対合（数学）

（実数上の）対合関数のグラフは、直線 y = x に関して対称です。これは、任意の一般関数の逆関数が直線y = xに関してその関数を鏡像にしたものであるためです。これは、 xとyを入れ替えることで確認できます。特に、関数が対合関数である場合、そのグラフは自身の鏡像となります。

対合の基本的な例としては、関数が挙げられます。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}f(x)&=ax\;,\\f(x)&={\frac {b}{xa}}+a\end{alignedat}}}$$さらに、対合gを全単射hとその逆 (${\displaystyle h^{-1}\circ g\circ h}$）。 例えば ：$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f(x)&={\sqrt {1-x^{2}}}\quad {\textrm {on}}\;[0;1]&{\bigl (}g(x)=1-x\quad {\textrm {and}}\quad h(x)=x^{2}{\bigr )},\\f(x)&=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right)&{\bigl (}g(x)={\frac {x+1}{x-1}}={\frac {2}{x-1}}+1\quad {\textrm {and}}\quad h(x)=e^{x}{\bigr )}\\\end{alignedat}}}$$

3次元ユークリッド空間における対合の簡単な例として、平面による鏡映が挙げられる。鏡映を2回行うと、点は元の座標に戻る。

もう一つの反転は原点を通る反射である。これは上記の意味での反射ではないため、別の例となる。

これらの変換はアフィン対合の例である。

対合とは、周期2の射影変換 、すなわち点のペアを交換する射影変換のことである。^{[ 6 ]： 24}

• 2つの点を交換する射影変換はすべて対合である。
• 完全四角形の対辺の 3 組は、頂点を通らない任意の直線と 3 組の対合で交わります。より一般的には、4 つの点と、そのうちの 1 つを通らない任意の直線が与えられたとき、この直線上の任意の点を、与えられた点と他の 4 つの点を通る (おそらく退化している) 円錐曲線の 2 番目の交点と交換する射影対合が存在します。この結果は、デザルグの対合定理と呼ばれています。^{[ 7 ]}その起源は、アレクサンドリアのパップスのコレクション第 VII 巻にあるユークリッドのポリスムの補題の補題 IV に見ることができます。^{[ 8 ]}
• 対合が1つの不動点を持ち、かつ恒等写像でない場合、もう1つの不動点を持ち、これら2つの点に関する調和共役間の対応関係から構成される。この場合、対合は「双曲型」と呼ばれ、不動点がない場合は「楕円型」と呼ばれる。射影の文脈では、不動点は二重点と呼ばれる。^{[ 6 ]： 53}

射影幾何学で発生するもう1つのタイプの対合は、周期2の相関である極性である。 ^{[ 9 ]}

線形代数において、対合とは、ベクトル空間上の線形演算子Tであって、 T ² = Iを満たすものである。標数 2 の場合を除き、このような演算子は、対応する行列の対角成分が1と−1のみとなるような、与えられた基底に対して対角化可能である。演算子が直交（直交対合）である場合、それは正規直交的に対角化可能である。

例えば、ベクトル空間Vの基底が選択され、e ₁とe _{2が基底要素であるとします。e} 1_をe ₂に、e _2をe ₁に写像し、他のすべての基底ベクトルに対して恒等写像となる線形変換fが存在します。すべてのx ∈ Vに対してf ( f ( x )) = x であることが確認できます。つまり、fはVの対合です。

特定の基底に対して、任意の線形演算子は行列Tで表すことができます。すべての行列には、行と列を入れ替えることで得られる転置行列が存在します。この転置行列は、行列の集合上の対合です。要素ごとの複素共役は独立した対合であるため、共役転置行列またはエルミート随伴行列もまた対合となります。

対合の定義は容易に加群にも拡張できる。環R上の加群Mが与えられたとき、MのR自己準同型fは、 f ^2がM上の恒等準同型である場合に対合と呼ばれる。

対合は冪等元と関連しています。2が可逆であれば、対合は1対1に対応します。

関数解析において、バナッハ*-代数とC*-代数は、対合を持つバナッハ代数の特殊なタイプである。

四元数代数において、(反)対合は、次の公理によって定義される。変換を考えると、${\displaystyle x\mapsto f(x)}$ならばそれは対合である

• ${\displaystyle f(f(x))=x}$（それは自身の逆数である）
• ${\displaystyle f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})}$そして${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$（線形です）
• ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}$

反対合は最後の公理に従わず、代わりに

• ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{2})f(x_{1})}$

この前者の法則は、反分配法則と呼ばれることもあります。また、群においては( xy ) ⁻¹ = ( y ) ⁻¹ ( x ) ⁻¹のように現れます。これを公理とすると、対合を持つ半群の概念につながります。対合を持つ半群の自然な例としては、群ではないものがあり、例えば、転置を対合とする正方行列の乗算（すなわち、完全線形モノイド）などが挙げられます。

