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数学において、移動フレームは座標フレーム（原点と組み合わせたベクトル空間の順序付き基底）の概念を柔軟に一般化したものであり、均質空間に埋め込まれた滑らかな多様体の外在微分幾何学を研究するためによく用いられる。
平易な言葉で言えば、基準系とは、観測者が座標を与えることで周囲の空間を測定するために使用する測定棒のシステムのことです。移動系とは、観測者とともに軌道（曲線）に沿って移動する基準系のことです。この単純な例では、移動系の方法は、観測者の運動学的特性から「好ましい」移動系を生成しようとします。幾何学的な設定では、この問題は19世紀半ばにジャン・フレデリック・フレネとジョセフ・アルフレッド・セレによって解決されました。[ 1 ] フレネ・セレ系は、曲線の速度と加速度のみから構築できる曲線上に定義された移動系です。 [ 2 ]
フレネ・セレのフレームは、曲線の微分幾何学において重要な役割を果たし、最終的にはユークリッド空間における滑らかな曲線の合同までほぼ完全な分類につながります。[ 3 ]フレネ・セレの公式は、フレームを微分することによって得られるねじれと曲率という、曲線上に定義される一対の関数が存在し、フレームが曲線に沿って時間とともにどのように変化するかを完全に記述することを示しています。一般的な方法の重要な特徴は、好ましい移動フレームが見つかれば、曲線の完全な運動学的記述が得られることです。
19世紀後半、ガストン・ダルブーは、曲線ではなくユークリッド空間の曲面上に好ましい移動フレーム、ダルブーフレーム（当時はトリエードル・モビールと呼ばれていた）を構築する問題を研究した。一般にそのようなフレームを構築することは不可能であり、まず満たさなければならない積分可能性条件があることが判明した。 [ 1 ]
その後、移動フレームは、エリー・カルタンらによって、より一般的な均質空間（射影空間など）の部分多様体の研究において広く発展しました。この設定では、フレームはベクトル空間の基底という幾何学的概念を他の種類の幾何学的空間（クライン幾何学）に持ち越します。フレームの例としては、次のものがあります。[ 3 ]
これらの例のそれぞれにおいて、すべてのフレームの集合はある意味で均質です。例えば、線形フレームの場合、任意の2つのフレームは一般線形群の要素によって関連付けられます。射影フレームは射影線形群によって関連付けられます。このフレームのクラスの均質性、すなわち対称性は、線形、アフィン、ユークリッド、または射影的な風景の幾何学的特徴を捉えています。このような状況における移動フレームとは、まさにその名の通り、点ごとに変化するフレームのことです。
形式的には、同次空間G / H上のフレームは、トートロジー束G → G / H内の点から構成される。移動フレームはこの束の切断である。基点が変化すると、ファイバー内のフレームが対称群Gの要素によって変化するという意味で、移動している。G / Hの部分多様体M上の移動フレームは、トートロジー束のMへの引き戻しの切断である。本質的に[ 5 ]移動フレームは、多様体上の主束P上に定義できる。この場合、移動フレームはGと同変な写像 φ : P → Gによって与えられ、リー群Gの要素によって多様体をフレーム化する。
フレームの概念をより一般的なケースに拡張することができる。すなわち、ファイバー束を滑らかな多様体に「はんだ付け」することで、ファイバーが接線であるかのように振る舞うようにすることができる。ファイバー束が均質空間である場合、これは上述のフレーム場に帰着する。均質空間が特殊直交群の商空間である場合、これは四脚の標準的な概念に帰着する。
外在的移動フレームと内在的移動フレームの間には形式的に大きな違いがあるものの、移動フレームは常にGへの写像によって与えられるという意味では、両者は類似している。カルタンの移動フレーム法の戦略は、カルタンの等価法で簡単に概説されているように、多様体上の自然な移動フレームを見つけ、そのダルブー微分を取ること、言い換えればGのマウラー・カルタン形式をM (またはP )に引き戻すことによって、多様体の完全な構造不変量セットを得ることである。[ 3 ]
カルタン（1937）は、移動フレームの一般的な定義と、ワイル（1938）によって詳細に説明された移動フレームの方法を定式化した。理論の要素は以下のとおりである。
これらの要素間には、以下の公理が成り立つと仮定する。
この手法で関心があるのは、Xのパラメータ化された部分多様体です。考察は主に局所的なものであるため、パラメータ領域はR λの開集合とみなされます。部分多様体とそのパラメータ化の両方に関心がある場合と、再パラメータ化までの部分多様体に関心がある場合とでは、若干異なる手法が適用されます。
