脊柱外側

ユークリッド幾何学において、螺旋多角形は、頂点の内角が一定で辺の長さが 1、2、3、...、n の連続した多角形が図形を閉じるまで繰り返される多角形です。必要な繰り返し回数をその多角形の周期と呼びます。[ ^1]単純な螺旋多角形には正の角度しかありません。単純な螺旋はアルキメデスの螺旋の一部を近似します。一般的な螺旋多角形には正の角度と負の角度が許容されます。

1回転で完了するスパイロラテラルは単純多角形ですが、1回転以上を必要とするものは星型多角形であり、自己交差する必要があります。^[2]単純スパイロラテラルは、 p頂点を持つ等角単純多角形<p> 、またはp頂点とq回転を持つ等角星型多角形< p / q >になります。

スパイロラテラルは、1962年に10代だったフランク・C・オッズによって発明され、グラフ用紙に描かれた90°の角度を持つ正方形のスパイロラテラルとして命名されました。1970年にオッズは、 60°と120°の角度を持つ三角形と六角形のスパイロラテラルを等角^[3]（三角形）グラフ用紙に描くことができることを発見しました。 ^{[4]オッズは}マーティン・ガードナーに手紙を書き、ガードナーは 1973年にその結果をMathematics Teacher ^{[5]で発表するようオッズに勧めました。[3]}

このプロセスはタートルグラフィックスで表現することができ、旋回角度と前進の指示を交互に繰り返しますが、旋回は固定された有理角度に制限されます。^[2]

最小のゴリゴンは、7 _90° ^{4 の}スピロラテラルで、7 つの直角で構成され、長さ 4 は凹状のターンをたどります。ゴリゴンは、1、2、3、… n の単一のシーケンスで閉じる必要があるという点で異なりますが、スピロラテラルは閉じるまでそのシーケンスを繰り返します。

単純なスパイロラテラル_は、すべて同じ方向に回転します。^[2]これはnθで表され、nは連続する整数の辺の長さの数、θは360°の任意の有理数の内角です。連続する辺の長さは、(1,2,..., n ) _θとして明示的に表すことができます。

注: 角度 θ は内角を表すため混乱を招く可能性がありますが、補助回転角度の方がわかりやすい場合があります。これら 2 つの角度は 90° で同じです。

これは、 < kp / kq >の形の等角多角形を定義します。ここで、角度 θ = 180(1−2 q / p )、k = n / d、d = gcd ( n、p ) です。d = nの場合、パターンは決して閉じません。 それ以外の場合は、kp頂点とkq密度を持ちます。 単純なスピロラテラルの周期的対称性はp / d倍です。

正多角形{ p } は、スパイロラテラルの特殊なケースで、 1 180(1−2/ p )° です。正星型_多角形{ p / q }は、スパイロラテラルの特殊なケースで、 1 _{180(1−2 q / p )°}です。等角多角形は、スパイロラテラルの特殊なケースで、 2 _{180(1−2/ p )°}または 2 _{180(1−2 q / p )°}です。

一般的なスパイロラテラルは左または右に曲がることができます。^[2]これはn _θ ^{a ₁ ,..., a _k}で表され、a _{i は}負の角度または凹角のインデックスです。^[6]たとえば、2 _60° ^{2 は}、 ±60°の内角を持ち、左または右に曲がる 交差長方形です。

予期しない閉じたスパイロラテラルは、1 サイクルで最初の頂点に戻ります。一般的なスパイロラテラルのみが閉じない場合があります。ゴリゴンは、予想される方向から閉じる、規則的な予期しない閉じたスパイロラテラルです。不規則な予期しない閉じたスパイロラテラルは、最初のポイントに戻りますが、間違った方向から戻ります。たとえば、7 _90° ⁴です。正しい方向で開始点に戻るには 4 サイクルかかります。^[2]

