プランクの法則

プランクの法則の周波数形式と波長形式は異なる関数である。対応関係は微分関係であり、波長と周波数の単位は逆数である。どちらの形式も独立変数のステップあたりのエネルギー量を表すが、ステップサイズが異なる。したがって、異なる形式が異なる単位を持つことを考慮しないため、一方の変数を他方の変数に置き換えることによってプランクの法則の2つの形式を関連付けることはできない。^{[ 9 ]}

対応する形式を変換して同じ量を同じ単位で表すために、スペクトル増分を乗じます。すると、特定のスペクトル増分に対して、特定の物理エネルギー増分は次のように表すことができます。 $${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =-B_{\nu }(\nu (\lambda ),T)\,d\nu ,}$$ これは $${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)=-{\frac {d\nu }{d\lambda }}B_{\nu }(\nu (\lambda ),T).}$$マイナス符号は、周波数の増加が波長の減少に対応することを示している。

ν ( λ ) = c / λなので、 dν / dλ = − c / λ ²の比が得られます。代入すると、周波数と波長の形式が、異なる次元と単位で対応付けられます。^{[ 16 ] [ 18 ]}$${\displaystyle {\frac {B_{\lambda }(T)}{B_{\nu }(T)}}={\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{c}}.}$$

プランクの法則におけるスペクトル分布のピークの位置は、スペクトル変数の選択によって決まる。

分数帯域幅形式は、他の形式と^{[ 9 ]によって関連付けられています。}

${\displaystyle B_{\ln x}=\nu B_{\nu }=\lambda B_{\lambda }}$。

上記のプランクの法則の変形では、波長と波数に関する変形では、物理定数のみで構成される項2 hc ²と⁠ hc / k _B ⁠が使用されています。したがって、これらの項はそれ自体が物理定数とみなすことができ、^{[ 19 ]}そのため、第 1 放射定数c _{1 L}と第 2 放射定数c ₂と呼ばれます。

そして

放射定数を用いると、プランクの法則の波長版は次のように簡略化できる。 $${\displaystyle L(\lambda ,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$$ そして、波数に関する変種も同様に簡略化できる。

_{ここでは、}スペクトル放射輝度のSI記号であるLがBの代わりに使用されています。c 1 _LのLはそれを指しています。この参照が必要なのは、プランクの法則はスペクトル放射輝度L ( λ , T )ではなくスペクトル放射発散度M ( λ , T )を与えるように再定式化できるためであり、その場合c _1はc _{1 L}に置き換えられます

したがって、スペクトル放射発散度に関するプランクの法則は次のように書ける。 $${\displaystyle M(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$$

測定技術の向上に伴い、国際度量衡総会はc ₂の推定値を改訂しました。詳細はプランク軌跡§ 国際温度目盛を参照してください。

プランクの法則の量子論的説明では、放射は熱力学的平衡状態にある質量のない、電荷を持たないボソン粒子、すなわち光子のガスとして捉えられます。光子は、電気的に帯電した素粒子間の電磁相互作用の担体とみなされます。光子の数は保存されません。光子は、プランク分布で記述される光子で空洞を満たすために、適切な数とエネルギーで生成または消滅します。熱力学的平衡状態にある光子ガスの場合、内部エネルギー密度は完全に温度によって決定され、さらに圧力も完全に内部エネルギー密度によって決定されます。これは、物質ガスの熱力学的平衡とは異なります。物質ガスの場合、内部エネルギーは温度だけでなく、異なる分子のそれぞれの数によっても独立して決定され、さらに異なる分子の特定の特性によっても独立して決定されます。特定の温度における異なる物質ガスの場合、異なる分子が独立して異なる励起エネルギーを運ぶことができるため、圧力と内部エネルギー密度は独立して変化する可能性があります。

プランクの法則は、熱力学的平衡状態にある相互作用しないボソンのエネルギー分布であるボーズ・アインシュタイン分布の極限として現れます。光子やグルーオンのような質量のないボソンの場合、化学ポテンシャルはゼロとなり、ボーズ・アインシュタイン分布はプランク分布に帰着します。もう一つの基本的な平衡エネルギー分布として、熱平衡状態にある電子などのフェルミオンを記述するフェルミ・ディラック分布があります。この2つの分布が異なるのは、複数のボソンが同じ量子状態を占めることができるのに対し、複数のフェルミオンは同じ量子状態を占めることができないからです。低密度では、粒子あたりの利用可能な量子状態の数は多く、この違いは重要ではなくなります。低密度極限では、ボーズ・アインシュタイン分布とフェルミ・ディラック分布はそれぞれマクスウェル・ボルツマン分布に帰着します。

キルヒホッフの熱放射法則は、複雑な物理現象を簡潔に説明したものです。以下はその現象の概要を示すものであり、厳密な物理的議論とは程遠いものです。ここでは、その現象における主要な物理的要因と主な結論を要約することを目的としています。

物理学では、理想的な黒体（ここではBと表記）を考えます。これは、あらゆる周波数νにおいて入射する電磁放射を完全に吸収する物体として定義されます（そのため「黒」という用語が用いられます）。キルヒホッフの熱放射の法則によれば、これは、あらゆる周波数νにおいて、温度Tでの熱力学的平衡状態では、 α _ν、B ( T ) = ε _ν、B ( T ) = 1 となることを意味します。したがって、黒体からの熱放射は常にプランクの法則で規定される全量に等しくなります。いかなる物体も、黒体を超える熱放射を放出することはできません。なぜなら、もし物体が放射場と平衡状態にあるならば、入射するエネルギーよりも多くのエネルギーを放出することになるからです。

完全に黒い物質は存在しませんが、実際には黒い表面を正確に近似することができます。^{[ 2 ]}物質内部に関しては、周囲との明確な界面を持つ凝縮物質、液体、固体、またはプラズマの物体は、完全に不透明であれば、放射線に対して完全に黒くなります。つまり、物体と周囲との界面を透過して物体内部に入るすべての放射線を吸収します。これは実際にはそれほど難しくありません。一方、完全に黒い界面は自然界には存在しません。完全に黒い界面は放射線を反射せず、両側から入射するすべての放射線を透過します。効果的に黒い界面を作るための最良の実際的な方法は、あらゆる周波数で完全に反射しない、制御された温度の壁を持つ完全に不透明な剛体の大きな空洞の壁に小さな穴を開けて「界面」をシミュレートすることです。これらの要件以外では、壁の構成材料に制限はありません。穴に入った放射線は、壁との複数回の衝突によって吸収されることなく空洞から脱出する可能性はほとんどありません。^{[ 25 ]}

