T-ノルムファジー論理

T-ノルムファジー論理は非古典的論理のファミリーであり、真理値のシステムと、連言の許容される解釈のためのt-ノルムと呼ばれる関数に対して実単位区間[0, 1]をとる意味論によって非公式に制限されます。これらは主に、近似推論の理論的基礎として 応用ファジー論理とファジー集合論で使用されます。

t-ノルムファジー論理は、より広いクラスのファジー論理および多値論理に属します。適切に動作する含意を生成するために、t-ノルムは通常、左連続である必要があります。左連続t-ノルムの論理はさらに、部分構造論理のクラスに属し、その中で、前線性法則、( A  →  B ) ∨ ( B  →  A ) の有効性が特徴付けられます。命題論理と1次(またはより高次)のt-ノルムファジー論理の両方、および様相演算子やその他の演算子によるそれらの拡張が研究されています。t-ノルムの意味を実数単位区間のサブセットに制限する論理(たとえば、有限値のŁukasiewicz論理)も通常このクラスに含まれます。

t-ノルム ファジー ロジックの重要な例としては、すべての左連続 t-ノルムのモノイド t-ノルム ロジック (MTL) 、すべての連続 t-ノルムの基本ロジック (BL) 、積 t-ノルムの積ファジー ロジック、またはべき零最小 t-ノルムのべき零最小ロジックがあります。独立に動機付けられたロジックの中には、たとえば Łukasiewicz ロジック (Łukasiewicz t-ノルムのロジック) やGödel–Dummett ロジック(最小 t-ノルムのロジック) など、t-ノルム ファジー ロジックに属するものもあります。

ファジー論理ファミリーのメンバーであるt-ノルムファジー論理は、命題の真理度を表す1（真）と0（偽）の間の中間の真理値を認めることで、古典的な2値論理を一般化することを主な目的としています。 真理値は、単位区間[0, 1]からの実数であると想定されています。 命題t-ノルムファジー論理では、命題接続詞は真理関数的であると規定されています。つまり、いくつかの構成命題から命題接続詞によって形成された複合命題の真理値は、構成命題の真理値の関数（接続詞の真理値関数と呼ばれる）です。 真理値関数は、真理値の集合（標準意味論では、[0, 1]区間）に対して機能します。したがって、n項命題接続詞cの真理値関数は、関数F c : [ 0 _, 1] ⁿ → [0, 1]です。真理関数は、古典論理で知られている命題接続詞の真理値表を一般化して、より大きな真理値体系で動作するようにしたものです。

T ノルム ファジー ロジックは、論理積の真理値関数に特定の自然な制約を課します。論理積の真理値関数は、次の条件を満たすものと想定されます。 ${\displaystyle *\colon [0,1]^{2}\to [0,1]}$

• 可換性、つまり[0, 1]内のすべてのxとyに対して。これは、中間の真理度が認められる場合でも、ファジー命題の順序は重要ではないという仮定を表します。${\displaystyle x*y=y*x}$
• 結合性、つまり[0, 1] 内のすべてのx、y、zに対して成立します。これは、中間の真理値階数が認められる場合でも、結合を実行する順序は重要ではないという仮定を表します。${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$
• 単調性、つまり、 であれば、[0, 1] 内のすべてのx、y、zに対して となります。これは、連言の真理度を増加しても、連言の真理度は減少しないという仮定を表します。${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x*z\leq y*z}$
• 1 の中立性、つまり[0, 1] 内のすべてのxに対して。この仮定は、真理度 1 を完全な真理と見なすことに対応し、これとの連言によって他の連言の真理値が減少することはありません。前の条件と一緒に、この条件は[0, 1] 内のすべてのxに対しても、これは真理度 0 を完全な偽と見なすことに対応し、これとの連言は常に完全に偽であることを保証します。${\displaystyle 1*x=x}$${\displaystyle 0*x=0}$
• 関数の連続性（前の条件により、この要件はどちらの議論でも連続性にまで縮小されます）。非公式には、これは、連言の真理度の微視的変化が、それらの連言の真理度の巨視的変化をもたらさないという仮定を表しています。この条件は、とりわけ、連言から導かれる（残余）含意の良好な動作を保証します。ただし、良好な動作を保証するには、関数の左連続性（どちらの議論でも）で十分です。^[1]したがって、一般的なt-ノルムファジー論理では、の左連続性のみが必要であり、これは、連言の真理度の微視的減少が、連言の真理度を巨視的に減少させてはならないという仮定を表しています。${\displaystyle *}$${\displaystyle *}$${\displaystyle *}$

