相関（射影幾何学）

射影幾何学において、相関とは、包含関係を逆にし、接続関係を保存しながら、次元kの部分空間を次元d − k − 1の部分空間に写像するd次元射影空間の変換である。相関は、相互性または相互変換とも呼ばれる。

実射影平面では、点と線は互いに 双対である。コクセターは次のように表現している。

相関とは、双対性の原理に従って発生関係を保存する点から線、線から点への変換です。したがって、範囲を鉛筆に変換したり、鉛筆を範囲に変換したり、[完全な]四角形を[完全な]四辺形に変換したりします。^[1]

直線mとm上にない点Pが与えられた場合、基本的な相関関係は次のように得られます。m上の任意のQに対して直線PQ が形成されます。逆相関関係はP上の線束から始まります。この線束内の任意の直線qに対して点m ∩ qを取ります。同じ線束を共有する 2 つの相関関係の合成は、透視性です。

3次元の射影空間では、相関関係によって点が平面に写像される。ある教科書には次のように書かれている。^[2]

κ がそのような相関関係にある場合、すべての点P はそれによって平面π ′ = κPに変換され、逆に、すべての点P は逆変換κ ⁻¹によって一意の平面π ′ から生じます。

3 次元の相関関係も線を線に変換するため、2 つの空間の 共線化と見なすことができます。

一般的なn次元射影空間では、相関によって点が超平面に移動します。このコンテキストは、ポール・イェールによって説明されました。

射影空間P ( V )の相関はP ( V )の適切な部分空間の包含反転順列である。^[3]

彼は、相関φ が結合と交差を交換し、P ( V )の任意の射影部分空間Wに対して、 φによるWの像の次元は( n − 1) − dim Wであることを示す定理を証明します。ここで、n は射影空間P ( V )を生成するために使用されるベクトル空間Vの次元です。

相関関係は、空間が自己双対である場合にのみ存在します。次元が 3 以上の場合、自己双対性は簡単にテストできます。座標スキューフィールドが存在し、スキューフィールドがその反対のスキューフィールドと同型でない場合にのみ、自己双対性が失敗します。

相関φ が反転である場合（つまり、相関の 2 つの適用が恒等式に等しい場合：すべての点Pに対してφ ² ( P ) = P）、それは極性と呼ばれます。射影空間の極性は極空間につながり、極性の下の像に含まれるすべての部分空間の集合を取ることによって定義されます。

射影空間P ( V ) とその双対P ( V ^∗ )の間には、基底ベクトル空間Vとその双対V ^∗の間の自然なペアリング ⟨⋅,⋅⟩によって自然な相関関係が誘導される。ここで、 V ^∗のすべての部分空間Wは、 V内の直交補空間W ^⊥に写像され、 W ^⊥ = { v ∈ V | ⟨ w , v ⟩ = 0, ∀ w ∈ W }と定義される。^[4]

この自然な相関を半線型写像によって誘導される射影空間の同型性と合成すると、P ( V ) とそれ自身との相関が生じる。このように、すべての非退化半線型写像V → V ^{∗ は}射影空間とそれ自身との相関を誘導する。

• ロバート・J・バンクロフト（1969年）『現代の射影幾何学』ホルト、ライナーハート、ウィンストン共著、第4章5章相関関係、p.90
• ロバート・A・ローゼンバウム（1963年）『射影幾何学と現代代数学入門』アディソン・ウェズレー、198ページ