プランク^{[ 26 ]}が説明したように、放射体は物質からなる内部と、隣接する物質媒体との界面を持ち、通常は物体の表面からの放射が観測される媒体である。界面は物理的な物質で構成されているのではなく、理論的な概念、数学的な2次元表面であり、厳密に言えばどちらにも単独で属するものではなく、隣接する2つの媒体の共同特性である。このような界面は、物理的な物質で構成されていないため、吸収も放出もできないが、光学特性の不連続面であるため、放射の反射と透過の場となる。界面における放射の反射と透過は、ストークス・ヘルムホルツの相反原理に従う。

熱力学的平衡状態にある温度Tの空洞内に位置する黒体の内部のどの点においても、放射は均質で等方的かつ無偏光である。黒体は入射する電磁放射をすべて吸収し、反射しない。ヘルムホルツの相反原理によれば、黒体の内部からの放射は表面で反射されず、完全に外部に透過する。物体の内部の放射は等方的であるため、内部から表面を通して外部に透過する放射のスペクトル放射輝度は方向に依存しない。 ^{[ 27 ]}

これは、熱力学的平衡状態にある黒体の表面からの放射がランベルトの余弦法則に従うという形で表現されます。^{[ 28 ] [ 29 ]}これは、黒体の実際の放射面の与えられた微小面積要素 dA から、dA における実際の放射面の法線と角度θをなす特定の方向から検出され、θで示される方向を中心とする検出立体角要素dΩ内の周波数帯域幅要素dν内のスペクトル束 dΦ(dA, θ , dΩ, dν ) は、次のように表すことができます。^{[ 30 ]}$${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=L^{0}(dA,d\nu )\,dA\,d\nu \,\cos \theta }$$ ここで、L ⁰ ( dA , dν )は、面積dAがその法線方向θ = 0で測定された場合に、単位面積あたり、単位周波数あたり、単位立体角あたりに現れるフラックスを表します。

cos θという係数が存在するのは、スペクトル放射輝度が直接参​​照する領域が、実際の放射表面積をθで示される方向に垂直な平面に投影したものであるためです。これがコサイン法則という名前の由来です。

熱力学的平衡状態にある黒体表面からの放射スペクトル放射輝度の方向の独立性を考慮すると、L ⁰ ( dA , dν ) = B _ν ( T )となり、したがって $${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=B_{\nu }(T)\,dA\,d\nu \,\cos \theta .}$$

_{したがって、ランベルトの余弦法則は、}熱力学的平衡状態にある黒体の表面のスペクトル放射輝度Bν ( T )の方向の独立性を表しています。

黒体表面における単位面積あたりの総放射電力（P ）は、ランベルトの法則から得られる黒体のスペクトル束を、すべての周波数と、表面上の 半球（ h ）に対応する立体角にわたって積分することによって求めることができる。$${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{h}d\Omega \,B_{\nu }\cos(\theta )}$$

微小立体角は球面極座標で表すことができる。 $${\displaystyle d\Omega =\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi .}$$ となることによって： $${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,B_{\nu }(T)\cos(\theta )\sin(\theta )=\sigma T^{4}}$$ どこ$${\displaystyle \sigma ={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}\pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670374419\times 10^{-8}\,\mathrm {J\,s^{-1}m^{-2}K^{-4}} }$$これはステファン・ボルツマン定数として知られています。^{[ 31 ]}

放射伝達方程式は、放射が物質媒体を通過する際にどのように影響を受けるかを記述する。物質媒体のある点の近傍で、その物質媒体が熱力学的平衡状態にあるという特殊な場合において、プランクの法則は特に重要となる。

簡略化のため、散乱のない線形定常状態を考えることができる。放射伝達方程式によれば、光線が小さな距離dsを通過する場合、エネルギーは保存される。その光線の（スペクトル）放射輝度の変化（ Iν）は、物質媒体によって除去される量と物質媒体から得られる量の合計に等しい。放射場が物質媒体と平衡状態にある場合、これら 2 つの寄与は等しくなる。物質媒体は、ある_放射係数と吸収係数を持つ。

吸収係数αは、光線が距離dsを通過する際の強度の相対変化であり、長さの単位は⁻¹です。吸収による減少と誘導放出による増加の 2 つの部分から構成されます。誘導放出は、入射放射によって引き起こされ、入射放射に比例する物質からの放出です。吸収と同様に、入射放射の強度に比例するため、吸収項に含まれます。吸収量は一般的に物質の密度ρに比例して変化するため、物質自体の特性である「質量吸収係数」κν = α / ρ_を定義することができます。光線が小さな距離dsを通過する際の吸収による強度の変化は、次のようになります^{[ 7 ]}$${\displaystyle dI_{\nu }=-\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }\,ds}$$

「質量放射係数」jν_は、小体積要素の単位体積あたりの放射輝度をその質量で割った値に等しく（質量吸収係数と同様に、放射は放射質量に比例するため）、単位は電力⋅立体角^−1⋅周波数^−1⋅密度⁻¹である。質量吸収係数と同様に、これも物質自体の特性である。光線が小さな距離dsを通過する際の変化は、次のようになる^{[ 32 ]。}$${\displaystyle dI_{\nu }=j_{\nu }\rho \,ds}$$

放射伝達の式は、これら２つの寄与の合計となる。^{[ 33 ]}$${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=j_{\nu }\rho -\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }.}$$

放射場が物質媒体と平衡状態にある場合、放射は均一（位置に依存しない）となり、dIν = 0となり、以下_の式が成り立つ。 $${\displaystyle \kappa _{\nu }B_{\nu }=j_{\nu }}$$ これはキルヒホッフの法則の別の表現であり、媒体の2つの物質特性を関連付け、媒体が熱力学的平衡状態にある点における放射伝達方程式を導き出す。 $${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=\kappa _{\nu }\rho (B_{\nu }-I_{\nu }).}$$