これらの仮定により、連言の真理関数は左連続t ノルムとなり、これがファジィ論理の族 ( t ノルムベース) の名前の由来となっています。族の特定の論理では、連言の動作 (たとえば、ゲーデル・ダメット論理では冪等性が要求される) やその他の接続子 (たとえば、論理 IMTL (反転モノイダル t ノルム論理) では否定の反転性が要求される) についてさらに仮定を行うことができます。

すべての左連続tノルムは一意の残差、つまり[0, 1]内の すべてのx、y、zに対して、${\displaystyle *}$${\displaystyle \Rightarrow}$

${\displaystyle x*y\leq z}$もし、もし、${\displaystyle x\leq y\Rightarrow z.}$

左連続tノルムの残差は次のように明示的に定義できる。

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid z*x\leq y\}.}$

これにより、残差はすべてのxとyに対して、

${\displaystyle x*(x\Rightarrow y)\leq y.}$

後者は、推論のモダスポネンス規則のファジーバージョンとして解釈できます。したがって、左連続 t ノルムの残余は、ファジー モダスポネンスを有効にする最も弱い関数として特徴付けることができ、ファジー ロジックの含意に適した真理関数になります。t ノルムの左連続性は、t ノルムの結合とその残余含意の間のこの関係が保持されるために必要な十分な条件です。

さらなる命題接続子の真理関数は、t ノルムとその残差、たとえば残差否定または双残差同値によって定義できます。命題接続子の真理関数は、追加の定義によっても導入できます。最も一般的なものは、最小値 (別の連言接続子の役割を果たす)、最大値 (選言接続子の役割を果たす)、または [0, 1] でifおよびelse として定義される Baaz デルタ演算子です。このように、左連続 t ノルム、その残差、および追加の命題接続子の真理関数は、[0, 1] の複雑な命題式の真理値を決定します。 ${\displaystyle \neg x=(x\Rightarrow 0)}$${\displaystyle x\Leftrightarrow y=(x\Rightarrow y)*(y\Rightarrow x).}$${\displaystyle \Delta x=1}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle \Delta x=0}$

常に 1 に評価される式は、与えられた左連続 t ノルムまたはトートロジーに関してトートロジーと呼ばれます。すべてのトートロジーの集合はt ノルムの論理と呼ばれます。これは、これらの式が、原子式の真理度に関係なく (次数 1 まで) 成立するファジー論理の法則 (t ノルムによって決定される) を表すためです。一部の式は、左連続 t ノルムのより大きなクラスに関してトートロジーです。このような式の集合はクラスの論理と呼ばれます。重要な t ノルム論理は、特定の t ノルムまたは t ノルムのクラスの論理です。たとえば、次のようになります。 ${\displaystyle *,}$${\displaystyle *{\mbox{-}}}$${\displaystyle *{\mbox{-}}}$${\displaystyle *,}$

• Łukasiewicz ロジックは、Łukasiewicz t-normのロジックです。 ${\displaystyle x*y=\max(x+y-1,0)}$
• ゲーデル・ダメット論理は最小tノルムの論理である ${\displaystyle x*y=\min(x,y)}$
• 積ファジー論理は積tノルムの論理である。 ${\displaystyle x*y=x\cdot y}$
• モノイドt-ノルム論理MTLは、すべての左連続t-ノルム（のクラス）の論理である。
• 基本的なファジー論理BLは、すべての連続t-ノルム（のクラス）の論理である。

特定のt-ノルムとt-ノルムのクラスの多くの論理は公理化可能であることが判明しています。[0, 1]上の対応するt-ノルム意味論に関する公理系の完全性定理は、論理の標準完全性と呼ばれます。[0, 1]上の標準的な実数値意味論に加えて、論理は、適切なクラスの前線型可換有界積分残余格子によって形成される一般代数意味論に関して健全かつ完全です。

いくつかの特定の t ノルム ファジー ロジックは、そのファミリーが認識されるずっと前から (ファジー ロジックやt ノルムの概念が登場する前から) 導入され、調査されてきました。

• Łukasiewicz論理（Łukasiewicz t-ノルムの論理）は、もともとJan Łukasiewicz（1920）によって3値論理として定義されました。^{[2]その後、命題論理と1階論理の両方において、} n値（すべての有限nに対して）と無限値の変種に一般化されました。 ^[3]
• ゲーデル・ダメット論理（最小tノルムの論理）は、ゲーデルが1932年に直観主義論理の無限値性を証明した際に暗黙的に含まれていた。^{[4]その後（1959年）、}ダメットによって明示的に研究され、この論理の完全性定理が証明された。^[5]

