ウィーンの変位法則

物理学において、ウィーンの変位法則は、異なる温度に対する黒体放射曲線は、温度に反比例する異なる波長でピークに達すると述べています。そのピークのシフトは、プランク放射法則の直接的な結果であり、プランク放射法則は、任意の温度における波長の関数として黒体放射のスペクトル輝度または強度を説明します。しかし、この法則は、マックス・プランクがより一般的な方程式を開発する数年前にドイツの物理学者ヴィルヘルム・ウィーンによって発見されており、温度が上昇するにつれて黒体放射のスペクトル全体がより短い波長の方へシフトすることを説明しています。

正式には、ウィーンの変位法則の波長バージョンは、単位波長あたりの黒体放射のスペクトル放射輝度が、次式で与えられる波長でピークに達することを述べています。 ここで、Tは絶対温度、bは比例定数であるウィーンの変位定数で、次の式に等しくなります。${\displaystyle \lambda _{\text{peak}}}$$${\displaystyle \lambda _{\text{peak}}={\frac {b}{T}}}$$2.897 771 955 ... × 10 ⁻³  m⋅K、^{[1] [2]}またはb ≈ 2898 μm ⋅K。

これは波長と温度の反比例関係です。したがって、温度が高いほど、熱放射の波長は短くなり、小さくなります。温度が低いほど、熱放射の波長は長くなります。可視光線の場合、熱い物体は冷たい物体よりも青い光を発します。単位周波数または比例帯域幅あたりの黒体放射のピークを考慮する場合は、異なる比例定数を使用する必要があります。ただし、法則の形は同じです。ピーク波長は温度に反比例し、ピーク周波数は温度に正比例します。

ウィーンの変位法則には、他の量に対してパラメータ化された他の定式化もあります。これらの代替定式化では、関係の形式は似ていますが、比例定数bが異なります。

ウィーンの変位法則は「ウィーンの法則」とも呼ばれ、ウィーン近似にも使用される用語です。

「ウィーンの変位法則」では、変位という言葉は、異なる温度に対して強度-波長グラフがどのようにシフト（変位）して見えるかを指します。

ウィーンの変位法則は、いくつかの日常的な経験に関連しています。

• トーチで熱せられた金属片は、最初は「赤熱」し、最も長い可視波長が赤く見えるようになります。その後、温度が上昇するにつれて、よりオレンジがかった赤に変わり、非常に高い温度では、より短い波長が黒体放射スペクトルの主流となるため、「白熱」した状態になります。赤熱温度に達する前は、熱放射は主に、目に見えないより長い赤外線波長で発生していましたが、その放射は近くの皮膚を温めるので、感じることができます。
• 白熱電球（熱放射によって光を生成する電球）のフィラメントの温度を調光器で変化させると、電球の色が変化することが容易に観察できます。光が暗くなり、フィラメントの温度が下がると、色の分布はより長い波長の方向にシフトし、光はより赤く、より暗く見えます。
• 1500 K の薪の火は、約 2000 ナノメートルでピークの放射線を発します。その放射線の 98% は 1000 nm より長い波長で、可視波長(390～700 ナノメートル)の放射線はごくわずかです。したがって、キャンプファイヤーは暖かさを保つことはできますが、可視光の光源としては不十分です。
• 太陽の有効温度は 5778 ケルビンです。ウィーンの法則を用いると、波長 1 ナノメートルあたりのピーク放射は、人間の目の感度のピーク付近のスペクトルの緑色部分である約 500 nm の波長にあります。^{[3] [4]}一方、単位光周波数あたりのパワーで見ると、太陽のピーク放射は 343 THz、つまり近赤外線の波長 883 nm にあります。パーセンテージ帯域幅あたりのパワーで見ると、ピークは赤色の波長である約 635 nm にあります。太陽放射の約半分は、人間の視覚の限界である 710 nm より短い波長にあります。そのうち約 12% は、肉眼では見えない紫外線波長である 400 nm より短い波長にあります。太陽放射の大部分は、かなり狭い可視スペクトルに含まれ、大気を通過します。^[5]
• しかし、可視光域での放射が優勢なのは、ほとんどの恒星の場合ではありません。高温の超巨星リゲルは光の60%を紫外線で放射しますが、低温の超巨星ベテルギウスは光の85%を赤外線波長で放射します。どちらの星もオリオン座で目立つため、青白いリゲル（T  = 12100 K）と赤いベテルギウス（T  ≈ 3800 K）の色の違いは簡単にわかります。^[6]リゲルほど高温の恒星はほとんどありませんが、太陽よりも低温、あるいはベテルギウスと同じくらい低温の恒星は非常に一般的です。
• 皮膚温度が約 300 K の哺乳類は、遠赤外線の約 10 μm でピーク放射を発します。したがって、マムシやパッシブ IR カメラが感知しなければならない赤外線波長の範囲は、この範囲になります。
• 照明源（蛍光灯、LED照明、コンピュータモニタ、フラッシュなど）の見かけの色を比較する場合、色温度を引用するのが通例です。このような光のスペクトルは黒体放射曲線では正確には説明できませんが、その光源の主観的な色に最も近い黒体放射の色温度（相関色温度）が引用されます。たとえば、オフィスで時々使用される青白色の蛍光灯の色温度は6500 Kであるのに対し、減光された白熱灯の赤みがかった色合いの色温度（および実際のフィラメント温度）は2000 Kです。前者（青みがかった）の色を「寒色」、後者（赤みがかった）の色を「暖色」と非公式に表現することは、黒体放射に伴う実際の温度変化と正反対であることに注意してください。