詳細平衡の原理とは、熱力学的平衡状態において、各素過程はそれと逆の過程と平衡状態にあるという原理である。

1916年、アルバート・アインシュタインはこの原理を原子レベルで、2つの特定のエネルギー準位間の遷移によって放射を放射および吸収する原子の場合に適用し、^{[ 34 ]}この種の放射に対する放射伝達方程式とキルヒホッフの法則についてより深い洞察を与えた。準位1がエネルギーE1の低いエネルギー準位であり、準位2_{がエネルギー}E2_の高いエネルギー準位である場合、放射または吸収される放射の周波数νはボーアの周波数条件によって決定される。^{[ 35 ] [ 36 ]}$${\displaystyle E_{2}-E_{1}=h\nu .}$$

n ₁とn _2がそれぞれ状態1と状態2における原子の数密度である場合、これらの密度の時間変化率は次の3つのプロセスによって決まります。

自然放出

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {spon} }=A_{21}n_{2}}$

誘導放出

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {stim} }=B_{21}n_{2}u_{\nu }}$

光吸収

${\displaystyle \left({\frac {dn_{2}}{dt}}\right)_{\mathrm {abs} }=B_{12}n_{1}u_{\nu }}$

ここで、_uνは_放射場のスペクトルエネルギー密度です。アインシュタイン係数として知られる3つのパラメータA21、B21 _、 B12は、2つのエネルギー準位（状態）間の遷移によって生成される光子周波数νに関連付けられています。その結果、スペクトルの各線には_、それぞれ固有の係数のセットが関連付けられています。原子と放射場が平衡状態にあるとき、放射輝度はプランクの法則によって与えられ、詳細平衡の原理により、これらの速度の合計はゼロでなければなりません。 $${\displaystyle 0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)-B_{12}n_{1}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)}$$

原子も平衡状態にあるため、2つの準位の占有率はボルツマン因子によって関連付けられる。 $${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}e^{-h\nu /k_{\mathrm {B} }T}}$$ ここで、g ₁とg ₂はそれぞれのエネルギー準位の多重度である。上記の 2 つの式と、それらが任意の温度で有効であるという条件を組み合わせると、アインシュタイン係数間の 2 つの関係が得られる。 $${\displaystyle {\frac {A_{21}}{B_{21}}}={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}}$$$${\displaystyle {\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}}$$ つまり、1つの係数が分かれば、他の2つの係数も分かるということだ。

等方性吸収および放出の場合、上記の放射伝達のセクションで定義された放出係数 ( j _ν ) および吸収係数 ( κ _ν ) は、アインシュタイン係数を用いて表すことができます。アインシュタイン係数間の関係から、上記の放射伝達のセクションで表されたキルヒホッフの法則の式が得られます。$${\displaystyle j_{\nu }=\kappa _{\nu }B_{\nu }.}$$

これらの係数は原子と分子の両方に適用されます。

分布B _ν、B _ω、B _ν̃およびB _{k は光子エネルギー}^{[ 37 ]}でピークに達する。$${\displaystyle E=\left[3+W\left(-3e^{-3}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.821\ k_{\mathrm {B} }T,}$$ここで、WはランベルトW関数、eはオイラー数である。

しかし、分布B _{λ は}異なるエネルギーでピークを示します^{[ 37 ]}$${\displaystyle E=\left[5+W\left(-5e^{-5}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 4.965\ k_{\mathrm {B} }T,}$$その理由は、前述のように、(例えば) B _νからB _λへは、 νをλに置き換えるだけでは単純にはできないからである。さらに、 を掛ける必要もある。${\textstyle \left|{d\nu }/{d\lambda }\right|=c/{\lambda ^{2}}}$これにより、分布のピークがより高いエネルギーにシフトします。これらのピークは、それぞれ周波数または波長の等サイズのビンを使用してビン分けした場合の光子のモードエネルギーです。hc (14 387 .770  μm·K ) これらのエネルギー式により、ピークの波長が得られます。

これらのピークにおけるスペクトル放射輝度は次式で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\nu ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}x^{3}}{h^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\[1ex]&\approx 1.896\times 10^{-19}\mathrm {\frac {W}{m^{2}\cdot Hz\cdot sr}} \times {\left({\frac {T}{\mathrm {K} }}\right)}^{3}\end{aligned}}}$

と${\displaystyle x=3+W(-3e^{-3}),}$そして$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\lambda ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{5}T^{5}x^{5}}{h^{4}c^{3}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\[1ex]&\approx 4.096\times 10^{-6}\mathrm {\frac {W}{m^{3}\cdot sr}} \times {\left({\frac {T}{\mathrm {K} }}\right)}^{5}\end{aligned}}}$$と${\displaystyle x=5+W(-5e^{-5}).}$

一方、黒体からの光子の平均エネルギーは$${\displaystyle E=\left[{\frac {\pi ^{4}}{30\ \zeta (3)}}\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.701\ k_{\mathrm {B} }T,}$$どこ${\displaystyle \zeta }$はリーマンゼータ関数です。

低周波数（つまり長波長）の極限では、プランクの法則はレイリー・ジーンズの法則になる^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]。}$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\nu }(T)&\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T,&B_{\lambda }(T)&\approx {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}k_{\mathrm {B} }T.\end{aligned}}}$$

放射輝度は周波数の二乗に比例して増加し、紫外線破局を示している。高周波数（つまり波長が短い）の極限では、プランクの法則はウィーン近似に近づく。^{[ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\nu }(T)&\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}},&B_{\lambda }(T)&\approx {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}.\end{aligned}}}$$

ウィーンの変位法則のより強い形式では、プランクの法則の形状は温度に依存しないと述べられています。したがって、全放射のパーセンタイル点と波長および周波数のピークを、温度Tで割ったときの波長λを与える形式でリストすることができます。^{[ 43 ]}次の表の 2 番目の列には、 λTの対応する値がリストされています。つまり、波長λが、最初の列の対応するエントリで与えられる放射輝度パーセンタイル点でx / Tマイクロメートルとなるxの値です。