移動フレームの最も一般的な例は、多様体の接フレームの束（フレームバンドルとも呼ばれる）の場合です。この場合、多様体M上の移動接フレームは、開集合U ⊂ Mの各点における接空間の基底を形成するベクトル場e 1、e 2、 …、e nの集合で構成されます。
もしU上の座標系である場合、各ベクトル場e j は座標ベクトル場の線形結合として表すことができる。:それぞれこれはU上の関数です。これらは行列の成分と見なすことができます。この行列は、次のセクションで説明するように、双対コフレームの座標表現を見つけるのに役立ちます。
移動フレームは、 U上の余接束の双対フレームまたはコフレームを決定します。これは、移動フレームとも呼ばれることがあります。これは、滑らかな1形式のn組です。
これらは、 Uの各点qにおいて線形独立である。逆に、このような共フレームが与えられた場合、それと双対な一意の移動フレームe 1、e 2、 …、e nが存在する。すなわち、双対関係θ i ( e j ) = δ i jを満たす。ここで、δ i jはU上のクロネッカーのデルタ関数である。
もしは、前節で述べたように、U上の座標系であり、各共ベクトル場θ i は、座標共ベクトル場の線形結合として表すことができる。:それぞれはU上の関数です。上記の2つの座標式を組み合わせると、行列の観点から言えば、これは単にそしてそれらは互いに逆の関係にある。
古典力学の枠組みにおいて、正準座標を用いる場合、正準コフレームはトートロジー1形式によって与えられる。直感的には、これは力学系の速度（座標の接束上のベクトル場によって与えられる）と、対応する運動量（コ接束内のベクトル場、すなわち形式によって与えられる）を関連付ける。トートロジー1形式は、より一般的なソルダー形式の特殊な場合であり、ソルダー形式は一般的なファイバー束上に（コ）フレーム場を提供する。
一般相対性理論では、移動座標系が重要となる。なぜなら、事象p (時空内の点、次元 4 の多様体) における座標系の選択を近傍の点に拡張する特別な方法は存在しないため、選択を行わなければならないからである。これに対し、特殊相対性理論では、Mはベクトル空間V (次元 4)とみなされる。この場合、点pにおける座標系は、 pから他の任意の点qへ明確に定義された方法で変換できる。大まかに言えば、移動座標系は観測者に対応し、特殊相対性理論における区別された座標系は慣性観測者を表す。
相対性理論とリーマン幾何学において、最も有用な移動フレームは直交フレームと正規直交フレーム、すなわち各点において直交（単位）ベクトルからなるフレームである。与えられた点pにおいて、一般フレームは正規直交化によって正規直交化することができる。実際、これは滑らかに行うことができるため、移動フレームの存在は移動正規直交フレームの存在を意味する。
移動フレームは常に局所的に、つまりM内の任意の点pの近傍U内に存在します。しかし、 M上で大域的に移動フレームが存在するには位相条件が必要です。例えば、 Mが円、あるいはより一般的にはトーラスである場合、そのようなフレームは存在しますが、Mが 2 次元球面である場合は存在しません。大域的な移動フレームを持つ多様体は平行化可能と呼ばれます。例えば、地球表面の緯度と経度の単位方向が、北極と南極でどのように移動フレームとして分解されるかに注目してください。
エリー・カルタンの移動フレーム法は、研究対象の問題に合わせて調整された移動フレームを採用することに基づいています。例えば、空間内の曲線が与えられた場合、一般にその曲線の最初の 3 つの導関数ベクトルは、その曲線上の点におけるフレームを定義できます (定量的な記述については、ねじれテンソルを参照してください。ここでは、ねじれはゼロではないと仮定します)。実際、移動フレーム法では、フレームよりもコフレームを扱うことが多いです。より一般的には、移動フレームは、開集合U上の主束の切断と見なすことができます。一般的なカルタン法は、カルタン接続の概念を用いてこの抽象化を活用しています。
多くの場合、グローバルに有効な単一の参照系を定義することは不可能です。これを克服するために、複数の参照系を組み合わせてアトラスを形成するのが一般的であり、その結果として局所的な参照系という概念が生まれます。さらに、これらのアトラスに滑らかな構造を持たせることで、結果として得られる参照系フィールドが微分可能になることが望ましい場合が多くあります。
この記事ではフレーム場を多様体の接束上の座標系として構築していますが、その一般的な考え方は、各点にベクトル空間を備えた多様体であるベクトル束の概念に容易に移行できます。このベクトル空間は任意であり、一般に接束とは関係ありません。
機体固定座標系は、剛体力学において広く用いられている。 航空機の操縦は、パイロットが記述する場合、移動座標系（航空機の主軸）を用いて表現することができる。