特定の t ノルム ファジー論理とそのクラスの体系的な研究は、Hájek (1998) のモノグラフMetamathematics of Fuzzy Logicから始まりました。このモノグラフでは、連続 t ノルムの論理の概念、3 つの基本的な連続 t ノルム (Łukasiewicz、Gödel、および積) の論理、およびすべての連続 t ノルム (すべて命題的かつ一次的) の「基本的な」ファジー論理BL が提示されました。この本は、ヒルベルト スタイルの計算、代数的意味論、および他の論理から知られているメタ数学的特性 (完全性定理、演繹定理、複雑性など) を備えた非古典的な論理としてのファジー論理の研究も開始しました。

それ以来、数多くのt-ノルムファジー論理が導入され、それらのメタ数学的性質が研究されてきました。最も重要なt-ノルムファジー論理のいくつかは、2001年にEstevaとGodo（MTL、IMTL、SMTL、NM、WNM）^[1]、 Esteva、Godo、Montagna（命題的ŁΠ）^[6] 、およびCintula（一階ŁΠ）^{[7]によって導入されました。}

命題t ノルム ファジー論理 の論理語彙は、標準的に次の接続詞で構成されます。

• 含意 （バイナリ）。t-ノルムベース以外のファジー論理の文脈では、t-ノルムベースの含意は、その標準的な意味が強い結合を実現するt-ノルムの残差であるため、残差含意またはR-含意と呼ばれることもあります。${\displaystyle \rightarrow}$
• 強い接続詞 （二項）。部分構造論理の文脈では、強い接続詞には、記号と、グループ接続詞、内包接続詞、乗法接続詞、並列接続詞という名前がよく使用されます。${\displaystyle \そして}$${\displaystyle \otimes }$
• 弱い接続詞（二項）。 格子接続詞とも呼ばれます（代数的意味論でmeetの格子演算によって常に実現されるため）。部分構造論理の文脈では、格子接続詞に対して加法接続詞、外延接続詞、比較接続詞という名前が使用されることがあります。論理BLとその拡張（一般に t ノルム論理ではそうではありませんが）では、弱い接続詞は含意と強い接続詞の観点から次のように定義できます。2つの接続詞の存在は、縮約のない部分構造論理の一般的な特徴です。${\displaystyle \wedge}$$${\displaystyle A\wedge B\equiv A{\mathbin {\And }}(A\rightarrow B).}$$
• ボトム （ゼロ）;またはは共通の代替記号であり、ゼロは命題定数の共通の代替名です（サブ構造論理の定数ボトムとゼロは、t-ノルムファジー論理で一致するため）。命題は偽または不合理を表し、古典的な真理値falseに対応します。${\displaystyle \bot}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\overline {0}}}$${\displaystyle \bot}$
• 否定 （単項）。他の否定接続詞を考慮すると残余否定と呼ばれることもあります。これは、論理積法による残余含意から定義されるからです。 ${\displaystyle \neg}$$${\displaystyle \neg A\equiv A\rightarrow \bot }$$
• 同値性 （バイナリ）は次のように定義される。t-ノルム論理では、定義は次のように等価である。${\displaystyle \leftrightarrow}$$${\displaystyle A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)}$$${\displaystyle (A\rightarrow B){\mathbin {\And }}(B\rightarrow A).}$
• （弱い）論理和 （二項）は、格子論理和とも呼ばれる（代数的意味論では結合の格子演算によって常に実現されるため）。t-ノルム論理では、他の結合子を使って次のように定義できる。${\displaystyle \vee}$$${\displaystyle A\vee B\equiv ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\wedge ((B\rightarrow A)\rightarrow A)}$$
• トップ （ヌラリー）は、1とも呼ばれ、またはで表されます（サブ構造論理の定数トップとゼロはt-ノルムファジィ論理で一致するため）。この命題は古典的な真理値trueに対応し、t-ノルム論理では次のように定義できます。${\displaystyle \top}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\overline {1}}}$${\displaystyle \top}$$${\displaystyle \top \equiv \bot \rightarrow \bot .}$$

