凸円錐

線型代数において、円錐（他の種類の円錐と区別するために線型円錐と呼ばれることもある）は、正のスカラー乗算に関して閉じたベクトル空間の部分集合です。つまり、すべての正のスカラーに対して が成り立つ場合、 は円錐です。円錐は凸である必要はなく、ユークリッド空間の円錐のように見える必要もありません。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle x\in C}$${\displaystyle sx\in C}$${\displaystyle s}$

スカラーが実数であるか、順序体に属する場合、一般に円錐は、正のスカラーによる乗算に対して閉じているベクトル空間の部分集合と呼ばれます。この文脈では、凸円錐は加算に対して閉じている円錐、または同義語として、正の係数を持つ線型結合に対して閉じているベクトル空間の部分集合です。したがって、凸円錐は凸集合です。^[1]

この記事では、順序付けられたフィールド内のスカラーの場合のみを検討します。

順序体上のベクトル空間の部分集合 が円錐（または線型円錐と呼ばれることもある）であるとは、の各および の正のスカラーに対して、その積が となることをいう。^[2]円錐の定義に、すべての非負スカラー（0 を含まないすべての正のスカラーではなく）にわたるスカラーを用いる人もいることに注意すること。 ^[3]${\displaystyle C}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \alpha x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha}$

円錐が凸円錐であるとは、が に属し、任意の正のスカラー、、および の任意のである場合に限ります。^{[4] [5]} 円錐が凸であるとは、 の場合に限ります。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha x+\beta y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C+C\subseteq C}$

この概念は、有理数、代数、または（より一般的には）実数上の空間など、「正の」スカラーの概念を許容する任意のベクトル空間に対して意味を持ちます。また、定義内のスカラーは正であるため、原点が に属する必要がないことにも注意してください。一部の著者は、原点が に属することを保証する定義を使用しています。^[6]スケーリングパラメータとのため、円錐は範囲が無限であり、有界ではありません。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

が凸円錐である場合、任意の正のスカラーとベクトル内の任意の に対して、凸円錐は線型円錐の特殊なケースであることがわかります。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha x={\tfrac {\alpha }{2}}x+{\tfrac {\alpha }{2}}x\in C.}$${\displaystyle C}$

上記の特性から、凸錐は凸結合、または加算のみで閉じている線型錐としても定義できることがわかります。より簡潔に言えば、任意の正のスカラー に対して、かつ の場合のみ、集合は凸錐です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha C=C}$${\displaystyle C+C=C}$${\displaystyle \alpha }$

• ベクトル空間 の場合、空集合、空間、および の任意の線型部分空間は凸錐です。${\displaystyle V}$${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$
• 内の有限または無限のベクトルの円錐包は凸円錐です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 凸集合の接円錐は凸円錐です。
• この集合は円錐ですが、凸円錐ではありません。$${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} ^{2}\mid x_{2}\geq 0,x_{1}=0\right\}\cup \left\{x\in \mathbb {R} ^{2}\mid x_{1}\geq 0,x_{2}=0\right\}}$$
• ノルム円錐 は凸円錐です。$${\displaystyle \left\{(x,r)\in \mathbb {R} ^{d+1}\mid \|x\|\leq r\right\}}$$
• 同じベクトル空間内の 2 つの凸円錐の交差も凸円錐ですが、それらの和は 1 つにならない場合があります。
• 凸錐のクラスは、任意の線型写像に対しても閉じています。特に、 が凸錐であれば、その反対の も凸錐であり、 はに含まれる最大の線型部分空間です。${\displaystyle C}$${\displaystyle -C}$${\displaystyle C\cap -C}$${\displaystyle C}$
• 半正定値行列の集合。
• 非負連続関数の集合は凸錐です。

アフィン凸円錐は、凸円錐にアフィン変換を適用した結果の集合です。^[7]一般的な例としては、凸円錐を点p : p + Cで変換することが挙げられます。技術的には、このような変換によって非円錐が生成されることがあります。たとえば、p = 0でない限り、p + C は線形円錐ではありません。ただし、それでもアフィン凸円錐と呼ばれます。

（線型）超平面は、ベクトル空間V上の線型関数fを基準とする形式の集合である。閉半空間はまたは形式の集合であり、同様に開半空間は厳密な不等式を使用する。^{[8] [9]}${\displaystyle \{x\in V\mid f(x)=c\}}$${\displaystyle \{x\in V\mid f(x)\leq c\}}$${\displaystyle \{x\in V\mid f(x)\geq c\},}$

半空間（開または閉）はアフィン凸錐である。さらに（有限次元では）、空間V全体ではない任意の凸錐C は、 Vの閉じた半空間Hに必ず含まれる。これはFarkas の補題の特別な場合である。