この法則は、1893年に熱力学の議論に基づいて導出したヴィルヘルム・ウィーンにちなんで名付けられました。 ^[7]ウィーンは、熱平衡にある光波を含む空洞の断熱膨張を考慮しました。ドップラーの原理を使用して、ゆっくりとした膨張または収縮では、壁から反射する光のエネルギーが周波数とまったく同じように変化することを示しました。熱力学の一般原理は、熱平衡状態が非常にゆっくりと膨張すると、熱平衡を維持するというものです。

ウィーン自身は1893年にボルツマンの熱力学的推論に従ってこの法則を理論的に導きました。この法則は、アメリカの天文学者ラングレーによって少なくとも半定量的に観測されていました。でのこの上方シフトは、誰もがよく知っています。鉄が火で熱されると、最初の可視光線（約900 K）は深紅色で、可視光線の中で最も周波数が低いです。 がさらに増加すると、色はオレンジ色、次に黄色、そして最終的に非常に高い温度（10,000 K以上）で青色に変わり、放射強度のピークは可視光線を超えて紫外線に移動します。^[8]${\displaystyle \nu _{\mathrm {peak} }}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

断熱原理により、ウィーンは各モードについて、断熱不変エネルギー/周波数は他の断熱不変量、周波数/温度の関数にすぎないと結論付けました。このことから、彼はウィーンの変位法則の「強力なバージョン」を導き出しました。これは、黒体スペクトル放射輝度が単一変数の何らかの関数Fに比例するというものです。ウィーンの導出の現代的な変種は、ワニエの教科書^[9]と E. バッキンガムの論文^[10]に記載されています。${\displaystyle \nu ^{3}F(\nu /T)}$

その結果、黒体放射関数の形状（当時はまだ解明されていなかった）は、温度とともに周波数が比例して（あるいは波長が反比例して）変化することになる。マックス・プランクが後に正しい黒体放射関数を定式化したとき、そこにはウィーン定数が明示的には含まれていなかった。その代わりに、プランク定数が作られ、彼の新しい式に導入された。プランク定数とボルツマン定数から、ウィーン定数を得ることができる。 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle b}$

上記の表の結果は、この記事の他のセクションの結果をまとめたものです。パーセンタイルはプランク黒体スペクトルのパーセンタイルです。^[11]黒体スペクトルのエネルギーのわずか25％が、ウィーンの法則のピーク波長バージョンで与えられる値よりも短い波長に関連付けられています。

与えられた温度に対して、異なるパラメータ化は異なる最大波長を意味することに注意してください。特に、単位周波数あたりの強度の曲線は、単位波長あたりの強度の曲線とは異なる波長でピークに達します。^[12]