いくつかの命題 t ノルム論理では、上記の言語にさらに命題接続詞が追加されます。最も一般的なものは、次のとおりです。

• デルタ接続詞は、命題の古典的な真理を主張する単項接続詞であり、形式の式は古典論理のように振る舞う。マティアス・バーツがゲーデル・ダメット論理で初めて使用したため、バーツデルタとも呼ばれる。^[8]デルタ接続詞によるt-ノルム論理の展開は、通常次のように表される。${\displaystyle \triangle }$${\displaystyle \triangle A}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{\triangle }.}$
• 真理定数は、標準的な実数値意味論において 0 から 1 の間の特定の真理値を表すヌル接続子です。実数 の場合、対応する真理定数は通常 で表されます。ほとんどの場合、すべての有理数の真理定数が追加されます。言語のすべての真理定数のシステムは、言語で定義可能なすべての命題接続子とすべての真理定数に対して、簿記公理: ^[9]などを満たすものとされています。${\displaystyle r}$${\displaystyle {\overline {r}}.}$ $${\displaystyle {\overline {r{\mathbin {\And }}s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\And }}{\overline {s}}),}$$ $${\displaystyle {\overline {r\rightarrow s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\rightarrow }}{\overline {s}}),}$$
• 反転否定（単項）は、残余否定が 反転しない、つまり二重否定の法則に従わないt-ノルム論理への追加否定として追加できます。反転否定で拡張されたt-ノルム論理は通常、 で表され、反転 と呼ばれます。${\displaystyle \sim}$${\displaystyle \neg \neg A\leftrightarrow A}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{\sim}}$${\displaystyle L}$
• 強い選言 （二項）。部分構造論理の文脈では、群選言、内包選言、乗法選言、並列選言とも呼ばれる。縮約のない部分構造論理では標準だが、t-ノルムファジー論理では、通常は反転否定がある場合にのみ使用され、これにより、ド・モルガンの法則によって強い連言から定義可能（したがって公理化可能）になる。${\displaystyle \oplus}$$${\displaystyle A\oplus B\equiv \mathrm {\sim } (\mathrm {\sim } A{\mathbin {\And }}\mathrm {\sim } B).}$$
• 追加の t ノルム結合と残余含意。表現的に強い t ノルム論理 (たとえば論理 ŁΠ) の中には、その言語に複数の強い結合または残余含意を持つものがあります。標準的な実数値セマンティクスでは、このような強い結合はすべて異なる t ノルムによって実現され、残余含意はそれらの残差によって実現されます。

命題 t-ノルム論理の適切な式は、命題論理でよくあるように、上記の論理接続子によって命題変数(通常は可算数個) から定義されます。括弧を節約するために、次の優先順位を使用するのが一般的です。

• 単項接続詞（最も密接に結合する）
• 含意と同値以外の二項接続詞
• 含意と同等性（最も緩く結びつく）

t-ノルム論理の1階変種は、上記の命題接続詞と次の量指定子を含む1階論理の通常の論理言語を採用します。

• 一般量指定子 ${\displaystyle \forall}$
• 存在量指定子 ${\displaystyle \exists }$

命題t-ノルム論理の1階変種は通常次のように表記される。${\displaystyle L}$${\displaystyle L\forall .}$

代数的意味論は主に命題t-ノルムファジー論理に使用され、t-ノルムファジー論理が完全である代数には3つの主要なクラスがあります。 ${\displaystyle L}$

• 一般意味論は、すべての-代数、つまり論理が健全なすべての代数から構成されます。${\displaystyle L}$
• 線形意味論は、すべての線型 -代数、つまり、格子順序が線型であるすべての-代数から構成されます。${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$
• 標準意味論は、すべての標準 -代数、つまり、格子縮約が通常の順序を持​​つ実単位区間 [0, 1] であるすべての -代数から構成されます。標準-代数では、強連言の解釈は左連続t-ノルムであり、ほとんどの命題接続詞の解釈は t-ノルムによって決定されます (そのため、 t-ノルムベースの論理やt-ノルム-代数という名前が付けられ、これは格子 [0, 1] 上の -代数にも使用されます)。しかし、追加の接続子を持つt-ノルム論理では、追加の接続子の実数値解釈は、t-ノルム代数が標準と呼ばれるためのさらなる条件によって制限される可能性があります。たとえば、反転を持つ論理の標準-代数では、追加の反転否定の解釈は、t-ノルム-代数上で解釈できる他の反転ではなく、標準反転である必要があります。^[10]したがって、一般に、追加の接続子を持つt-ノルム論理に対しては、標準t-ノルム代数の定義を明示的に与えなければなりません。${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{\sim}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \sim}$ ${\displaystyle f_{\sim }(x)=1-x,}$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle L_{\sim}}$

• Esteva F. & Godo L.、2001、「モノイダル t-ノルム ベース ロジック: 左連続 t-ノルムのロジックに向けて」。ファジー セットとシステム 124 : 271–288。
• Flaminio T. & Marchioni E.、2006、「独立した反転否定を持つTノルムベースのロジック」ファジーセットとシステム 157：3125–3144。
• Gottwald S. & Hájek P.、2005、「三角ノルムに基づく数学的ファジー論理」。EP Klement & R. Mesiar (編)、「三角ノルムの論理的、代数的、分析的、確率的側面」、pp. 275–300。Elsevier、アムステルダム 2005。
• Hájek P.、1998、ファジー論理のメタ数学。ドルドレヒト: クルーワー。ISBN  0-7923-5238-6。