教育者アンナ・ウェルトマンによってループ・デ・ループ^{[7]とも呼ばれる}現代のスパイロラテラルは、( i ₁ ,..., i _n ) _θで表され、辺の長さとしてi _1からi _nまでの任意の整数列を使用できます。^[8]たとえば、(2,3,4) _90°では、辺の長さは 2、3、4 が繰り返されます。反対方向の回転には、負の整数の辺の長さを指定できます。たとえば、交差した長方形は、(1,2,−1,−2) _θで表されます。

開いたスパイロラテラルは決して閉じません。単純なスパイロラテラルn _θは、 n θ が360° の倍数である場合、gcd( p , n ) = pで決して閉じません。一般的なスパイロラテラルは、角度の半分が正で、半分が負の場合にも開くことがあります。

k 回の反対回転を持つスパイロラテラルn θ_を閉じるのに必要なサイクル数は、次のように計算できます。p / q =360/(180- θ )となるようにpとq を定義します。分数 ( p -2 q )( n -2 k )/2 pが完全にa / bに約分されると、図形はbサイクル後に繰り返され、合計a回転が完了します。 b =1の場合、図形は決して閉じません。^[1]

明示的には、サイクル数は 2 p / dです。ここで、 d = gcd (( p -2 q )( n -2 k ),2 p )。d =2 pの場合、1 サイクルで閉じるか、または閉じません。

周期数は、スピロラテラルの回転対称順序として見ることができます。

90 _°

• 
  1 _90°、4サイクル、1回転
• 
  2 _90°、2サイクル、1回転
• 
  3 _90°、4サイクル、3回転
• 
  4 _90°、決して閉じない
• 
  5 _90°、4サイクル、5回転
• 
  6 _90°、2サイクル、3回転
• 
  7 _90°、4サイクル、6回転
• 
  8 _90°、決して閉じない
• 
  9 _90°、4サイクル、9回転
• 
  10 _90°、2サイクル、5回転

60 _°

• 
  1 _60°、3サイクル、1回転
• 
  2 _60°、3サイクル、2回転
• 
  3 _60°、決して閉じない
• 
  4 _60°、3サイクル、4回転
• 
  5 _60°、3サイクル、5回転
• 
  6 _60°、決して閉じない
• 
  7 _60°、3サイクル、7回転
• 
  8 _60°、3サイクル、8回転
• 
  9 _60°、決して閉じない
• 
  10 _60°、3サイクル、10回転

螺旋状多角形は、360° の任意の有理数約数から作成できます。最初の表の列は小さな正多角形から角度をサンプルし、2 番目の表は星型多角形から角度をサンプルし、n = 6 までの例を示します。

等角多角形< p / q >にはp個の頂点とq個の密度があります。< np / nq >はd = gcd( n , p )で縮小できます。

小さな整数の約数角

小さな有理数除数角

ウィキメディア・コモンズには、 Spirolateralsに関連するメディアがあります。

• タートル グラフィックスは、移動距離と回転角度として開いたパスまたは閉じたパスを定義するコンピューター言語を表します。

• アリス・ケーズバーグ・シュワント「スピロラテラル：初等的見地からの高度な研究」、数学教師、第72巻、1979年、166-169ページ[3]
• マーガレット・ケニーとスタンレー・ベズスカ「スクエア・スパイロラテラルズ数学教育」第95巻、1981年、22-27頁[4]
• ガスコイン、セラフィム タートルファン ロゴ for the Spectrum 48K pp 42-46 | Spirolaterals 1985
• ウェルズ、D. 『ペンギン不思議幾何学辞典』ロンドン：ペンギン、pp. 239-241、1991年。
• Krawczyk, Robert、「Hilbert's Building Blocks」、数学とデザイン、バスク大学、pp. 281–288、1998 年。
• ロバート・クラフチク「スピロラテラル、単純さからの複雑性」、国際芸術数学建築協会99、バスク大学、pp.293-299、1999年。[5]
• クラフチク、ロバート J.スパイロラテラル反転の芸術[6]

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