補集合（集合論）

Aが集合である場合、 Aの絶対補集合(または単にAの補集合) は、 Aに含まれない要素の集合(暗黙的に定義されたより大きな集合内) です。言い換えれば、U を研究対象のすべての要素を含む集合とします。U が既に指定されているか、または明白かつ一意であるため、Uについて言及する必要がない場合、 Aの絶対補集合は、 UにおけるAの相対補集合です。^{[ 3 ] [ a ]}$${\displaystyle A^{c}=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.}$$

Aの絶対補数は通常次のように表されます。${\displaystyle A^{c}}$[ ^{3 ]}その他の表記法には以下が含ま^れる${\displaystyle {\overline {A}}}$[ ^{4 ]​}${\displaystyle A',}$^{[ 2 ]}$補集合UA、および補集合A。$^{[ 5 ]}

• 宇宙を整数の集合と仮定します。Aが奇数の集合である場合、Aの補集合は偶数の集合です。Bが3 の倍数の集合である場合、 Bの補集合は 3 を法として1 または 2 に合同な数の集合です(または、より簡単に言えば、3 の倍数ではない整数の集合です)。
• 宇宙を標準的な52枚のトランプデッキと仮定します。集合Aがスペードのスートである場合、Aの補集合はクラブ、ダイヤ、ハートのスートの和集合です。集合Bがクラブとダイヤのスートの和集合である場合、Bの補集合はハートとスペードのスートの和集合です。
• 集合論で記述される集合の集合を宇宙とする場合、集合の絶対補集合は一般にそれ自体が集合ではなく、真クラスとなる。詳細については、「普遍集合」を参照のこと。

Uを集合とする。AとB を、 U内の 2 つの集合とする。以下の恒等式は、絶対補集合の重要な性質を表している。

ド・モルガンの法則：^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.}$

補完法則：^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle A\cup A^{c}=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{c}=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset ^{c}=U.}$
• ${\displaystyle U^{c}=\emptyset .}$
• ${\displaystyle {\text{A\subseteq B{\text{ならば}}B^{c}\subseteq A^{c}。}$

  （これは条件文とその対偶が同値であることから導かれる。）

対合法則または二重補数法則：

• ${\displaystyle \left(A^{c}\right)^{c}=A.}$

相対補語と絶対補語の関係：

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c}.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B=A^{c}\cup (B\cap A).​​}$

一定の差を伴う関係性：

• ${\displaystyle A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A.}$

上記の最初の 2 つの補集合法則は、A がUの空でない真部分集合である場合、{ A , A ^∁ }がUの分割であることを示しています。

AとBが集合である場合、 BにおけるAの相対補集合^{[ 3 ]}（BとAの集合差^{[ 6 ]}とも呼ばれる）は、Bには含まれるがAには含まれない要素の集合である。

AのBにおける相対補集合は次のように表されます。${\displaystyle B\setminus A}$ISO 31-11規格によれば、${\displaystyle BA,}$しかし、この表記法は曖昧になる可能性があり、文脈によっては（例えば、関数解析におけるミンコフスキー集合演算など）すべての要素の集合として解釈されることがある。${\displaystyle ba,}$ここで、 bはBから、aはAから取られる。

正式には： $${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.}$$

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}$
• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}$
• もし${\displaystyle \mathbb {R} }$は実数の集合であり、${\displaystyle \mathbb {Q} }$は有理数の集合である。${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$は無理数の集合です。

Uを集合とする。A 、B、Cを3 つの集合とする。以下の恒等式は、相対補集合の注目すべき性質を捉えている。

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}$

  重要な特別ケース${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$交差演算は相対補数演算のみを用いて表現できることを示している。

• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}$
• ${\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}$
• もし${\displaystyle A\subset B}$、 それから${\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}$。
• ${\displaystyle A\supseteq B\setminus C}$と同等${\displaystyle C\supseteq B\setminus A}$。