群となり、両方の群は同じリー代数を持ちます。

中心全体で割ると、そのような最小の群、つまり中心のない射影特殊直交群が得られる。一方、{±1}で割ると特殊直交群が得られる。中心が{±1}に等しい場合（つまり奇数次元の場合）、これら2つの商群は一致する。スピン群が単連結である場合（n > 2の場合のSpin( n )のように）、Spinはシーケンス内の最大群であり、3つのグループのシーケンスが得られる。

スピン( n ) → SO( n ) → PSO( n )、

パリティによる分割は次のようになります。

スピン(2 n ) → SO(2 n ) → PSO(2 n )、

スピン(2 n +1) → SO(2 n +1) = PSO(2 n +1)、

これらはコンパクトリー代数の３つのコンパクト実形式（ SO = PSOの場合は２つ）である。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).}$

被覆と商のホモトピー群は、離散ファイバー（ファイバーは核）を持つファイバー化の長い正確な列によって関連付けられます。したがって、k > 1 のすべてのホモトピー群は等しいですが、π ₀と π _{1 は}異なる場合があります。

n > 2の場合、Spin( n ) は単連結( π ₀ = π ₁ = Z ₁は自明) なので、SO( n ) は連結され、基本群 Z ₂を持ち、PSO( n ) は連結され、基本群は Spin( n )の中心に等しくなります。

不定符号では被覆とホモトピー群はより複雑です。Spin( p , q ) は単連結ではなく、商は連結成分にも影響します。最大（連結）コンパクトSO( p ) × SO( q ) ⊂ SO( p , q )とSpin( p , q )の成分群を考慮すると、解析はより簡単になります。

スピン群は、直交群によって固定されたホワイトヘッドタワーに現れます。

${\displaystyle \ldots \rightarrow {\text{Fivebrane}}(n)\rightarrow {\text{String}}(n)\rightarrow {\text{Spin}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{O}}(n)}$

塔は、増加する順序のホモトピー群を連続的に除去（削除）することによって得られます。これは、削除するホモトピー群のEilenberg–MacLane 空間から始まる短い正確なシーケンスを構築することによって行われます。Spin ( n ) のπ ₃ホモトピー群を削除すると、無限次元の弦群String( n ) が得られます。

スピン群の離散部分群は、特殊直交群（回転点群）の離散部分群と関連付けることで理解できます。

二重被覆Spin( n ) → SO( n )が与えられれば、格子定理により、 Spin( n ) のサブグループと SO( n ) のサブグループ (回転点群) の間にはガロア接続が存在します。つまり、 Spin( n )のサブグループの像は回転点群であり、点群の逆像は Spin( n )のサブグループであり、Spin( n ) のサブグループの閉包演算子は {±1} による乗算です。これらは「バイナリ点群」と呼ばれることがあります。最もよく知られているのは、バイナリ多面体群として知られる 3 次元の場合です。

具体的には、すべての二元点群は、点群の逆像（したがって、点群Gに対して 2 Gと表記される）であるか、点群に（同型に）写像する点群の逆像の指数 2 の部分群であるかのいずれかである。後者の場合、完全な二元群は抽象的である（{±1} が中心であるため）。後者の例として、SO( n ) の奇数次巡回群が与えられた場合、その逆像は 2 倍の次数の巡回群であり、部分群Z _{2 k +1} < Spin( n ) はZ _{2 k +1} < SO( n )に同型に写像する。 ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times G}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2k+1}}$${\displaystyle \mathrm {C} _{4k+2}\cong \mathrm {Z} _{2k+1}\times \mathrm {Z} _{2},}$

特に注目すべきは次の 2 つのシリーズです。

• 高次の二元四面体群は、 n単体の対称性の2重被覆に対応する。この群は、対称群2⋅A _n → A _nの二重被覆とも考えられ、交代群はn単体の（回転）対称群である。
• 高次の二元八面体群。これは超八面体群の2重被覆（超立方体、またはその双対である交差多面体の対称性）に対応します。

向きが反転する点群の場合、ピン群が2 つ存在するため、状況はさらに複雑になり、特定の点群に対応するバイナリ群も 2 つ存在することになります。

• ピン群Pin( n ) –直交群の二重被覆、O( n )
• メタプレクティック群Mp(2 n ) –シンプレクティック群の二重被覆、Sp(2 n )
• 文字列グループString(n) – ホワイトヘッドタワーの次のグループ

• スピングループの基本的な次元はOEIS :A280191 です。
• グロタンディークの「ねじれ指数」は OEIS:A096336 です。

• カロウビ、マックス (2008). K-理論. シュプリンガー. pp. 210–214. ISBN 978-3-540-79889-7。