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一般的に、ランダム性とは、情報における明確なパターンや予測可能性の見かけ上または実際の欠如を指します。 [ 1 ] [ 2 ]ランダムなイベント、シンボル、またはステップのシーケンスは、多くの場合、順序がなく、理解可能なパターンや組み合わせに従いません。個々のランダムなイベントは、定義上予測不可能ですが、既知の確率分布がある場合、繰り返されるイベント（または「試行」）における異なる結果の頻度は予測可能です。[注1 ]例えば、2つのサイコロを投げる場合、特定のロールの結果は予測不可能ですが、合計が7になる頻度は、4になる頻度の2倍になります。この観点からすると、ランダム性は無秩序ではなく、結果の不確実性の尺度です。ランダム性は、偶然、確率、および情報エントロピーの概念に適用されます。
数学、確率論、統計学の分野では、ランダム性について形式的な定義が用いられ、通常は何らかの「客観的な」確率分布が存在すると仮定されます。統計学では、ランダム変数は事象空間のそれぞれの可能な結果に数値を割り当てるものです。この対応関係により、事象の特定と確率の計算が容易になります。ランダム変数はランダムな数列に現れることがあります。ランダム過程とは、結果が決定論的なパターンに従わず、確率分布によって記述される変化に従うランダム変数の列です。これらの概念やその他の概念は、確率論やランダム性の様々な応用において非常に有用です。
統計学では、ランダム性は明確に定義された統計的特性を示すために最もよく使用されます。ランダムな入力（乱数発生器や擬似乱数発生器など）に依存するモンテカルロ法は、科学、特に計算科学の分野で重要な手法です。[ 3 ]同様に、準モンテカルロ法は準乱数発生器を使用します。
ランダム選択は、狭義には単純ランダムサンプルと関連付けて、母集団から項目（しばしば単位と呼ばれる）を選択する方法であり、特定の項目を選択する確率は、母集団におけるそれらの項目の割合になります。たとえば、赤いビー玉が10個、青いビー玉が90個入ったボウルの場合、ランダム選択メカニズムでは、1/10の確率で赤いビー玉が選択されます。このボウルから10個のビー玉を選択するランダム選択メカニズムでは、必ずしも赤いビー玉が1個、青いビー玉が9個になるとは限りません。母集団が区別可能な項目で構成されている場合、ランダム選択メカニズムでは、どの項目も選択される確率が等しくなければなりません。つまり、選択プロセスが、母集団の各メンバー（たとえば研究対象者）が選択される確率が同じである場合、その選択プロセスはランダムであると言えます。[ 2 ]
ラムゼー理論によれば、純粋なランダム性（明確なパターンが存在しないという意味で）は、特に大規模な構造物においては不可能である。数学者のテオドール・モツキンは、「一般的に無秩序の方が起こりやすいが、完全な無秩序は不可能である」と示唆した。[ 4 ]これを誤解すると、数多くの陰謀論につながる可能性がある。[ 5 ]クリスティアン・S・カルードは、「真のランダム性は不可能であるため、努力はランダム性の度合いの研究に向けられる」と述べた。[ 6 ]ランダム性の形態には、（質や強さの点で）無限の階層が存在することが証明できる。[ 6 ]
古代の歴史において、偶然とランダム性の概念は運命の概念と密接に結びついていました。多くの古代の人々は運命を決めるためにサイコロを振り、これが後に偶然のゲームへと発展しました。ほとんどの古代文化は、ランダム性と運命を回避しようと、さまざまな占いの方法を用いました。 [ 7 ] [ 8 ]宗教や偶然のゲームを超えて、ランダム性は少なくとも古代アテナイの民主主義のクレロテリオンの形で抽選に用いられてきたことが証明されています。[ 9 ]
確率と偶然の形式化は、おそらく3000年前の中国人が最初に行った。ギリシャの哲学者たちはランダム性について詳しく議論したが、定量的ではない形式に限られていた。16世紀になって初めて、イタリアの数学者たちが様々な偶然のゲームに関連する確率を形式化し始めた。微積分学の発明は、ランダム性の形式的研究にプラスの影響を与えた。ジョン・ヴェンは、 1888年版の著書『偶然の論理』の中で、 「ランダム性の概念」という章を書き、円周率（π）の桁を使って2次元のランダムウォークを構築することで、πの桁のランダム性についての見解を示した。[ 10 ]
20世紀初頭には、確率の数学的基礎に対する様々なアプローチが導入されたことで、ランダム性の形式的分析が急速に発展した。20世紀中頃から後半にかけては、アルゴリズム情報理論の概念がアルゴリズム的ランダム性という概念を通して、この分野に新たな次元をもたらした。