つまり、放射の 0.01% は910 / T μm未満の波長にあり、20% は2676 / T μm未満などです。波長と周波数のピークは太字で示されており、それぞれ 25.0% と 64.6% で発生します。41.8% の点は、波長周波数中立ピーク (つまり、波長または周波数の対数の単位変化あたりのパワーのピーク) です。これらは、それぞれのプランクの法則関数1 / λ 5 、^ν 3および^ν 2 / λ 2をそれぞれ^exp ( hν / k B T ₎ − 1で割った値が最大値に達する点^です。波長の比率の差が、0.1%と0.01%の間（1110は910より22%大きい）と99.9%と99.99%の間（113374は51613より120%大きい）ではるかに小さいのは、短い波長（左端）でのエネルギーの指数関数的減衰と、長い波長での多項式的減衰を反映している。 

どのピークを使用するかは、用途によって異なります。一般的には、ウィーンの変位則の弱形式で示される波長ピーク（25.0%）が用いられます。用途によっては、全放射を2等分する中央値、すなわち50%点の方が適している場合もあります。後者は、放射輝度が短波長では指数関数的に減少し、長波長では多項式的にしか減少しないため、波長ピークよりも周波数ピークに近い値となります。中性ピークが中央値よりも短い波長で発生するのも、同じ理由によるものです。

温度Tで熱平衡状態にある電磁放射で満たされた、導体壁を持つ一辺Lの立方体を考えます。壁の1つに小さな穴が開いている場合、その穴から放出される放射は完全な黒体放射の特徴を示します。まず、空洞内のスペクトルエネルギー密度を計算し、次に放出される放射のスペクトル放射輝度を決定します。

立方体の壁面では、電場の平行成分と磁場の直交成分はゼロでなければならない。箱の中の粒子の波動関数と同様に、これらの場は周期関数の重ね合わせであることがわかる。壁に直交する3つの方向における₃つの波長λ1、λ2、λ3_{は次のようになる。}$${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {2L}{n_{i}}},}$$ここで、n _iは正の整数です。整数n _iの各セットに対して、 2 つの線形独立な解 (モードとして知られています) が存在します。これらのn _iの各セットに対する 2 つのモードは、スピン 1 を持つ光子の 2 つの偏光状態に対応します。量子論によれば、モードの全エネルギーは次のように与えられます。

数値rは、モード内の光子の数として解釈できます。r = 0の場合、モードのエネルギーはゼロではありません。この電磁場の真空エネルギーがカシミール効果の原因です。以下では、絶対温度Tにおけるボックスの内部エネルギーを計算します。

統計力学によれば、特定のモードのエネルギー準位における平衡確率分布は、ボルツマン分布によって与えられる。$${\displaystyle P_{r}={\frac {e^{-\beta E\left(r\right)}}{Z\left(\beta \right)}}.}$$ここでは逆温度を使用します$${\displaystyle \beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.}$$分母Z ( β )は、単一モードの分配関数です。これによりP _{r は}適切に正規化され、次のように評価できます。$${\displaystyle Z\left(\beta \right)=\sum _{r=0}^{\infty }e^{-\beta E\left(r\right)}={\frac {e^{-\beta \varepsilon /2}}{1-e^{-\beta \varepsilon }}},}$$と

は単一光子のエネルギーである。モード内の平均エネルギーは、分配関数から得られる。$${\displaystyle \left\langle E\right\rangle =-{\frac {d\log \left(Z\right)}{d\beta }}={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}.}$$この式は、最初の真空エネルギー項を除けば、ボーズ＝アインシュタイン統計に従う粒子の一般式の特殊な場合である。光子の総数に制限がないため、化学ポテンシャルはゼロとなる。

基底状態に対するエネルギーを測定すると、ボックス内の全エネルギーは、許容されるすべての単一光子状態について⟨ E ⟩ − ⁠ ε / 2 ⁠を合計することで求められます。これは、 L が無限大に近づく熱力学的極限において正確に行うことができます。この極限では、ε は連続になり、このパラメータについて⟨ E ⟩ − ⁠ ε / 2 ⁠を積分することができます。このようにボックス内のエネルギーを計算するには、与えられたエネルギー範囲にいくつの光子状態が存在するかを評価する必要があります。エネルギーがεからε + dεの間の単一光子状態の総数をg ( ε ) dεと表すと、ここでg ( ε )は状態密度(以下で評価します) であり、全エネルギーは次のように与えられます。

状態密度を計算するために、式（2）を次のように書き換えます。$${\displaystyle \varepsilon \ {=}\ {\frac {hc}{2L}}n,}$$ここで、nはベクトルn = ( n ₁ , n ₂ , n ₃ )のノルムです。

整数成分がゼロ以上の任意のベクトルnに対して、2 つの光子状態が存在します。これは、 n空間のある領域における光子状態の数が、その領域の体積の 2 倍であることを意味します。エネルギー範囲dεは、 n空間において厚さdn = 2 L / hc d εのシェルに対応します。nの成分は正でなければならないため、このシェルは球の 8 象限に広がります。したがって、エネルギー範囲dεにおける光子状態の数g ( ε ) dε は、次のように与えられます。$${\displaystyle g(\varepsilon )\,d\varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,dn={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,d\varepsilon .}$$これを式（3）に代入し、体積V = L3で割ると、全エネルギー密度が得られる^。$${\displaystyle {\frac {U}{V}}=\int _{0}^{\infty }u_{\nu }(T)\,d\nu ,}$$ここで、周波数依存スペクトルエネルギー密度u _ν ( T )は次のように与えられる。$${\displaystyle u_{\nu }(T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}.}$$放射はあらゆる方向で同じであり、光速で伝播するため、小さな穴から出る放射のスペクトル放射輝度は$${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {u_{\nu }(T)c}{4\pi }},}$$これはプランクの法則をもたらす。$${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}}.}$$この法則の他の形式は、全エネルギー積分における変数変換によって得られる。上記の導出は、Brehm & Mullin (1989)に基づいている。

非縮退の場合、A および B 係数は、量子力学の時間依存摂動論における双極子近似を使用して計算できます。A の計算には、摂動場がゼロに近づくにつれてゼロにならない自発放出を半古典論では説明できないため、第 2 量子化も必要です。したがって、計算された遷移率は (SI 単位で) 次のようになります。^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]}

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{s.emi}={\frac {\omega _{if}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=A_{if}}$

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{abs}={\frac {u(\omega _{fi})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{abs}u(\omega _{fi})}$

