因果集合

因果集合プログラムは量子重力へのアプローチです。その基本原理は、時空が根本的に離散的（因果集合の要素と呼ばれる離散的な時空点の集合）であり、時空イベントが半順序によって関連しているというものです。この半順序は、時空イベント間の因果関係の物理的な意味を持ちます。

一般相対性理論が定式化されてから数十年間、ローレンツ幾何学に対する態度は、その物理的な意味を理解することに主に専念し、理論的な問題には関心が向けられていなかった。^[1]しかし、因果関係を出発点とする初期の試みは、ヘルマン・ワイルとヘンドリック・ローレンツによって提供されてきた。^[2] アルフレッド・ロブは、1914年と1936年の2冊の本で、因果の優先順位が重要な役割を果たす公理的な枠組みを提案した。^[1]時空の因果構造を量子化する最初の明示的な提案は、スマティ・スーリヤ^[1]、 EH・クロンハイマー、ロジャー・ペンローズ^[3]によるものとされており、彼らは「多様体とは非常に異なる構造を許容する」ために因果空間を発明した。因果空間は、因果の優先順位だけでなく時系列の優先順位も考慮して公理的に定義される。

因果集合のプログラムは、デイビッド・マラメントの定理^[4]に基づいており、クリストファー・ゼーマン^[5]、スティーブン・ホーキング、ARキング、PJマッカーシー^[6]による以前の結果を拡張しています。 ^[1] マラメントの定理は、過去と未来の2つの区別される時空の間に因果構造を保存する全単射写像がある場合、その写像は共形同型であると述べています。未決定のままになっている共形因子は、時空内の領域の体積に関連しています。この体積因子は、各時空点の体積要素を指定することによって回復できます。時空領域の体積は、その領域内の点の数を数えることで見つけることができます。

因果集合は、現在もこのプログラムの主な提唱者であるラファエル・ソーキンによって始められました。彼は上記の議論を特徴づけるために「秩序 + 数 = 幾何学」というスローガンを作り出しました。このプログラムは、局所的なローレンツ不変性を維持しながら、空間時間が基本的に離散的であるという理論を提供します。

因果集合（または原因集合）とは、半順序関係を持つ集合であり、 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \preceq}$

• 再帰法: すべてについて、 が成り立ちます。${\displaystyle x\in C}$${\displaystyle x\preceq x}$
• 反対称: すべての に対してが成り立ち、 が成り立ちます。${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle x\preceq y}$${\displaystyle y\preceq x}$${\displaystyle x=y}$
• 他動詞: すべての に対して、 が成り立ち、 が成り立ちます。${\displaystyle x,y,z\in C}$${\displaystyle x\preceq y}$${\displaystyle y\preceq z}$${\displaystyle x\preceq z}$
• 局所的に有限: すべての に対して、 は有限集合です。${\displaystyle x,z\in C}$${\displaystyle \{y\in C|x\preceq y\preceq z\}}$

およびと書きます。 ${\displaystyle x\prec y}$${\displaystyle x\preceq y}$${\displaystyle x\neq y}$

集合は時空イベントの集合を表し、順序関係はイベント間の因果関係を表します (ローレンツ多様体における類似の考え方については因果構造を参照してください)。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \preceq }$

この定義では反射的な規則を使用していますが、順序関係が非反射的かつ非対称である非反射的な規則を選択することもできます。

ロレンツ多様体の因果関係（閉じた因果曲線なし）は最初の 3 つの条件を満たします。時空の離散性を導入するのは局所有限性条件です。

因果集合が与えられた場合、それをロレンツ多様体に埋め込むことができるかどうかを尋ねることができます。埋め込みは、因果集合の要素を多様体内の点に写像し、因果集合の順序関係が多様体の因果順序と一致するようにします。ただし、埋め込みが適切である前に、さらに基準が必要です。平均して、多様体の領域に写像された因果集合要素の数が領域の体積に比例する場合、埋め込みは忠実であると言われます。この場合、因果集合は「多様体の​​ような」ものと考えることができます。

因果集合プログラムの中心的な予想は、Hauptvermutung (「基本予想」) と呼ばれ、同じ因果集合を、大規模に類似していない 2 つの時空に忠実に埋め込むことはできないというものです。

この推測を正確に定義するのは困難です。なぜなら、2 つの時空が「大規模に類似している」かどうかを判断するのが難しいからです。時空を因果集合としてモデル化するには、「多様体の​​ような」因果集合に注意を限定する必要があります。因果集合が与えられた場合、これは決定するのが難しい特性です。

因果集合を多様体に埋め込むことができるかどうかを決定することの難しさは、別の方向からアプローチすることができます。ローレンツ多様体に点を散りばめることによって因果集合を作成することができます。時空領域の体積に比例して点を散りばめ、多様体内の因果順序関係を使用して散りばめられた点間の順序関係を誘導することで、（構築によって）多様体に忠実に埋め込むことができる因果集合を作成できます。

ローレンツ不変性を保つためには、この点の散布はポアソン過程を用いてランダムに行われなければならない。したがって、体積領域に点を散布する確率は ${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle P(n)={\frac {(\rho V)^{n}e^{-\rho V}}{n!}}}$