たとえば、= 6,000 K (5,730 °C、10,340 °F)を使用し、波長でパラメーター化する場合、最大スペクトル放射輝度の波長は= 482.962 nmで、対応する周波数は= 620.737 THzです。同じ温度で周波数でパラメーター化する場合、最大スペクトル放射輝度の周波数は= 352.735 THzで、対応する波長は= 849.907 nmです。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \lambda }$

これらの関数は放射 密度関数であり、放射の単位を与えるためにスケーリングされた確率密度関数です。密度関数は、横軸の相対的な伸縮に応じて、さまざまなパラメータ化に対して異なる形状を持ちます。横軸は、特定のパラメータの線形変化に対する確率密度の変化を測定します。波長と周波数は相互関係にあるため、互いに対する確率密度の大幅な非線形シフトを表します。

全放射輝度は分布をすべての正の値にわたって積分したもので、任意のパラメータ化の下で与えられた温度に対して不変です。さらに、与えられた温度では、2 つの波長間のすべての光子からなる放射輝度は、どの分布を使用しても必ず同じになります。つまり、から までの波長分布を積分すると、とに対応する 2 つの周波数間の周波数分布を積分した場合と同じ値になります。つまり、からまでです。 ^[13]ただし、分布の形状はパラメータ化に依存し、異なるパラメータ化では、これらの計算が示すように、分布のピーク密度は通常異なります。^[12]${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle c/\lambda _{2}}$${\displaystyle c/\lambda _{1}}$

しかし、ウィーンの法則の重要な点は、中間波長 (または、代わりに、特定の放出率が発生する波長) を含むそのような波長マーカーは、温度の逆数に比例するということです。つまり、特定のパラメータ化の分布の形状は、温度に応じて拡大縮小され、変換され、標準温度で一度計算し、その後、適切にシフトおよび拡大縮小して、別の温度の分布を得ることができます。これは、ウィーンの法則の強い主張の結果です。

単位周波数 （ヘルツ）あたりのスペクトルフラックスを考慮すると、ウィーンの変位法則は、光周波数におけるピーク放射を次のように表します。^[14] または同等の式 で、=${\displaystyle d\nu }$${\displaystyle \nu _{\text{peak}}}$ $${\displaystyle \nu _{\text{peak}}={x \over h}k\,T\approx (5.879\times 10^{10}\ \mathrm {Hz/K} )\cdot T}$$$${\displaystyle h\nu _{\text{peak}}=x\,k\,T\approx (2.431\times 10^{-4}\ \mathrm {eV/K} )\cdot T}$$${\displaystyle x}$2.821 439 372 122 078 893 ... ^[15]は最大化方程式から得られる定数、 kはボルツマン定数、 hはプランク定数、 Tは絶対温度です。単位周波数あたりの放射を考慮すると、このピークは単位波長あたりのピークよりも約76%長い波長に相当します。関連する計算については次のセクションで詳しく説明します。

黒体放射のスペクトルに関するプランクの法則は、ウィーンの変位法則を予測し、特定のパラメータ化における温度とピークパラメータ値に関連する定数を数値的に評価するために使用できます。一般的には波長パラメータ化が使用され、その場合、黒体スペクトル放射輝度 (放射面積あたりの立体角あたりの電力) は次のようになります。 $${\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.}$$

について微分し、導関数をゼロに設定すると、次の式が得られます。 これは次のように簡略化できます。 ${\displaystyle u(\lambda ,T)}$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle {\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,}$$$${\displaystyle {hc \over \lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \over e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0.}$$

次のように定義すると、 方程式は単一の変数xに関するものとなり、 これは次と同等になります。 $${\displaystyle x\equiv {hc \over \lambda kT},}$$$${\displaystyle {xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0.}$$$${\displaystyle x=5(1-e^{-x})\,.}$$

この方程式は次のように解かれる。 ここで はランバートW関数の主枝であり、次のように表される。$${\displaystyle x=5+W_{0}(-5e^{-5})}$$${\displaystyle W_{0}}$${\displaystyle x=}$ 4.965 114 231 744 276 303 ... . ^[16] 波長をミリメートルで、温度をケルビンで求めると次の式が得られる: ^{[17] [2]}${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {peak} }=hc/xkT=\;}$（2.897 771 955 185 172 661 ... mm⋅K ) 。${\displaystyle /T}$

