関係のカテゴリー

関係のカテゴリRel。

Relの反対Rel ^op。

数学において、Relという圏は、対象としての集合と射としての二項関係のクラスを持つ。

このカテゴリーにおける射（または矢印）R : A → Bは集合AとBの間の関係であり、R ⊆ A × Bである。

2つの関係R : A → BとS : B → Cの合成は^[¹^]で与えられる。

$(a,c)\in S\circ R\iff {\text{for some }}b\in B,(a,b)\in R{\text{ and }}(b,c)\in S.$

Relは「集合の対応のカテゴリー」とも呼ばれている。^{[ 2 ]}

物件

圏Rel は、集合の圏Set を(広い)部分圏として持ち、 Setにおける矢印f : X → Y は、 ( x , y ) ∈ F ⇔ f ( x ) = yで定義される関係F ⊆ X × Yに対応する。^[^{注 1}^]^[³^]

Relにおける射は関係であり、Relの反対のカテゴリーにおける対応する射は矢印が逆になっているため、逆関係である。したがって、Rel はその反対を含み、自己双対である。^[⁴^]

逆関係を取ることによって表される対合は、 Rel をダガーカテゴリーにするためのダガーを提供する。

この圏は、 hom 関手によって自身への2 つの関手を持ちます。二項関係R ⊆ A × Bとその転置R ^T ⊆ B × Aは、 RR ^TまたはR ^TRのいずれかとして合成できます。最初の合成はA上の同次関係を、2 番目の合成はB上の同次関係をもたらします。これらの hom 関手の像はRel自体にあるため、この場合 hom は内部 hom 関手です。内部 hom 関手を持つRelは閉じた圏であり、さらにダガーコンパクト圏でもあります。

圏Rel は、共変関手として解釈される冪集合に対応する関手を持つモナドのKleisli 圏として、圏Setから得ることができます。

一見すると少し意外に思えるかもしれないが、Relの積は非交和^[⁴^]^:¹⁸¹ ( Setのようにデカルト積ではなく)で与えられ、余積も同様である。

Rel は、モノイド積A ⊗ Bと内部ホムA ⇒ Bの両方を集合の直積で定義すれば、モノイド閉圏となる。また、モノイド積を集合の非交和で定義すれば、モノイド圏となる。 ^[⁵^]

1990 年にPeter J. Freydと Andre Scedrovによってアレゴリーと呼ばれる代数構造のプロトタイプとしてカテゴリーRelが考案されました。 ^[⁶^]正規カテゴリーとファンクターF : A → Bから始めて、誘導ファンクター Rel( A,B ) → Rel( FA, FB )の性質に注目します。例えば、合成、変換、および交差を保存します。このような性質は、アレゴリーの公理を与えるために使用されます。

関係を対象物として捉える

David Rydeheard とRod Burstall は、 Relには同次関係であるオブジェクトがあると考えている。たとえば、Aは集合であり、R ⊆ A × AはA上の二項関係である。このカテゴリの射は、関係を保存する集合間の関数である。S ⊆ B × Bを第 2 次関係とし、f : A → Bを次のような関数とする。 $xRy\implies f(x)Sf(y),$ この場合、fは射である。^{[ 7 ]}

アダメク、ヘルリッヒ、シュトレッカーも同様の考えを提唱しており、彼らは対象 ( A, R ) と ( B, S ) を集合と関係と定義している。^{[ 8 ]}

注記

↑このカテゴリは、Rydeheard と Burstall によってSet _{Relと呼ばれています。}

参考文献

↑ Mac Lane, S. (1988). Categories for the Working Mathematician (1st ed.). Springer. p. 26. ISBN 0-387-90035-7。
↑パレイギス、ボド（1970）。『圏と関手』純粋応用数学、第39巻、アカデミック・プレス、 6ページ、ISBN 978-0-12-545150-5。
↑バーグマン、ジョージ (1998)。「§7.2 RelSet」。『一般代数学と普遍構成への招待』。ヘンリー・ヘルソン。ISBN 0-9655211-4-1。
1 2 Barr, Michael ; Wells, Charles (1990).計算機科学のための圏論(PDF) . Prentice Hall. p. 181. ISBN 978-0131204867。
↑ Fong, Brendan; David I Spivak (2019). "Supplying bells and whistles in symmetric monoidal categories". arXiv : 1908.02633 [ math.CT ].
↑ピーター・J・フロイド;アンドレ・セドロフ (1990)。カテゴリー、アレゴリー。北オランダ。ページ79、196。ISBN 0-444-70368-3。
↑ライドハード、デイビッド；バーストール、ロッド（1988）。計算圏論。プレンティス・ホール。p. 41。ISBN 978-0131627369。
↑ Adamek, Juri; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2004) [1990]. "§3.3、例2(d)". Abstract and Concrete Categories (PDF) . KatMAT Research group, University of Bremen . p. 22. 2022年8月11日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。

ボルソー、フランシス（1994）。『圏と構造』『圏論代数ハンドブック』第 2巻、ケンブリッジ大学出版局、 115ページ、ISBN 978-0-521-44179-7。

[3] このカテゴリは、Rydeheard と Burstall によってSet _{Relと呼ばれています。}

[1] Mac Lane, S. (1988). Categories for the Working Mathematician (1st ed.). Springer. p. 26. ISBN 0-387-90035-7。

[2] パレイギス、ボド（1970）。『圏と関手』純粋応用数学、第39巻、アカデミック・プレス、 6ページ、ISBN 978-0-12-545150-5。

[4] バーグマン、ジョージ (1998)。「§7.2 RelSet」。『一般代数学と普遍構成への招待』。ヘンリー・ヘルソン。ISBN 0-9655211-4-1。

[MB&CW-5] 1 2 Barr, Michael ; Wells, Charles (1990).計算機科学のための圏論(PDF) . Prentice Hall. p. 181. ISBN 978-0131204867。

[6] Fong, Brendan; David I Spivak (2019). "Supplying bells and whistles in symmetric monoidal categories". arXiv : 1908.02633 [ math.CT ].

[7] ピーター・J・フロイド;アンドレ・セドロフ (1990)。カテゴリー、アレゴリー。北オランダ。ページ79、196。ISBN 0-444-70368-3。

[R&B-8] ライドハード、デイビッド；バーストール、ロッド（1988）。計算圏論。プレンティス・ホール。p. 41。ISBN 978-0131627369。

[9] Adamek, Juri; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2004) [1990]. "§3.3、例2(d)". Abstract and Concrete Categories (PDF) . KatMAT Research group, University of Bremen . p. 22. 2022年8月11日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。

[

[ 2 ]

[

[

[

[

[

[ 7 ]

[ 8 ]

物件

関係を対象物として捉える

注記

参考文献

関連するトピック

数学

圏は、

対象

集合