二重否定

二重否定

タイプ	定理
分野	命題計算 古典論理
声明	ある文が真実である場合、その文が真実ではないということはあり得ず、その逆もまた同様です。」
象徴的な声明	${\displaystyle A\equiv \sim (\sim A)}$

命題論理では、文の二重否定は「文が真ではないわけではない」と述べます。古典論理では、すべての文はその二重否定と論理的に同等ですが、これは直観論理では当てはまりません。これは式 A ≡ ~(~A) で表すことができます。ここで、記号 ≡ は論理的同等性を表し、記号~ は否定を表します。

排中律と同様に、この原理は古典論理学では思考の法則であると考えられているが、 ^[1]直観主義論理では認められていない。^{[2]この原理は}ラッセルとホワイトヘッドによって『プリンキピア・マテマティカ』で命題論理の定理として述べられている。

${\displaystyle \mathbf {*4\cdot 13} .\ \ \vdash .\ p\ \equiv \ \thicksim (\thicksim p)}$^[3]

「これは二重否定の原理です。つまり、命題はその否定の偽りと同等です。」

二重否定除去と二重否定導入は、置換の 2 つの有効な 規則です。これらはそれぞれ、not not-Aが真であればAが真であるという推論と、その逆で、Aが真であればnot not-Aが真であるという推論です。この規則により、形式的な証明から否定を導入したり除去したりできます。この規則は、たとえば、「雨が降っていないというのは偽である」と「雨が降っている」の同値性に基づいています。

二重否定の導入規則は次のとおりです。

P P${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$

二重否定除去規則は次のとおりです。

${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$P P${\displaystyle \Rightarrow }$

ここで、「」は「証明の中で に置き換えることができる」ことを表す メタ論理記号です。${\displaystyle \Rightarrow }$

両方の規則を持つ論理では、否定は反転です。

二重否定の導入規則は、次の表記法で記述できます。

${\displaystyle P\vdash \neg \neg P}$

二重否定除去規則は次のように記述できます。

${\displaystyle \neg \neg P\vdash P}$

ルール形式：

${\displaystyle {\frac {P}{\neg \neg P}}}$

そして

${\displaystyle {\frac {\neg \neg P}{P}}}$

またはトートロジー（単純な命題論理の文）として：

${\displaystyle P\to \neg \neg P}$

そして

${\displaystyle \neg \neg P\to P}$

これらを 1 つの双条件式に組み合わせることができます。

${\displaystyle \neg \neg P\leftrightarrow P}$。

双条件性は同値関係であるため、整形式の式内の¬¬ Aの任意のインスタンスはAに置き換えることができ、整形式の式の 真理値は変更されません。

二重否定除去は古典論理の定理ですが、直観主義論理や極小論理などの弱い論理の定理ではありません。二重否定導入は、と同様に、直観主義論理と極小論理の両方の定理です。 ${\displaystyle \neg \neg \neg A\vdash \neg A}$

それらの構成的性質のため、「雨が降っていないわけではない」という文は、「雨が降っている」という文よりも弱い。後者は雨が降っているという証明を必要とするが、前者は雨が降っても矛盾しないという証明のみを必要とする。この区別は、自然言語でもリトーテの形で現れる。

命題論理のヒルベルトスタイルの演繹システムでは、二重否定は常に公理とはみなされず（ヒルベルトシステムの一覧を参照）、むしろ定理です。この定理の証明を、ヤン・ルカシェヴィチが提案した3つの公理のシステムで説明します。

A1.${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

A2.${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

A3.${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

ここで証明した補題（L1）を使用し、さらにここで証明した次の補題も使用します。 ${\displaystyle p\to p}$

（L2）${\displaystyle p\to ((p\to q)\to q)}$

まず を証明します。簡潔にするためにφ ₀と表記します。また、いくつかの証明手順の省略形として、 仮説的三段論法のメタ定理の方法を繰り返し使用します。${\displaystyle \neg \neg p\to p}$${\displaystyle q\to (r\to q)}$

（１）       （（Ａ１）の例）${\displaystyle \varphi _{0}}$

（２）       （（Ａ３）の例）${\displaystyle (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\neg p\to \neg \varphi _{0})}$

（３）       （（Ａ３）の例）${\displaystyle (\neg p\to \neg \varphi _{0})\to (\varphi _{0}\to p)}$

（４）       （（２）と（３）から仮説的三段論法のメタ定理により）${\displaystyle (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\varphi _{0}\to p)}$

（５）       （（Ａ１）の例）${\displaystyle \neg \neg p\to (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)}$

（６）       （（４）と（５）から仮説的三段論法のメタ定理により）${\displaystyle \neg \neg p\to (\varphi _{0}\to p)}$

（７）       （（L2）の例）${\displaystyle \varphi _{0}\to ((\varphi _{0}\to p)\to p)}$

（８）       （（１）と（７）からモーダスポネンスにより）${\displaystyle (\varphi _{0}\to p)\to p}$

（９）       （（６）と（８）から仮説的三段論法のメタ定理により）${\displaystyle \neg \neg p\to p}$

ここで を証明します。 ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

（１）       （先ほど証明した定理の最初の部分の例）${\displaystyle \neg \neg \neg p\to \neg p}$

（２）       （（Ａ３）の例）${\displaystyle (\neg \neg \neg p\to \neg p)\to (p\to \neg \neg p)}$

（３）       （（１）と（２）からモーダスポネンスにより）${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

そして証明は完了しました。

• ゲーデル＝ゲンツェンの負の翻訳

• ウィリアム・ハミルトン、1860年、「形而上学と論理学に関する講義、第2巻。論理学、ヘンリー・マンセルとジョン・ヴィーチ編、ボストン、グールド・アンド・リンカーン」。
• クリストフ・ジークヴァルト、1895年、「論理学：判断、概念、推論」第2版、ヘレン・デンディ訳、マクミラン社、ニューヨーク。
• Stephen C. Kleene、1952年、「Introduction to Metamathematics」、1971年に訂正を加えた第6版、North-Holland Publishing Company、アムステルダム、NY、ISBN  0-7204-2103-9。
• Stephen C. Kleene、1967年、「Mathematical Logic」、Dover版2002年、Dover Publications、Inc、Mineola NY ISBN 0-486-42533-9 
• アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセル、『プリンキピア・マテマティカ』*56、第2版1927年、再版1962年、ケンブリッジ大学出版局。