穴のある多角形

幾何学において、穴のある多角形は、1つの外部境界と1つ以上の内部境界（穴）を持つ、領域で接続された平面多角形です。 ^{[1]穴のある多角形は、新しいエッジを追加することで複数のポリゴンに}分割できるため、頻繁に必要になることはありません。

通常の多角形は単純連結であると言えますが、穴のある多角形は多重連結であると言えます。H穴のある多角形はH連結です。^[2]

退化のケースも考えられますが、適切に形成された穴あき多角形は、外部境界と内部境界の間、または内部境界同士が接触してはなりません。非退化の穴は、内部点境界 (モノゴン) と単一エッジ境界 (ディゴン) を除いて、3 つ以上の辺を持つ必要があります。

計算リストの領域塗りつぶしアルゴリズムでは、外部境界頂点は反時計回りに、内部境界は時計回りにリストすることができます。これにより、内部領域を各エッジの左側として定義できます。^[3]

穴のあるポリゴンは、境界間に接続する二重エッジを追加（縮退）するか、2 つ以上の単純なポリゴンに分割または三角形化することで、通常の一筆書き境界パスに変換できます。

穴のある多角形は、多面体の面として考えることができます。これは、立方体の正方形の面の 1 つに小さな立方体が外部に配置され(拡張)、共通の面が削除されたようなものです。ドーナツ型多面体は、穴のあいた面を反対側の穴のあいた面に接続して定義することもできます (掘削)。穴のあいた面を持つ多面体の1 スケルトン(頂点と辺) は、接続されたグラフではありません。接続された辺の各セットは、辺で接続された穴が面で置き換えられると、個別の多面体になります。

穴あき面多面体のオイラー特性は、頂点がV個、辺がE個、面がF個、面の穴が H個の場合、 χ = V - E + F = 2(1- g ) + H、種数 gです。

例

• 
  (種数 0) 2 つの 1 穴面 (上面と下面) を持つ。V
  =16、E=20、F=8、H=2。3
  接続
• 
  2つの1穴面を持つトロイド（種数1）。V
  =16、E=24、F=10、H=2。2
  接続
• 
  (種数 0) 1 つの 1 穴面を持つ。V
  =16、E=24、F=11、H=1。2
  連結
• 
  (種数0)、6つの1穴面を持つ。V
  =32、E=36、F=12、H=6。7
  接続
• 
  トロイド（種数5）、6つの1穴面を持つ。V
  =40、E=72、F=30、H=6。2
  接続
• 
  2つの2穴面を持つトロイド（種数2）。V
  =24、E=36、F=14、H=4。3
  接続
• 
  2 穴面と 1 穴面を持つトロイド (種 1)。V
  =24、E=36、F=15、H=3。3
  接続
• 
  (種数0) 2面穴あり。V
  =24、E=36、F=16、H=2。3
  連結
• 
  2つの1穴面を持つトロイド（種族1）。V
  =24、E=36、F=14、H=2。2
  接続
• 
  2つの1穴面を持つトロイド（種族1）。V
  =32、E=48、F=18、H=2。2
  接続

縮退したホールの例

点穴のある面は、頂点 1 つと辺 1 つを追加した単角形穴とみなされ、半径 0 の円筒穴のように、縮退単角形細面体穴に接続できます。縮退二角形穴のある面は、頂点 2 つと一致する辺 2 つを追加し、2 つの辺は二面体穴として、2 つの同一平面の面に接続されます。

• 
  (種数1) 2つの(退化した点または一角形)1穴面を持つ。V
  =10、E=15、F=7、H=2。2
  接続
• 
  (種数1) 2つの(退化した二角形)1穴面を持つ。V
  =12、E=18、F=8、H=2。2
  連結

• プリンス ルパート キューブ— 単位立方体の穴を通過できる最大の立方体。