BL（ロジック）

数理論理学において、連続t-ノルムの論理である基本ファジー論理（または略してBL ）は、 t-ノルムファジー論理の1つです。これは、より広いクラスである部分構造論理、または残余格子の論理に属します。^[1]これは、すべての左連続t-ノルムの 論理MTLを拡張します。

命題論理 BL の言語は、可算個の命題変数と次の基本論理接続子で構成されます。

• 含意 （バイナリ）${\displaystyle \rightarrow}$
• 強い結合 (バイナリ)。& 記号は、ファジー論理の文献では強い結合を表すより伝統的な表記法ですが、表記法は部分構造論理の伝統に従います。${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \otimes }$
• Bottom (ヌル—命題定数)、またはは共通代替記号であり、ゼロは命題定数の共通代替名です (サブ構造論理の定数 bottom と zero は MTL で一致するため)。${\displaystyle \bot}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\overline {0}}}$

最も一般的に定義されている論理接続詞は次のとおりです。

• 弱い連言 （二項）。格子連言とも呼ばれる（代数的意味論では、常にmeetの格子演算によって実現されるため）。MTLやより弱い部分構造論理とは異なり、弱い連言は BL では次のように定義できる。${\displaystyle \wedge}$

${\displaystyle A\wedge B\equiv A\otimes (A\rightarrow B)}$

• 否定 （単項）は次のように定義される${\displaystyle \neg}$

${\displaystyle \neg A\equiv A\rightarrow \bot }$

• 等価性 （バイナリ）は次のように定義されます${\displaystyle \leftrightarrow}$

${\displaystyle A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)}$

MTLと同様に、定義は次のようになります。${\displaystyle (A\rightarrow B)\otimes (B\rightarrow A).}$

• （弱い）論理和 （二項）は、格子論理和（代数的意味論では常に結合の格子演算によって実現されるため）とも呼ばれ、次のように定義される。${\displaystyle \vee}$

${\displaystyle A\vee B\equiv ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\wedge ((B\rightarrow A)\rightarrow A)}$

• トップ （ゼロ）は、1とも呼ばれ、または（MTLではサブ構造論理の定数トップとゼロが一致するため）で表され、次のように定義されます。${\displaystyle \top}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\overline {1}}}$

${\displaystyle \top \equiv \bot \rightarrow \bot }$

BL の適切な式は、命題論理で通常どおり定義されます。括弧を節約するために、次の優先順位を使用するのが一般的です。

• 単項接続詞（最も密接に結合する）
• 含意と同値以外の二項接続詞
• 含意と同等性（最も緩く結びつく）

BL のヒルベルト型演繹システムはPetr Hájek (1998)によって導入されました。その唯一の導出規則はmodus ponensです。

から派生する${\displaystyle A}$${\displaystyle A\rightarrow B}$${\displaystyle B.}$

その公理スキーマは次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\rm {(BL1)}}\colon &(A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))\\{\rm {(BL2)}}\colon &A\otimes B\rightarrow A\\{\rm {(BL3)}}\colon &A\otimes B\rightarrow B\otimes A\\{\rm {(BL4)}}\colon &A\otimes (A\rightarrow B)\rightarrow B\otimes (B\rightarrow A)\\{\rm {(BL5a)}}\colon &(A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow (A\otimes B\rightarrow C)\\{\rm {(BL5b)}}\colon &(A\otimes B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow (B\rightarrow C))\\{\rm {(BL6)}}\colon &((A\rightarrow B)\rightarrow C)\rightarrow (((B\rightarrow A)\rightarrow C)\rightarrow C)\\{\rm {(BL7)}}\colon &\bot \rightarrow A\end{array}}}$

元の公理系の公理 (BL2) と (BL3) は冗長であることが示されました (Chvalovský、2012) と (Cintula、2005)。他のすべての公理は独立していることが示されました (Chvalovský、2012)。

他の命題t-ノルムファジー論理と同様に、 BLでは主に代数的意味論が使用され、論理が完全である代数には3つの主要なクラスがあります。

• 一般意味論は、すべてのBL代数、つまり論理が健全なすべての代数から構成される。
• 線形意味論は、すべての線形BL代数、つまり格子順序が線形であるすべてのBL代数から構成される。
• 標準意味論は、すべての標準BL 代数、つまり格子縮約が通常の順序を持​​つ実数単位区間 [0, 1] であるすべての BL 代数から構成されます。これらは、任意の連続t ノルムであることができる強結合を解釈する関数によって一意に決定されます。

• Hájek P.、1998、ファジー論理のメタ数学。ドルドレヒト: クルーワー。
• Ono, H., 2003、「サブ構造論理と残余格子 - 入門」。FV Hendricks、J. Malinowski (編)：Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica、Trends in Logic 20 : 177–212。
• Cintula P.、2005、「ショートノート：BL および MTL における公理 (A3) の冗長性について」。Soft Computing 9：942。
• Chvalovský K.、2012、「BL と MTL における公理の独立性について」。ファジー セットとシステム 197 : 123–129、doi :10.1016/j.fss.2011.10.018。