多面体円錐はいくつかの方法で定義できる特殊な円錐である: ^{[10] : 256–257}

• 円錐が多面体であるとは、それが有限個のベクトルの円錐包である場合である（この性質は有限生成とも呼ばれる）。^{[11] [12]}すなわち、となる ベクトルの集合が存在する 。${\displaystyle C}$${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{k}\}}$${\displaystyle C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0},v_{i}\in \mathbb {R} ^{n}\}}$
• 円錐は、境界に0を持つ有限個の半空間の交差である場合に多面体である（最初の2つの定義の同値性は1935年にワイルによって証明された）。^{[13] [14]}
• となるような行列が存在する場合、円錐は多面体です。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$${\displaystyle C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\geq 0\}}$
• 円錐が多面体であるとは、同次線型不等式の解集合であることを意味します。代数的には、各不等式は行列の行によって定義されます。幾何学的には、各不等式は原点を通る半空間を定義します。${\displaystyle A}$

すべての有限生成円錐は多面体円錐であり、すべての多面体円錐は有限生成円錐である。^[11] すべての多面体円錐は、その極値生成子の円錐殻として一意の表現を持ち、半空間に関連付けられた各線型形式が面のサポート超平面も定義する場合、半空間の交差の一意の表現を持つ。^[15]

多面体錐は多面体の表現理論において中心的な役割を果たしている。例えば、多面体の分解定理によれば、あらゆる多面体は凸多面体と多面体錐のミンコフスキー和として表すことができる。 ^{[16] [17]}多面体錐は、あらゆる多面体は多面体であり、あらゆる有界多面体は多面体であることを示す多面体の関連する有限基底定理を証明する上でも重要な役割を果たしている。^{[16] [18] [19]}

多面体円錐の 2 つの表現 (不等式による表現とベクトルによる表現) は、サイズが大きく異なる場合があります。たとえば、行と列の合計が等しいすべての非負の- 行 -列の行列の円錐を考えてみましょう。不等式表現には不等式と方程式が必要ですが、ベクトル表現にはベクトルが必要です(バーコフ-フォン ノイマンの定理を参照)。逆のことも起こり得ます。つまり、ベクトルの数は多項式であるのに、不等式の数は指数関数的である可能性があります。^{[10] : 256}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle n!}$

2 つの表現を組み合わせることで、与えられたベクトルが円錐内にあるかどうかを効率的に判断できます。円錐内にあることを示すには、定義ベクトルの円錐結合として提示するだけで十分です。円錐内にないことを示すには、それが違反する単一の定義不等式を提示するだけで十分です。この事実はFarkas の補題として知られています。

ベクトルによる表現の微妙な点は、ベクトルの数が次元の指数関数的になる可能性があるため、ベクトルが円錐内にあることの証明が指数関数的に長くなる可能性があることです。幸いなことに、カラテオドリの定理により、円錐内のすべてのベクトルは、最大で定義ベクトル ( は空間の次元) で表現できることが保証されます。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

上記の定義によれば、Cが凸錐であれば、C ∪ { 0 }も凸錐である。凸錐は次のように表現される。0Cにある場合は指し示され、0Cにない場合は鈍い。^[2][20]鈍い円錐は、α、βの条件で「正」を「非負」に置き換えることで凸円錐の定義から除外できる。

円錐は、非零のベクトルxとその逆ベクトル − xを含む場合、平坦円錐と呼ばれます。つまり、C には少なくとも 1 次元の線型部分空間が含まれます。それ以外の場合は、突出円錐と呼ばれます。 ^{[21] [22]} 鈍い凸円錐は必ず突出円錐になりますが、その逆は必ずしも真ではありません。凸円錐Cが突出円錐になるのは、C ∩ − C ⊆ { 0 } の場合のみです。円錐 C がベクトル空間全体に等しい場合、円錐Cは生成円錐と呼ばれます。 ^[23]${\displaystyle C-C=\{x-y\mid x\in C,y\in C\}}$

著者によっては、突出円錐は尖っている必要があるとしている。^[24] 「尖った」という用語は、完全な直線を含まない閉じた円錐（つまり、周囲ベクトル空間Vの非自明な部分空間、つまり突出円錐と呼ばれるもの）を指す場合にもよく使用される。^{[25] [26] [27]}適切な（凸）円錐という 用語は、文脈や著者によって定義がさまざまである。これは、凸状、閉じている、尖っている、突出している、フルディメンションであるなどの他の特性を満たす円錐を意味することが多い。^{[28] [29] [30]}これらのさまざまな定義のため、これらの用語の定義については文脈または情報源を参照する必要がある。