環論において、対合とは、慣習的に、自身の逆関数である反同型写像を意味する。一般的な環における対合の例としては、複素平面上の複素共役、分裂複素数におけるそれに相当するもの、および行列環における転置演算などが挙げられる。

Rが可換環であり、AがR上の代数である場合、 A 上の反対σ は、R をAに固定し、以下の条件を満たす場合に標準対合である。

${\displaystyle \forall a\in A\ \ \sigma (a)+a\in R\ \ {\text{かつ}}\ \ a\sigma (a)\in R.}$^{[ 10 ] [ 11 ]}

群論では、群の要素が位数2である場合、その要素は対合である。つまり、対合とは、a ≠ eかつa ² = eとなる要素aであり、eは単位元である。^{[ 12 ]} 元々、この定義は上記の最初の定義と一致していた。なぜなら、群の要素は常に集合から集合自身への全単射であり、つまり、群は置換群を意味すると考えられていたからである。19 世紀末までに、群はより広く定義され、それに伴い対合も広く定義された。

置換が対合であるのは、それが互いに素な転置の有限積として表せる場合、かつその場合に限る。

群の対合は、群の構造に大きな影響を与える。対合の研究は、有限単純群の分類において重要な役割を果たした。

群Gの要素xは、 x ^t = x ⁻¹ (ここでx ^t = x ⁻¹ = t ⁻¹ ⋅ x ⋅ t )となるような対合tが存在する場合に強実と呼ばれます。  

コクセター群は、 Sの要素のペアのべき乗を含む関係のみに従う対合の集合Sによって生成される群です。コクセター群は、とりわけ、可能な正多面体とその高次元への一般化を記述するために使用できます。

ブール代数における補数の演算は対合である。したがって、古典論理における否定は二重否定の法則を満たす。¬¬ AはAと同値である。

一般的に、非古典論理では、二重否定の法則を満たす否定は対合的と呼ばれます。代数意味論では、このような否定は真理値の代数上の対合として実現されます。対合的否定を持つ論理の例としては、クリーネとボフヴァルの3値論理、ルカシェヴィチの多値論理、ファジー論理「対合的モノイドtノルム論理」（IMTL）などがあります。対合的否定は、非対合的否定を持つ論理に追加の結合子として加えられることもあります。これは、例えばtノルムファジー論理でよく見られます。

否定の対合性は、論理体系およびそれに対応する代数の多様体にとって重要な特徴付け特性です。例えば、対合的な否定は、ハイティング代数の中でもブール代数を特徴付けています。同様に、古典ブール論理は、直観主義論理に二重否定の法則を追加することによって生じます。同じ関係は、MV代数とBL代数（そして同様に、ルカシェヴィッチ論理とファジー論理BLの間）、IMTLとMTL、およびその他の重要な代数の多様体（それぞれ対応する論理体系）のペアの間にも成り立ちます。

二項関係の研究において、すべての関係には逆関係が存在する。逆の逆は元の関係であるため、変換演算は関係の圏における対合となる。二項関係は包含関係によって順序付けられる。この順序は補元対合によって逆転するが、変換によって保持される。

一方のパラメータに特定の値を与えた場合のXORビット演算は、もう一方のパラメータに対する逆演算となります。XORマスクは、画像上にグラフィックを描画する際に 、背景上に2回描画すると背景が元の状態に戻るようにするために使用されることがあります。

これの2つの特殊なケースは、すべて1の値とのXORであるビットごとのNOT演算と、秘密キーストリームとのXORであるストリーム暗号暗号化です。

これはバイナリコンピュータよりも古いもので、事実上すべての機械式暗号機は相互暗号、つまり入力された各文字に対する逆算を実装しています。暗号化用と復号用の2種類の機械を設計する代わりに、すべての機械を同一にして、同じ方法で設定（鍵付け）することができます。^{[ 13 ]}

コンピュータで使用されるもう 1 つの逆演算は、2 次ビット順列です。たとえば、( R、G、B )の形式で整数として格納された色の値は、RとBを交換することで、 ( B、G、R )の形式になります。f ( f (RGB)) = RGB、f ( f (BGR)) = BGR。

ラグランジアンとハミルトニアンの間を変換するルジャンドル変換は、対合演算である。

積分可能性は物理学の中心的な概念であり、特に積分可能システムの分野では、例えばクレイマース・ワニエ双対性の文脈において、対合と密接に関連している。