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{emi}={\frac {u(\omega _{if})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{emi}u(\omega _{if})}$

遷移速度の式は双極子モーメント演算子に依存することに注意してください。高次の近似では、四重極モーメントやその他の類似の項が含まれます。したがって、AおよびB係数（角周波数エネルギー分布に対応）は次のようになります。

${\displaystyle A_{ab}={\frac {\omega _{ab}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

${\displaystyle B_{ab}={\frac {\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

どこ${\displaystyle \omega _{ab}={\frac {E_{a}-E_{b}}{\hbar }}}$また、AとBの係数は、非退化の場合に与えられた比率を満たす。

${\displaystyle {\frac {B_{12}}{B_{21}}}=1}$そして ${\displaystyle {\frac {A_{if}}{B}}={\frac {\omega _{if}^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}}$。

もう1つの有用な比率は、マクスウェル・ボルツマン分布から得られるもので、エネルギー準位内の粒子の数を示しています。${\displaystyle E}$指数に比例する${\displaystyle \beta E}$数学的に言うと：

${\displaystyle {\frac {N_{a}}{N_{b}}}={\frac {e^{-E_{a}\beta }}{e^{-E_{b}\beta }}}=e^{\omega _{ba}\hbar \beta }}$

どこ${\displaystyle N_{a}}$そして${\displaystyle N_{b}}$占有エネルギー準位の数${\displaystyle E_{a}}$そして${\displaystyle E_{b}}$それぞれ、${\displaystyle E_{b}>E_{a}}$.次に、以下を使用します。${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=-A_{ba}N_{b}-N_{b}u(\omega _{ba})B_{ba}+N_{a}u(\omega _{ba})B_{ab}=-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{s.emi}-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{emi}+N_{a}w_{a\rightarrow b}^{abs}}$

解決する${\displaystyle u}$平衡条件の場合${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=0}$そして、導出された比率を用いると、プランクの法則が得られる。

${\displaystyle u_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\omega \hbar \beta }-1}}}$。

1858年、バルフォア・スチュワートは、さまざまな物質の研磨板の熱放射放出力と吸収力を、同じ温度でのランプブラック表面の力と比較して実験したことを報告した。 ^{[ 10 ]}スチュワートは、特にピエール・プレヴォーとジョン・レスリーのこれまでのさまざまな実験結果に基づき、ランプブラック表面を基準として選んだ。彼は「ランプブラックは、当たったすべての光線を吸収するため、可能な限り最大の吸収力を持ち、可能な限り最大の放射力も持つだろう」と記した。

スチュワートは、サーモパイルと顕微鏡で読み取る高感度検流計を用いて放射電力を測定した。彼は選択的熱放射に関心があり、あらゆる性質の放射に対して最大限に放射・吸収するのではなく、異なる性質の放射に対して選択的に放射・吸収する物質の板を用いてこれを研究した。彼は、反射・屈折する光線、そしてヘルムホルツの相反原理に従う光線という観点から実験について論じた（ただし、彼はその原理に人名を付けてはいない）。この論文では、光線の性質が波長によって記述できることには触れておらず、プリズムや回折格子のような分光分解装置も使用していない。彼の研究は、これらの制約の中で定量的なものであった。彼は室温環境で測定を行い、沸騰水で平衡状態になるまで加熱して熱平衡に近い状態にした物体を捉えるために、迅速に測定を行った。彼の測定結果は、選択的に放出および吸収する物質は、熱平衡状態において放出と吸収の選択的等価性の原理に従うことを確認した。

スチュワートは、熱放射の選択された各性質ごとにこれが当てはまるはずだという理論的証明を提示したが、彼の数学は厳密には妥当ではなかった。歴史家のDMシーゲルによれば、「彼は19世紀の数学物理学のより洗練された手法の実践者ではなく、スペクトル分布を扱う際に関数表記法さえ使用しなかった」^{[ 48 ]} 。彼はこの論文で熱力学について言及しなかったが、vis vivaの保存については言及した。彼は、自分の測定結果は、放射が伝播する媒体の深さ全体にわたって物質の粒子によって吸収および放出されることを示唆していると提案した。彼は、内部物質内のプロセスとは区別して物質界面のプロセスを説明するためにヘルムホルツの相反原理を適用した。彼は、熱平衡状態にある密閉空間の内部では、表面の材質に関わらず、反射および放射された放射熱の合計が、その表面が煤でできていた場合と同じであると、自身の実験結果から結論づけた。彼は、理想的な完全反射壁の可能性については言及しなかった。特に、高度に研磨された実際の金属はごくわずかにしか熱を吸収しないことを指摘した。

1859年、スチュワートの研究を知らなかったグスタフ・ロベルト・キルヒホフは、可視光の吸収線と放出線のスペクトル分解された波長が一致することを報告した。熱物理学にとって重要なことに、彼はまた^、発光体と吸収体の温度差に応じて明るい線または暗い線が現れることを観察^し、

キルヒホフは次に、不透明な容器または空洞内で温度Tで平衡状態にある、熱放射を放出および吸収する物体について考察した。

ここでは、キルヒホフとは異なる表記法が用いられています。ここで、放射パワーE ( T , i )は次元を持つ量であり、温度Tにおいて添え字iでラベル付けされた物体から放出される全放射を表します。その物体の全吸収比a ( T , i )は無次元であり、温度Tの空洞内で吸収される放射と入射する放射の比です。（バルフォア・スチュワートとは対照的に、キルヒホフの吸収比の定義は、入射放射の源として特にランプブラック表面を指してはいませんでした。）したがって、放射パワーと吸収比の比⁠ E ( T , i ) / a ( T , i ) ⁠ は、放射パワーの次元を持つ次元を持つ量です。なぜなら、a ( T , i )は無次元だからです。また、ここでは、温度Tにおける物体の波長ごとの放射パワーはE ( λ , T , i )で表され、波長ごとの吸収比はa ( λ , T , i )で表されます。繰り返しますが、放射電力と吸収電力の比である⁠ E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) ⁠ は、放射電力の次元を持つ次元量です。