純粋数学者が特に興味を持つ円錐の一種に、有理円錐の半順序集合がある。「有理円錐は、トーリック代数幾何学、組合せ論的可換代数、幾何的組合せ論、整数計画法における重要なオブジェクトである。」^{[31]このオブジェクトは、}格子とともに円錐を研究するときに生じる。円錐は、その生成元がすべて整数座標を持つ場合、つまり が有理円錐である場合、ある に対して である場合に、有理円錐と呼ばれる（ここでは、上で定義したように「尖っている」と仮定する）。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{+}\}}$${\displaystyle v_{i}\in \mathbb {Z} ^{d}}$

C ⊂ V を、内積を備えた実ベクトル空間V内の集合（必ずしも凸集合ではない）とする。Cへの（連続または位相的な）双対錐は、集合

${\displaystyle C^{*}=\{v\in V\mid \forall w\in C,\langle w,v\rangle \geq 0\},}$

これは常に凸錐です。ここで、はCとVの間の双対性ペアリング、つまりです。 ${\displaystyle \langle w,v\rangle }$${\displaystyle \langle w,v\rangle =v(w)}$

より一般的には、線型空間 V におけるC ⊂ Vへの (代数的) 双対錐は、次のように定義される双対空間 V*のサブセットです。

${\displaystyle C^{*}:=\left\{v\in V^{*}\mid \forall w\in C,v(w)\geq 0\right\}.}$

言い換えれば、V*がVの代数的双対空間である場合、C* は主錐C上の非負の線型関数の集合です。 V* を連続双対空間とすると、それはC上の非負の連続線型関数の集合です。^{[32]この概念は、} V上の内積の指定を必要としません。

有限次元では、2つの双対錐の概念は本質的に同じです。なぜなら、有限次元の線型関数はすべて連続であり、^[33]内積空間内の連続線型関数はすべて、V*からVへの線型同型（非特異線型写像）を誘導し、この同型は、 V*における2番目の定義で与えられた双対錐を、最初の定義で与えられた双対錐上に置くからです。リースの表現定理を参照してください。^[32]

C がその双対錐に等しい場合、Cは自己双対と呼ばれます。最初の定義により、錐が双対に等しい内積が存在する場合、錐は、与えられた内積を参照せずに自己双対であると言えます。

• ヒルベルト空間Vの閉じた凸集合Kが与えられたとき、K内の点xにおける集合Kへの外向き法線錐は次のように与えられる。

  ${\displaystyle N_{K}(x)=\left\{p\in V\colon \forall x^{*}\in K,\left\langle p,x^{*}-x\right\rangle \leq 0\right\}.}$

• Vの閉じた凸部分集合K が与えられたとき、点xにおける集合Kの接円錐（または条件円錐）は次のように与えられる。

  ${\displaystyle T_{K}(x)={\overline {\bigcup _{h>0}{\frac {K-x}{h}}}}.}$

• ヒルベルト空間Vの閉じた凸部分集合Kが与えられたとき、K内の点xにおける集合Kの接円錐は、外向きの法円錐に対する極円錐として定義できます。 ${\displaystyle N_{K}(x)}$

  ${\displaystyle T_{K}(x)=N_{K}^{o}(x)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{y\in V\mid \forall \xi \in N_{K}(x):\langle y,\xi \rangle \leqslant 0\}}$

法線円錐と接線円錐はどちらも閉じていて凸状であるという特性を持っています。

これらは、凸最適化、変分不等式、射影動的システムの分野における重要な概念です。

CがX内の空でない凸錐であれば、 Cの線型範囲はC - Cに等しく、 Cに含まれるXの最大のベクトル部分空間はC∩ (−C )に等しい。^[34]

尖った突出した凸錐C は、 V上に部分順序"≥"を誘導します。これは、 が成り立つ場合のみ と定義されます(錐が平坦な場合は、同じ定義で単に事前順序が得られます)。この順序に関する有効な不等式の和と正のスカラー倍は、有効な不等式のままです。このような順序を持つベクトル空間は、順序付きベクトル空間と呼ばれます。例としては、実数値ベクトルの積順序や、半正定値行列のLoewner 順序などがあります。このような順序は、半正定値計画法でよく見られます。 ${\displaystyle x\geq y}$${\displaystyle x-y\in C.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

• コーン（曖昧さ回避）
  • 円錐（幾何学）
  • 円錐（トポロジー）
• ファルカスの補題
• 双極定理
• 順序ベクトル空間

• ブルバキ、ニコラス(1987)。位相ベクトル空間。数学の要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-13627-9。
• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
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