もう 1 つの一般的なパラメータ化は周波数によるものです。ピークパラメータ値を生成する導出は同様ですが、周波数の関数としてのプランクの法則の形から始まります。 ${\displaystyle \nu }$$${\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)={2h\nu ^{3} \over c^{2}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}.}$$

この式を用いた前述のプロセスは次式をもたらす。 最終結果は次のようになる。 これ は同様にランバートW関数で解くことができる。^[18] =$${\displaystyle -{h\nu \over kT}{e^{h\nu /kT} \over e^{h\nu /kT}-1}+3=0.}$$$${\displaystyle x=3(1-e^{-x})\,.}$$ $${\displaystyle x=3+W_{0}(-3e^{-3})}$$${\displaystyle x}$2.821 439 372 122 078 893 ...。 ^[15]

を解くと次式が得られる。^[14]${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nu _{\mathrm {peak} }=xkT/h=}$（0.058 789 257 576 468 249 46 ... THz⋅K ⁻¹ ) 。${\displaystyle \cdot T}$

暗黙の方程式を使用すると、比例帯域幅あたりの放射輝度パラメータで表されるスペクトル放射密度関数のピークが得られます。（つまり、周波数自体に比例する周波数帯域幅あたりの放射照度の密度で、周波数自体ではなく の（または同等の）無限小間隔を考慮して計算できます。）これはおそらく、「ピーク放射の波長」を表すより直感的な方法です。つまり、次の式が得られます。=${\displaystyle x=4(1-e^{-x})}$${\displaystyle \ln \nu }$${\displaystyle \ln \lambda }$${\displaystyle x}$3.920 690 394 872 886 343 ...。 ^[19]

放射分布を特徴付ける別の方法は、平均光子エネルギー^[12] によるものである。 ここで、はリーマンゼータ関数である。平均光子エネルギーに対応する波長は、次のように与えられる。 $${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle ={\frac {\pi ^{4}}{30\,\zeta (3)}}k\,T\approx (\mathrm {3.7294\times 10^{-23}\,J/K} )\cdot T\;,}$$${\displaystyle \zeta }$$${\displaystyle \lambda _{\langle E\rangle }\approx (\mathrm {0.532\,65\,cm{\cdot }K} )/T\,.}$$

Marr と Wilkin (2012) は、入門コースでウィーンの変位法則を広く教えることは望ましくなく、代わりの教材に置き換える方が良いと主張しています。彼らは、この法則を教えることは次のような理由で問題があると主張しています。

1. プランク曲線は広すぎるため、ピークが目立ったり、重要であると見なされたりすることはない。
2. ピークの位置はパラメータ化に依存しており、彼らは「関数のピークの指定は意味がないので、強調しないほうがよい」ということに同意するいくつかの情報源を引用しています。
3. この法則は実際には温度を決定するために使用されず、代わりにプランク関数を直接使用して温度を決定します。

彼らは、温度変化に伴う変化のより物理的に意味のある指標として、ウィーンの変位法則の代わりに平均光子エネルギーを提示することを提案している。これに関連して、彼らは、1秒あたりの平均光子数をシュテファン・ボルツマンの法則と関連させて議論することを推奨している。彼らは、プランクスペクトルを、波長または周波数の対数スケールを使用して「分数帯域幅分布あたりのスペクトルエネルギー密度」としてプロットすることを推奨している。 ^[12]

• ウィーン近似
• 放射率
• 佐久間・服部方程式
• シュテファン・ボルツマンの法則
• 温度計
• 紫外線災害

• Soffer, BH; Lynch, DK (1999). 「人間の視覚のスペクトル最適化に関するいくつかのパラドックス、エラー、および解決策」。American Journal of Physics . 67 (11): 946–953. Bibcode :1999AmJPh..67..946S. doi :10.1119/1.19170. S2CID  16025855.
• Heald, MA (2003). 「ウィーンピークはどこにあるのか?」American Journal of Physics . 71 (12): 1322–1323. Bibcode :2003AmJPh..71.1322H. doi :10.1119/1.1604387.

• エリック・ワイスタインの物理学の世界