1859年に発表された2番目の報告書で、キルヒホフは新しい一般原理または法則を発表し、放射パワーの定量的測定は行わなかったものの、理論的および数学的な証明を提供した。^{[ 50 ]}彼の理論的証明は、一部の著述家によって無効であると考えられており、現在でもそう考えられている。^{[ 48 ] [ 51 ]}しかし、彼の原理は存続している。それは、同じ波長の熱線について、与えられた温度で平衡状態にある場合、その波長で放射および吸収するすべての物体に対して、放射パワーと吸収パワーの波長固有の比が同じ共通の値を持つというものである。記号で表すと、この法則は、波長固有の比⁠ E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) ⁠ がすべての物体、つまりインデックスiのすべての値に対して同じ値を持つと述べている。この報告書では、黒体については言及されていない。

1860 年、キルヒホフは、スチュワートによる放射の特定の性質の測定をまだ知らずに、平衡状態にある物体によって放出および吸収される、選択されていない性質の全熱放射については、次元付き全放射比⁠ E ( T , i ) / a ( T , i ) ⁠ は、すべての物体に共通する、つまり、物質指数iのすべての値に対して、同じ値を持つことが実験的に長い間確立されていることを指摘した。^{[ 52 ]}再び放射能の測定やその他の新しい実験データなしに、キルヒホフは、熱平衡状態における波長固有の比⁠ E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) ⁠の普遍性の彼の新しい原理の新たな理論的証明を提示した。彼の新たな理論的証明は、一部の著述家によって無効であると考えられており、現在でもそう考えられている。^{[ 48 ] [ 51 ]}

しかし、より重要なのは、それが「完全な黒体」という新しい理論的仮説に基づいていたことであり、これがキルヒホッフの法則と呼ばれる所以である。このような黒体は、その無限に薄い最も表面で完全な吸収を示した。これらは、内部放射を持ち、ランプブラックで覆われたバルフォア・スチュワートの基準体に相当する。これらは、後にプランクが考察した、より現実的な完全な黒体ではなかった。プランクの黒体は、内部の物質によってのみ放射および吸収され、隣接する媒体との界面は、吸収も放出もできず、屈折による反射と透過のみを行う数学的な表面であった。^{[ 53 ]}

キルヒホッフの証明では、任意の非理想物体iと、BBとラベル付けされた様々な完全黒体について考察した。証明には、物体が温度Tの熱平衡状態にある空洞内に保持されていることが必要であった。彼の証明の目的は、非理想物体の性質iが部分的に透明であったり、部分的に反射性であったりしても、比率⁠ E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) ⁠ が非理想物体の性質に依存しないことを示すことであった。

キルヒホフは、まず波長λ、温度Tにおいて、熱平衡状態では、同じ大きさおよび形状のすべての完全黒体において、放射能E ( λ , T ,BB)という共通の値が1つだけ存在し、その次元は電力であると主張した。彼の証明では、完全黒体の無次元波長固有吸収比a ( λ , T ,BB)は定義により正確に1であることに注目した。すると、完全黒体の場合、放射能と吸収比の波長固有比⁠E ( λ , T ,BB) / a ( λ , T ,BB) ⁠は、再びE ( λ , T ,BB)となり、その次元は電力である。キルヒホフは、温度Tで平衡状態にある空洞内に置かれた任意の非理想体、および同じ大きさおよび形状の完全黒体との熱平衡を順に検討した。彼は、いずれの場合も熱放射の流れは同じでなければならないと主張した。したがって、彼は熱平衡状態では比⁠ E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) ⁠ はE ( λ , T , BB)に等しくなると主張した。これは、固定温度 T ではλのみ_に依存する連続関数であり、固定波長λではTの増加関数である。低温では可視光波長ではゼロになるが、それより長い波長ではゼロにならず、高温では可視光波長で正の値をとる。また、任意の非理想物体の性質iには依存しない。（キルヒホフが詳細に考慮した幾何学的要因は、前述の説明では無視されている。）

したがって、キルヒホッフの熱放射の法則は次のように述べることができます。任意の温度Tで熱力学的平衡状態にある放射と吸収を行うあらゆる物質について、任意の波長λに対して、放射電力と吸収電力の比は、完全な黒体に特徴的な普遍的な値 1 つを持ち、それは放射電力であり、ここではB _λ ( λ , T )で表します。 （私たちの表記B _λ ( λ , T )に対して、キルヒホッフの元の表記は単にeでした。）^{[ 7 ] [ 52 ] [ 54 ] [ 55 ] [ 56 ] [ 57 ]}

キルヒホフは、関数B _λ ( λ , T )の決定は極めて重要な問題であると発表したが、実験上の困難を克服する必要があることも認識していた。彼は、個々の物体の特性に依存しない他の関数と同様に、それは単純な関数であると考えた。その関数B _λ ( λ , T )は、時折「キルヒホフの（放出、普遍）関数」と呼ばれてきたが、^{[ 58 ] [ 59 ] [ 60 ] [ 61 ]}その正確な数学的形式は、1900 年にプランクによって発見されるまで、さらに 40 年もの間知られていなかった。キルヒホフの普遍性原理の理論的証明は、同時期およびそれ以降にさまざまな物理学者によって研究され、議論された。^{[ 51 ]}キルヒホフは後に 1860 年に、自分の理論的証明はバルフォア・スチュワートの証明よりも優れていると述べたが、いくつかの点ではそうであった。^{[ 48 ]}キルヒホフの1860年の論文では、熱力学第二法則については触れられておらず、もちろん、当時確立されていなかったエントロピーの概念についても触れられていない。1862年の著書の中で、キルヒホフは自身の法則と「カルノーの原理」（第二法則の一形態）との関連性についてより詳しく述べている。^{[ 62 ]}

ヘルゲ・クラーグによれば、「量子論は熱放射の研究、特にロベルト・キルヒホフが1859年から1860年にかけて初めて定義した「黒体」放射の研究に由来する」^{[ 63 ]。}

1860年、キルヒホフは、黒体スペクトルの温度と波長のみの関数として記述する関数を経験的に決定する実験上の困難を予測した。そして、その通りになった。信頼できる結果を得るには、電磁放射の測定方法の改善に約40年かかった。^{[ 64 ]}