ランダム性は、何世紀にもわたって障害や厄介事と見なされてきたが、20世紀になると、コンピュータ科学者たちは、計算に意図的にランダム性を導入することが、より優れたアルゴリズムを設計するための効果的なツールになり得ることに気づき始めた。場合によっては、このようなランダム化されたアルゴリズムは、最良の決定論的手法よりも優れた性能を発揮することさえある。[ 11 ]
多くの科学分野はランダム性に関心を寄せている。
19世紀、科学者たちは分子のランダムな運動という考え方を統計力学の発展に利用し、熱力学における現象や気体の性質を説明しようとした。
量子力学のいくつかの標準的な解釈によれば、微視的な現象は客観的にランダムである。[ 12 ]つまり、因果関係のあるすべてのパラメーターを制御する実験でも、結果のいくつかの側面は依然としてランダムに変化する。たとえば、不安定な原子1個を制御された環境に置いた場合、原子が崩壊するのにどれくらいの時間がかかるかを予測することはできない。予測できるのは、特定の時間内に崩壊する確率だけである。[ 13 ]したがって、量子力学は個々の実験の結果を指定するのではなく、確率のみを指定する。隠れた変数理論は、自然界には還元不可能なランダム性が含まれているという見解を否定する。このような理論は、ランダムに見えるプロセスでは、特定の統計分布を持つ特性が舞台裏で働き、それぞれのケースで結果を決定していると仮定する。
現代の進化論的総合説では、観察される生命の多様性は、ランダムな遺伝子突然変異とその後の自然選択によるものとされている。自然選択は、突然変異した遺伝子が持つ個体に生存と繁殖の機会を体系的に向上させるため、遺伝子プールにいくつかのランダムな突然変異を残す。しかし、突然変異の位置は完全にランダムではなく、例えば生物学的に重要な領域は突然変異からより保護されている可能性がある。[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]
また、進化（そして時には発達）には、特定の形態のランダム性、すなわち質的に新しい行動の導入が必要であると主張する著者も複数いる。あらかじめ与えられた複数の可能性の中から1つを選択する代わりに、このランダム性は新しい可能性の形成に対応する。[ 17 ] [ 18 ]
生物の特性は、ある程度決定論的に（例えば、遺伝子や環境の影響下で）生じ、ある程度ランダムに生じます。例えば、人の皮膚に現れるそばかすの密度は遺伝子と光への曝露によって制御されますが、個々のそばかすの正確な位置はランダムであるように見えます。[ 19 ]
行動に関して言えば、動物が他者にとって予測不可能な行動をとるためには、ランダム性が重要となる。例えば、飛行中の昆虫は方向をランダムに変えながら移動する傾向があり、追跡する捕食者がその軌道を予測することを困難にしている。
確率論は、もともとはギャンブルの文脈で、後に物理学と関連付けられるようになった、偶然の出来事を数学的に記述しようとする試みから生まれた数学理論である。統計学は、一連の経験的観測の根底にある確率分布を推測するために用いられる。シミュレーションを行うには、大量の乱数を用意するか、必要に応じて乱数を生成する手段が必要となる。
アルゴリズム情報理論は、とりわけ、ランダムシーケンスとは何かを研究する。中心となる考え方は、ビット列がランダムであるのは、その列を生成できる任意のコンピュータプログラムよりも短い場合のみである（コルモゴロフランダム性）。つまり、ランダムな文字列は圧縮できない文字列である。この分野の先駆者には、アンドレイ・コルモゴロフとその弟子であるペル・マルティン＝レーフ、レイ・ソロモノフ、グレゴリー・チャイティンなどがいる。無限シーケンスの概念については、数学者は一般的にペル・マルティン＝レーフの半同名の定義を受け入れている。すなわち、無限シーケンスは、再帰的に列挙可能なすべての空集合に耐える場合に限りランダムである。[ 20 ]ランダムシーケンスの他の概念には、再帰的に計算可能なマルチンゲールに基づく再帰的ランダム性やシュノールランダム性などがある。これらのランダム性の概念は一般的に異なることがヨンゲ・ワンによって示された。 [ 21 ]
log(2)やπのような数にはランダム性があります。πの小数部分は無限数列を構成し、「決して周期的に繰り返されない」のです。πのような数は、正規分布に近いと考えられています。
円周率πは確かにこのような振る舞いをするように見える。πの最初の60億桁では、0から9までの数字がそれぞれ約6億回現れる。しかし、このような結果は偶然である可能性があり、10進数でさえ正規性を証明するものではなく、ましてや他の数体系での正規性を証明するものではない。[ 22 ]
統計学では、単純無作為標本を作成するためにランダム性が一般的に用いられます。これにより、完全に無作為に選ばれた集団を対象とした調査から、母集団を反映した現実的なデータを得ることができます。一般的な方法としては、帽子から名前を引くことや、乱数表（乱数の大きな表）を用いることなどが挙げられます。
