はんだ付けフォーム

数学、より正確には微分幾何学において、繊維束を滑らかな多様体にはんだ付け（またははんだ形式ともいう）することは、繊維を多様体に接線として見なせるように接続する方法である。直観的には、はんだ付けは、多様体が各点で特定のモデルクライン幾何学と接点を持つ可能性があるという概念を抽象的な言葉で表現する。外在的微分幾何学では、はんだ付けは単にモデル空間と多様体の接線によって表現される。内在的幾何学では、それを表現するには他の技法が必要である。はんだ付けは、1950年にチャールズ・エーレスマンによってこの一般的な形式で導入された。 ^[1]

M を滑らかな多様体、G をリー群とし、E を構造群Gを持つM上の滑らかなファイバー束とします。G はEの典型ファイバーFに対して推移的に作用し、 dim F = dim Mであるとします。EからMへのはんだ付けは、次のデータで構成されます。

1. 区別されたセクション o  : M → E。
2. 区別された断面に沿った、Mの接線バンドルからEの垂直バンドルの引き戻しまでの、ベクトルバンドル θ : T M → o ^* V Eの線型同型。

特に、後者の条件は、θが線形同型性を決定すると解釈できる。

${\displaystyle \theta _{x}:T_{x}M\rightarrow V_{o(x)}E}$

Mのxにおける接線空間から、区別された断面によって決定される点におけるファイバーの (垂直) 接線空間まで。形式 θ は、はんだ付け用の はんだ形式と呼ばれます。

慣例により、はんだ付けの選択が一意であるか標準的に決定されている場合、はんだ付け形式は標準形式またはトートロジー形式と呼ばれます。

E がアフィンベクトル束（零切断の選択がないベクトル束）であるとする。すると、 E上のはんだ付けは、まず区別された切断を指定する。つまり、零切断oを選択することで、E をベクトル束として識別できる。すると、はんだ付け形式は線型同型となる。

${\displaystyle \theta \colon TM\to V_{o}E,}$

しかし、ベクトル束の場合、原点の垂直空間とファイバーV _o E ≈ Eの間には標準同型性があります。この同一視により、はんだ形式は線形同型性によって指定されます。

${\displaystyle TM\to E.}$

言い換えれば、アフィンバンドル E上のはんだ付けは、 EとMの接バンドルとの同型の選択です。

しばしばベクトル束上のはんだ形式について語られるが、その際、はんだ付けの区別された断面は束の零断面であると先験的に理解されている。この場合、ベクトル束の構造群は、 GL ( n ) とEの典型ファイバー（ GL ( n )の表現）との半直積によって暗黙的に拡大されることが多い。 ^[2]

• たとえば、特殊なケースとして、接バンドル自体が標準的なソルダー形式、つまり恒等式を持ちます。
• M がリーマン計量（または擬リーマン計量）を持つ場合、共変計量テンソルは接線バンドルから余接バンドルへの同型性を与え、これははんだ形式です。${\displaystyle g\colon TM\to T^{*}M}$
• ハミルトン力学では、はんだ形式はトートロジー 1 形式、あるいはリウヴィル 1 形式、ポアンカレ 1 形式、標準 1 形式、あるいはシンプレクティック ポテンシャルとして知られています。
• メビウスの帯を円上の繊維束として考えてみましょう。垂直束o ^* V E は依然としてメビウスの帯ですが、接線束 T Mは円筒なので、これに対するはんだ付け形式はありません。

• ベクトル束上のはんだ形式を使用すると、接続のねじれテンソルとねじれテンソルを定義できます。

• はんだ形式はシグマモデルで発生し、時空多様体の接空間を場多様体の接空間に接着します。

• 四辺形、または一般相対論における四辺形は、計算を大幅に簡略化できる接空間上の好ましい、通常は正規直交基底に時空多様体上の座標チャートを接着するという点で、はんだ形式に似ています。つまり、座標チャートは上記の定義の であり、フレーム フィールドは垂直バンドル です。シグマ モデルでは、四辺形は明示的にはんだ形式です。${\displaystyle TM}$${\displaystyle VE}$

主バンドルの言語では、滑らかな多様体M上の滑らかな主GバンドルP上のはんだ形式は、 Gの線型表現Vに値を持つP上の水平かつG同変な微分 1 形式であり、接バンドルTMから関連するバンドルP × _G Vへの関連するバンドル写像はバンドル同型である。(特に、VとM は同じ次元を持つ必要がある。)

ソルダー形式の動機となる例としては、多様体の フレームバンドル上のトートロジー形式または基本形式が挙げられます。

名前の由来は、はんだ形式が、関連するバンドルを接バンドルと同一視することによって、抽象主バンドルを多様体Mにはんだ付け (または接続) することである。はんだ形式は、 G構造を研究する方法を提供し、カルタン接続の理論において重要である。この用語とアプローチは、物理学の文献で特によく使われている。

• Ehresmann、C. (1950)。 「空間繊維の違いによる無限の接続」。コロック・デ・トポロジー、ブリュッセル：29–55。
• 小林昭七 (1957). 「接続理論」. Ann. Mat. Pura Appl . 43 (1): 119–194. doi : 10.1007/BF02411907 .
• 小林昭七・野水勝美 (1996) 『微分幾何学の基礎』第1巻・第2巻（新版）Wiley Interscience . ISBN 0-471-15733-3。