1865年、ジョン・ティンダルは、電気加熱フィラメントと炭素アークからの放射を可視光線と不可視光線として記述した。^{[ 65 ]}ティンダルは、熱と可視光線の両方を透過する岩塩プリズムを使用して放射をスペクトル分解し、熱電対を使用して放射強度を測定した。^{[ 66 ] [ 67 ]}

1880年、アンドレ＝プロスペル＝ポール・クロヴァは、波長と温度の関数としての熱放射強度のグラフの3次元的な外観の図を発表しました。^{[ 68 ]}彼はプリズムを使用してスペクトル変数を決定しました。彼は、横軸にスペクトル変数、縦軸にパワー変数を持つ、彼が「等温」曲線、つまり単一の温度の断面と呼ぶものを通して表面を分析しました。彼は実験データ点に滑らかな曲線を描きました。それらは温度に特徴的なスペクトル値に1つのピークを持ち、その両側で水平軸に向かって落ちました。^{[ 69 ] [ 70 ]}このようなスペクトル断面は今日でも広く示されています。

1881年から1886年にかけての一連の論文で、ラングレーは回折格子とプリズム、そして彼が製作できた最も感度の高い検出器を用いて熱放射スペクトルの測定結果を報告した。彼は、ピーク強度が温度とともに増加すること、スペクトルの形状がピークに関して対称ではないこと、波長が各温度のおおよそのカットオフ値よりも短い場合に強度が大きく減少すること、おおよそのカットオフ波長が温度の上昇とともに減少すること、そしてピーク強度の波長が温度とともに減少するため、温度のおおよそのカットオフよりも長い短い波長では強度が温度とともに大きく増加することを報告した。^{[ 71 ]}

1888年、ラングレーの論文を読んだロシアの物理学者V.A.マイケルソンは、未知のキルヒホッフ放射関数は物理的に説明でき、「原子の振動の完全な不規則性」という観点から数学的に表現できるという考えについての考察を発表した。^{[ 72 ] [ 73 ]}この時、プランクは放射を詳しく研究しておらず、原子も統計物理学も信じていなかった。^{[ 74 ]}マイケルソンは温度のスペクトルの式を作成した。 $${\displaystyle I_{\lambda }=B_{1}\theta ^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {c}{\lambda ^{2}\theta }}\right)\lambda ^{-6},}$$ ここで、_Iλは_波長λおよび温度θにおける特定の放射強度を表し、B1およびcは経験定数である。

1898年、オットー・ルマーとフェルディナント・クルルバウムは、彼らの空洞型放射源に関する報告を発表した。^{[ 75 ]}彼らの設計は、今日に至るまで放射測定にほぼ変更なく使用されている。それは、隔膜で仕切られた白金製の箱で、内部は酸化鉄で黒く塗られていた。これは、プランクの法則の発見につながった、徐々に改良された測定の重要な要素であった。^{[ 76 ]} 1901年に記述されたバージョンでは、内部はクロム、ニッケル、コバルトの酸化物の混合物で黒く塗られていた。^{[ 77 ]}

ルマーとクルバウムの空洞放射源の重要性は、適切な温度範囲で黒体放射に最も近い実験的近似であった、単に露出した白熱固体からの放射とは異なり、実験的にアクセス可能な黒体放射源であったことである。以前に使用されていた、単に露出した白熱固体は、黒体スペクトルから逸脱した放射を放出するため、実験から真の黒体スペクトルを見つけることは不可能であった。^{[ 78 ] [ 79 ]}

プランクは1897年に初めて黒体放射の問題に注目した。^{[ 80 ]} 理論的および経験的な進歩により、ルマーとプリングスハイムは1899年に、入手可能な実験的証拠は、特定の強度法則Cλ ⁻⁵ e ^{− c ⁄ λT}とほぼ一致すると記述することができた。ここで、 Cとc は経験的に測定可能な定数を表し、λとT はそれぞれ波長と温度を表す。^{[ 81 ] [ 82 ]}理論的な理由から、プランクは当時、短波長の有効なカットオフを持つこの定式化を受け入れた。^{[ 83 ] [ 84 ] [ 85 ]}

グスタフ・キルヒホフはマックス・プランクの師であり、黒体放射には普遍的な法則があると推測し、これは「キルヒホフの挑戦」と呼ばれた。^{[ 86 ]}理論家であるプランクは、ヴィルヘルム・ヴィーンがこの法則を発見したと信じており、プランクはヴィーンの研究を発展させ、1899年にドイツ物理学会の会合で発表した。実験家のオットー・ルンマー、フェルディナント・クルルバウム、エルンスト・プリングスハイム・シニア、ハインリヒ・ルーベンスは、特に高周波、つまり短波長においてヴィーン法則を支持するように見える実験を行い、プランクはドイツ物理学会でこれを全面的に支持したため、これはヴィーン・プランク法則と呼ばれるようになった。^{[ 87 ]}しかし、1900年9月までに、実験家たちはヴィーン・プランク法則が長波長では破綻することを疑いの余地なく証明した。彼らは10月19日にデータを発表する予定だった。プランクは友人のルーベンスからそのことを知らされ、数日のうちにすぐに数式を作成した。^{[ 88 ]}同年6月、レイリー卿は広く受け入れられている等分配理論に基づいて、より低い周波数で機能する数式を作成していた。^{[ 89 ]}そこでプランクは、レイリーの法則（または同様の等分配理論）とウィーンの法則を組み合わせた数式を提出し、波長に応じてどちらかの法則に重み付けをして実験データに合うようにした。しかし、この方程式は機能したが、プランク自身は、「幸運な直感」から導き出された数式を物理学における「真の意味」を持つものに説明できなければ、真の意義はないと述べた。^{[ 90 ]}プランクは、その後、人生で最も困難な仕事が始まったと説明した。プランクは原子を信じておらず、確率は絶対的な答えを与えないため、熱力学第二法則は統計的であるべきではないと考えていた。ボルツマンのエントロピー法則は原子の仮説に基づいており、統計的であった。しかし、プランクは自身の黒体放射法則をマクスウェルの波動方程式などの連続法則と調和させる方法を見つけることができませんでした。そこで、プランク自身が「絶望的な行為」と呼んだように^{[ 91 ]} 、彼はボルツマンの原子エントロピー法則に頼りました。なぜなら、それが彼の方程式を機能させる唯一の法則だったからです。そのため、彼はボルツマン定数kと新しい補助定数hを用いて黒体放射法則を説明し、それは後に彼の論文によって広く知られるようになりました^{[ 92 ] [ 93 ] 。}