情報科学において、無関係なデータや意味のないデータはノイズとみなされる。ノイズは、統計的にランダムな時間分布を持つ、多数の一時的な擾乱から構成される。
通信理論において、信号におけるランダム性は「ノイズ」と呼ばれ、信号の発生源、すなわち信号自体に起因する変動成分とは対立する概念である。
ランダムネットワークの開発に関して言えば、通信のランダム性は、ポール・エルデシュとアルフレッド・レーニの2つの単純な仮定に基づいている。彼らは、ノードの数は固定されており、この数はネットワークの寿命の間固定されたままであり、すべてのノードは等しく、互いにランダムにリンクされていると述べた。[ 23 ]
ランダムウォーク仮説は、組織化された市場における資産価格はランダムに変動すると考える。つまり、価格変動の期待値はゼロであるが、実際の値はプラスにもマイナスにもなり得るということである。より一般的に言えば、資産価格は、一般的な経済環境における様々な予測不可能な出来事の影響を受ける。
一部の管轄区域では、無作為抽出が同数票の選挙を解決する公式の方法となることがある。[ 24 ]政治におけるその使用ははるか昔に遡る。古代アテネでは、現代の投票ではなく、多くの役職がくじ引きで選ばれていた。
ランダム性は、宇宙は過去と未来のあらゆる出来事を知っている全知全能の神によって創造されたとする宗教など、一部の宗教の決定論的な考え方と矛盾すると見なされることがある。宇宙に何らかの目的があるとすれば、ランダム性はあり得ないと考えられる。これは、ランダムな遺伝的変異の結果に非ランダムな選択が適用されると主張する進化論に対する宗教的反対の根拠の一つである。
ヒンドゥー教と仏教の哲学では、カルマの概念に反映されているように、あらゆる出来事は過去の出来事の結果であるとされています。そのため、この概念はランダム性の概念とは相容れず、両者を調和させるには説明が必要となります。[ 25 ]
宗教的な文脈によっては、一般的にランダム化手法とみなされる方法が占いに用いられることがある。例えば、骨やサイコロを投げることで、神々の意思とされるものを明らかにするという占術がある。
数学、政治、社会、宗教など、ほとんどの分野において、ランダム性はその本質的な「公平性」と偏りのなさゆえに利用されている。
政治：アテナイの民主主義はイソノミア（政治的権利の平等）の概念に基づいており、アテナイを運営する統治委員会の役職が公平に割り当てられるよう、複雑な配分装置が用いられていた。現在、配分はアングロサクソン法制度における陪審員の選任、および陪審員の選任や徴兵のくじ引きなど、 「公平性」がランダム化によって近似される状況に限られている。
ゲーム：乱数はギャンブルの文脈で初めて研究され、サイコロ、トランプのシャッフル、ルーレットホイールなど、多くの乱数生成装置はギャンブルで使用するために最初に開発されました。乱数を公平に生成する能力は電子ギャンブルにとって不可欠であり、そのため、乱数生成に使用される方法は通常、政府のゲーム管理委員会によって規制されています。ランダム抽選は宝くじの当選者を決定するためにも使用されます。実際、ランダム性は歴史を通じて偶然のゲームに使用され、望ましくないタスクに公平な方法で個人を選択するためにも使用されてきました（くじ引きを参照）。
スポーツ：アメリカンフットボールなど一部のスポーツでは、試合開始時の条件をランダムに決定したり、ポストシーズンで同率となったチームのシード順位を決めたりするために、コイントスが用いられます。全米バスケットボール協会（NBA）は、ドラフトにおけるチームの順位付けに加重抽選方式を採用しています。
数学：乱数は、世論調査のサンプリングや品質管理システムにおける統計的サンプリングなど、数学的に重要な用途にも用いられます。モンテカルロ法や遺伝的アルゴリズムなど、一部の問題に対する計算解法では乱数が多用されます。
医学：臨床介入のランダム割り付けは、対照試験（例：ランダム化比較試験）におけるバイアスを軽減するために用いられる。
宗教：意図されたランダムな出来事ではないものの、占術などの様々な形態の占いは、ランダムに見える出来事を、神的存在が自らの意志を伝える手段とみなします（詳しくは自由意志と決定論も参照）。
一般的に、システムにおける（一見）ランダムな挙動の原因となるメカニズムは3つ存在すると考えられている。
ランダム性の多様な応用により、ランダムデータを生成するための様々な方法が開発されてきた。これらの方法は、予測不可能性や統計的なランダム性の度合い、そして乱数を生成できる速度において多様である。
計算機による乱数発生器が登場する以前は、統計学において重要な、十分な乱数を大量に生成するには多大な労力が必要だった。その結果は、乱数表として収集・配布されることもあった。