散布の密度は どこにありますか。${\displaystyle \rho }$

通常の格子としてポイントを散りばめると、ポイントの数が領域の体積に比例しなくなります。

多様体におけるいくつかの幾何学的構成は因果集合にも引き継がれる。これらを定義する際には、因果集合自体にのみ依存し、それが埋め込まれている背景時空には依存しないことを覚えておかなければならない。これらの構成の概要については、^{[7]を参照のこと。}

因果セット内のリンクとは、 となる要素のペアですが、 となる要素は存在しません。 ${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle x\prec y}$${\displaystyle z\in C}$${\displaystyle x\prec z\prec y}$

チェーンとは、に対してとなる要素のシーケンスです。チェーンの長さは です。チェーン内のすべての がリンクを形成する場合、そのチェーンはパスと呼ばれます。 ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{i}\prec x_{i+1}}$${\displaystyle i=0,\ldots ,n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{i},x_{i+1}}$

これを使って、因果集合の2つの要素が順序的に比較可能、つまり因果的につながっている（物理的には時間的である）という条件で、2つの要素間の測地線の概念を定義することができる。2つの要素間の測地線は、次のようなリンクのみで構成された鎖である 。${\displaystyle x\preceq y\in C}$

1. ${\displaystyle x_{0}=x}$そして${\displaystyle x_{n}=y}$
2. チェーンの長さ は、から までのすべてのチェーンの中で最大になります。${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

一般に、比較可能な 2 つの要素間には複数の測​​地線が存在する場合があります。

ミルハイム^[8]は、そのような測地線の長さは、2つの時空点を結ぶ時間的測地線に沿った固有時間に正比例するはずであると最初に示唆した。この推測のテストは、平坦な時空への散布から生成された因果集合を使用して行われた。比例関係は成り立つことが示されており、曲がった時空での散布にも成り立つと推測されている。

因果集合の多様体次元を推定する研究は数多く行われてきました。これには、因果集合を使用して、その多様体を忠実に埋め込むことができる次元を与えることを目指すアルゴリズムが含まれます。これまでに開発されたアルゴリズムは、因果集合を忠実に埋め込むことができるミンコフスキー時空の次元を見つけることに基づいています。

• ミルハイム・マイヤー次元

このアプローチは、次元ミンコフスキー時空に散在する長さのチェーンの数を推定することに依存しています。因果セット内の長さのチェーンの数を数えると、 の推定が可能になります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$

• 中点スケーリング次元

このアプローチは、ミンコフスキー時空における 2 点間の固有時間とそれらの間の時空間隔の体積との関係に依存しています。2 点間の最大チェーン長を計算し (固有時間を推定) 、要素の数を数える(時空間隔の体積を推定) ことで、時空の次元を計算できます。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x\prec z\prec y}$

これらの推定量は、高密度の散布によって次元ミンコフスキー時空に生成される因果集合の正しい次元を与えるはずである。共形平坦時空^[9]でのテストでは、これら2つの方法が正確であることが示された。 ${\displaystyle d}$

進行中の課題は、因果セットの正しいダイナミクスを開発することです。これらは、どの因果セットが物理的に現実的な時空に対応するかを決定する一連のルールを提供します。因果セットのダイナミクスを開発するための最も一般的なアプローチは、量子力学の履歴和バージョンに基づいています。このアプローチは、因果セットを一度に 1 つの要素ずつ成長させることにより、因果セットの合計を実行します。要素は量子力学のルールに従って追加され、干渉により、大きな多様体のような時空が寄与を支配することが保証されます。現時点でのダイナミクスの最良のモデルは、確率に従って要素が追加される古典的なモデルです。David Rideout とRafael Sorkinによるこのモデルは、古典的順次成長 (CSG) ダイナミクスとして知られています。^[10]古典的な順次成長モデルは、新しい要素を次々に追加することで因果セットを生成する方法です。新しい要素を追加する方法のルールが指定され、モデル内のパラメーターに応じて、異なる因果セットが生成されます。

量子力学の経路積分定式化に類似して、因果集合の量子力学を開発する一つのアプローチは、因果集合の総和アプローチにおける作用原理を適用することである。ソルキンはダランベルシアンの離散類似体を提案しており、これは今度はリッチ曲率スカラーを定義し、それによって因果集合に対するベニンカサ・ダウカー作用を定義するのに使用できる。^{[11] [12]} モンテカルロシミュレーションは、ベニンカサ・ダウカー作用を使用して2Dにおける連続相の証拠を提供している。^[13]

• 因果動的三角測量 (CDT)
• 因果構造
• 一般相対性理論
• 秩序理論

• 量子重力への因果集合アプローチ ジョー・ヘンソンによる因果集合に関するレビュー記事
• 因果集合としての時空 - ルカ・ボンベリ、ジュハン・リー、デイヴィッド・マイヤー、ラファエル・D・ソーキンによる最初の論文の 1 つ
• 順序からの幾何学: 因果集合 - Einstein Online の Rafael D. Sorkin による非技術的な記事
• 特集号: 量子重力への因果集合アプローチ古典および量子重力Vol. 35、2018