マックス・プランクは、 1900 年 10 月 19 日に、ヴィルヘルム・ウィーンが 1896 年に発表したウィーン近似を改良した法則を発表した^{[ 94 ] [ 95 ]。}ウィーン近似は、短波長 (高周波数) では実験データに適合したが、長波長 (低周波数) ではそれとずれていた。^{[ 41 ]} 1900 年 6 月、レイリーは、経験的な理論的考察に基づいて、実験的に検証できるかもしれない式を提案した^{[ 96 ]} 。その提案は、スチュワート・キルヒホッフの普遍関数がc ₁ Tλ ⁻⁴ exp(– ⁠ c ₂ / λT ⁠ )の形になる可能性があるというものだった。これは、1905 年まで現れなかった有名なレイリー・ジーンズの式8π k _B Tλ ⁻⁴ではなかったが、ここで関係する長波長では後者に帰着した。^{[ 38 ]}クラインによれば、^{[ 80 ]}プランクは1900年と1901年の論文で言及しなかったものの、この提案を目にしていた可能性が高いと推測できる。プランクは、提案された他のさまざまな公式を認識していたはずだ。^{[ 64 ] [ 97 ]} 1900年10月7日、ルーベンスはプランクに、相補領域（長波長、低周波数）においてのみ、レイリーの1900年の公式が観測データによく適合すると伝えた。^{[ 97 ]}

長波長の場合、レイリーの 1900 年のヒューリスティックな公式は、エネルギーが温度に比例することを近似的に意味しており、U _λ = const. Tです。^{[ 80 ] [ 97 ] [ 98 ]} ⁠ dS / dU _λ ⁠ = ⁠ 1 / T ⁠であることが知られており、これにより⁠ dS / dU _λ ⁠ = ⁠ const. / U _λ ⁠となり、そこから長波長の場合⁠ d ² S / dU _λ ² ⁠ = − ⁠ const. / U _λ ² ⁠となります。しかし、短波長の場合、ウィーンの公式により⁠ 1 / T ⁠ = − const. ln U _λ + const.となり、そこから短波長の場合⁠ d ² S / dU _λ ² ⁠ = − ⁠ const. / U _λ ⁠となります。プランクは^、長波長と短波長の2つの経験式を組み合わせて、^式を作成した^{[ 97 ] [ 99 ] 。}$${\displaystyle {\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}={\frac {\alpha }{U_{\lambda }(\beta +U_{\lambda })}}.}$$

これによりプランクは次の公式にたどり着いた。 $${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{\frac {c}{\lambda T}}-1}},}$$ここで、プランクは経験的な適合定数を表すために 記号Cとcを使用した。

プランクはこの結果をルーベンスに送り、ルーベンスはそれを自身とクルルバウムの観測データと比較し、すべての波長で驚くほどよく適合することを発見した。1900年10月19日、ルーベンスとクルルバウムはデータへの適合について簡単に報告し^{[ 100 ]}、プランクは自身の式を説明する理論的概略を示す短いプレゼンテーションを追加した^{[ 94 ]} 。1週間以内に、ルーベンスとクルルバウムはプランクの法則を確認する測定のより詳細な報告を行った。より長い波長の放射のスペクトル分解のための彼らの技術は残留光線法と呼ばれた。光線は研磨された結晶表面から繰り返し反射され、プロセス全体を通過した光線は「残留」であり、適切な特定の材料の結晶によって優先的に反射される波長であった^{[ 101 ] [ 102 ] [ 103 ] 。}

プランクは経験的に適合する関数を発見した後、この法則の物理的な導出を構築した。彼の考えは温度に直接関係するのではなく、エントロピーを中心に展開した。プランクは完全に反射する壁を持つ空洞を考えた。空洞内部には、有限個の異なるが同一の構成を持つ、一定の大きさの共鳴振動体が有限個存在し、それぞれに有限個の固有周波数で複数の振動体が存在する。これらの仮想的な振動体は、プランクにとって純粋に想像上の理論的な調査プローブであり、彼はそれらについて「その存在と性質が熱力学と電気力学の法則と一致する限り、自然界のどこかに実際に存在する必要はない」と述べた。^{[ 104 ]}プランクは共鳴振動体の仮説に明確な物理的意義を付与せず、むしろそれを、すべての波長で経験的データと一致する黒体スペクトルの単一の表現を導出できる数学的装置として提案した。^{[ 105 ]}彼は、そのような振動体と原子との関連性の可能性について暫定的に言及した。ある意味では、発振器はプランクの炭素の粒に対応していた。粒の大きさは、放射波長モード間でエネルギーを効果的に変換する限り、空洞の大きさに関係なく小さくてもよかった。^{[ 97 ]}

プランクは、ボルツマンが気体分子に対して開拓したヒューリスティックな計算方法を部分的に踏襲し、仮説上の荷電物質振動子のさまざまなモードに電磁エネルギーを分配する可能性のある方法を考察した。ボルツマンに倣って確率論的アプローチを受け入れたことは、それまでボルツマンが提案したそのような考え方に意図的に反対していたプランクの以前の立場からの根本的な変化であった。^{[ 106 ]}プランクの言葉を借りれば、「私は[量子仮説]を純粋に形式的な仮定と考え、どんな状況でも、どんな犠牲を払っても肯定的な結果が得られたということ以外は、あまり深く考えなかった」。^{[ 107 ]}ヒューリスティックに、ボルツマンはエネルギーを任意の単なる数学的な量子 εに分配し、その大きさをゼロに近づけるようにした。なぜなら、有限の大きさεは確率の数学的計算のために明確な計数を可能にするためだけに用いられ、物理的な意味はなかったからである。プランクは、新しい普遍的な自然定数hに言及し、^{[ 108 ]}有限個の固有周波数のそれぞれに対応する複数の振動子において、全エネルギーは、それぞれの固有周波数に固有の明確な物理エネルギー単位ϵの整数倍で各振動子に分配されると仮定した。^{[ 95 ] [ 109 ] [ 110 ] [ 111 ]}彼の新しい普遍的な自然定数hは、現在プランク定数として知られている。