バイナリシーケンスのランダム性には多くの実用的な尺度があります。これらには、頻度、離散変換、複雑性、またはこれらの組み合わせに基づく尺度が含まれます。例えば、Kak、Phillips、Yuen、Hopkins、BethとDai、Mund、MarsagliaとZamanによるテストなどです。[ 26 ]
ランダム性に関する一般的な認識はしばしば誤っており、誤った推論や直感に基づいていることが多い。
この議論は、「ランダムに数字を選択する場合、すべての数字はいずれ出現するので、まだ出現していない数字は『出現するべき』であり、したがって近いうちに出現する可能性が高い」というものです。この論理は、出現した数字がシステムから取り除かれるシステム、例えばトランプを引いてデッキに戻さないシステムにのみ適用されます。この場合、ジャックがデッキから取り除かれると、次に引くカードがジャックになる可能性は低くなり、他のカードになる可能性が高くなります。しかし、ジャックがデッキに戻され、デッキが完全にシャッフルされると、ジャックが引かれる可能性は他のどのカードが引かれる可能性と同じになります。サイコロを振る、コインを投げる、ほとんどの宝くじの番号選択方式など、オブジェクトが独立して選択され、各イベント後に何も取り除かれない他のプロセスにも同じことが当てはまります。このような真にランダムなプロセスには記憶がないため、過去の結果が将来の結果に影響を与えることは不可能です。実際、成功を保証できる有限の試行回数はありません。
ランダムな数列において、ある数字は過去にあまり出現していないため、将来もあまり出現しないと考えられ、「呪われている」と言われることがあります。一方、ある数字は過去に他の数字よりも多く出現しているため、将来もより多く出現すると考えられ、「祝福されている」と言われることがあります。この論理は、ランダム化に偏りがある可能性がある場合にのみ有効です。例えば、サイコロに不正操作が疑われる場合、十分な数の6が出ないことが不正操作の証拠となります。サイコロが公平であることが分かっている場合は、過去の出目から将来の出来事を予測することはできません。
自然界では、事象の発生頻度が事前に分かっていることは稀であるため、結果を観察してどの事象がより起こりやすいかを判断することは理にかなっている。しかし、シャッフルされたカード、サイコロ、ルーレットなど、すべての結果が等しく起こりやすいように設計され、かつそのように知られているシステムにこの論理を適用するのは誤りである。
シナリオの初期段階では、ある事象の確率を計算することがある。しかし、シナリオに関する情報が増えるにつれて、それに応じて確率を再計算する必要が生じる場合がある。
例えば、ある女性に子供が二人いると聞いたとき、どちらか一方が女の子かどうか、そしてもし女の子であれば、もう一人の子供も女の子である確率を知りたいと思うかもしれません。この二つの事象を独立して考えると、もう一人の子供が女の子である確率は 1/2 (50%) と予想するかもしれませんが、起こりうるすべての結果を図示する確率空間を構築してみると、実際の確率は 1/3 (33%) しかないことに気づくでしょう。
確かに、確率空間では、この2人の子供が生まれる4つの方法、すなわち男の子-男の子、女の子-男の子、男の子-女の子、女の子-女の子が示されています。しかし、少なくとも1人の子供が女の子であることが分かると、男の子-男の子のシナリオは除外され、2人の子供が生まれる方法は男の子-女の子、女の子-男の子、女の子-女の子の3つだけになります。このことから、これらのシナリオのうち、もう1人の子供も女の子になるのは3分の1だけであることがわかります[ 28 ]（詳しくは「男の子か女の子かのパラドックス」を参照）。
一般的に、確率空間を用いることで、起こりうるシナリオを見落としたり、新しい情報の重要性を軽視したりする可能性が低くなります。この手法は、モンティ・ホール問題のような他の状況でも洞察を得るために使用できます。モンティ・ホール問題とは、3つのドアのうち1つの後ろに車が隠されており、残りのドアの後ろには2匹のヤギがブービー賞として隠されているゲームショーのシナリオです。出場者がドアを1つ選択すると、司会者は残りのドアの1つを開けてヤギを見せ、そのドアを選択肢から除外します。残りのドアは2つ（1つは車、もう1つはヤギ）だけなので、プレイヤーは自分の選択を維持するか、別のドアに変更するかを決めなければなりません。直感的には、プレイヤーは2つのドアを等しい確率で選択しており、別のドアを選択する機会は違いをもたらさないと考えるかもしれません。しかし、確率空間を分析すると、出場者が新しい情報を受け取っており、別のドアに変更することで勝つ可能性が高まることが明らかになります。[ 28 ]
そばかすの分布は完全にランダムであり、皮膚の他の明らかな点状の解剖学的または生理学的特徴とは関連していないようです。