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線型代数において、直交化とは、特定の部分空間に張られる直交ベクトルの集合を求める処理です。正式には、内積空間（最も一般的にはユークリッド空間R n ）内の線形独立なベクトルの集合 { v 1 , ... , v k } から始めて、直交化によってベクトルv 1 , ... , v k と同じ部分空間を生成する直交ベクトルの集合 { u 1 , ... , u k }が得られます。新しい集合内のすべてのベクトルは、新しい集合内の他のすべてのベクトルと直交します。また、新しい集合と古い集合は同じ線形スパンを持ちます。
さらに、結果のベクトルをすべて単位ベクトルにしたい場合は、各ベクトルを正規化します。 この手順は正規直交化と呼ばれます。
任意の対称双線形形式（必ずしも内積ではなく、必ずしも実数上ではない）に関しても直交化は可能ですが、このより一般的な設定では標準的なアルゴリズムでゼロ除算が発生する可能性があります。
直交化アルゴリズム
直交化を実行する方法は次のとおりです。
- グラム・シュミット過程は投影法を用いる
- 反射を用いたハウスホルダー変換
- ギブンズローテーション
- 対称直交化は特異値分解を使用する。
コンピュータ上で直交化を実行する場合、ハウスホルダー変換はグラム・シュミット過程よりも数値的に安定しており、丸め誤差の影響が小さいため、通常はハウスホルダー変換が優先されます。
一方、グラム・シュミット過程はj番目の反復の後にj番目の直交化ベクトルを生成しますが、ハウスホルダー反射を使用した直交化では最後にのみすべてのベクトルが生成されます。このため、アーノルディ反復法などの反復法にはグラム・シュミット過程のみ適用できます。
ギブンズ回転はハウスホルダー変換よりも簡単に並列化できます。
対称直交化はペル・オロフ・レーヴディンによって定式化された。[1]
局所直交化
従来のノイズ減衰手法では、パラメータの選択ミスやノイズ除去の仮定の不備により有用な信号が失われることがあるが、これを補うために、最初にノイズ除去されたセクションに重み付け演算子を適用して、最初のノイズセクションから有用な信号を取り出すことができる。この新しいノイズ除去プロセスは、信号とノイズの局所直交化と呼ばれている。[2]これは、多くの信号処理や地震探査分野 で幅広い用途がある。
参照
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