パーセンタイル

統計学において、kパーセンタイル は、パーセンタイル スコアまたはセンタイルとも呼ばれ、頻度分布におけるスコアの特定のパーセンテージkがその下に位置するスコア (「排他的」定義)、または特定のパーセンテージがその下に位置するスコア (「包括的」定義) です。パーセンタイルは、パーセントではなく、入力スコアと同じ測定単位で表されます。たとえば、スコアが人間の体重を指す場合、対応するパーセンタイルはキログラムまたはポンドで表されます。無限のサンプル サイズの制限では、パーセンタイルは累積分布関数の逆関数であるパー​​センタイル関数に近似します。

パーセンタイルは、100 グループに細分化して得られる分位値の一種です。25 パーセンタイルは第 1四分位値( Q ₁ )、50 パーセンタイルは中央値または第 2 四分位値 ( Q ₂ )、75 パーセンタイルは第 3 四分位値 ( Q ₃ ) とも呼ばれます。たとえば、50 パーセンタイル (中央値) は、分布内のスコアの 50% が含まれるスコア ( 定義によっては またはまたは未満) です。

関連する数量に、パーセントで表されるスコアのパーセンタイル順位があり、分布内でそのスコアより低いスコアの割合（排他的定義）を表します。パーセンタイル スコアとパーセンタイル順位は、規範参照テストのテスト スコアの報告でよく使用されますが、先ほど述べたように、これらは同じではありません。パーセンタイル順位の場合、スコアが指定され、パーセンテージが計算されます。パーセンタイル順位は排他的です。つまり、指定されたスコアのパーセンタイル順位が 90% の場合、90% のスコアがより低いことになります。対照的に、パーセンタイルの場合、パーセンテージが指定され、対応するスコアが決定されます。このスコアは、排他的または包括的のいずれかになります。指定されたパーセンテージ (例: 90 番目) のスコアは、分布内の他のスコアがそのスコアより下 (排他的定義) にあるか、またはそのスコア以下 (包括的定義) にあるかを示します。

パーセンタイルの標準的な定義はありません。^{[1] [2] [3]} ただし、観測数が非常に多く、確率分布が連続している場合は、すべての定義で同様の結果が得られます。^[4]極限では、サンプルサイズが無限大に近づくにつれて、100 p^番目のパーセンタイル (0 < p <1) は、このようにして形成された累積分布関数(CDF)の逆数をpで評価したものに近似します。これは、p がCDF に近似するためです。これは、グリベンコ-カンテリの定理の結果として見ることができます。パーセンタイルを計算するいくつかの方法を次に示します。

計算方法のセクション (下記)で示されている方法は、小規模なサンプルの統計で使用するための近似値です。一般的に、正規分布に従う非常に大規模な母集団の場合、パーセンタイルは正規曲線プロットを参照して表されることがよくあります。正規分布は、標準偏差、またはシグマ ( ) 単位にスケールされた軸に沿ってプロットされます。数学的には、正規分布は左側が負の無限大まで、右側が正の無限大まで拡張されます。ただし、母集団内の個人のごく一部だけが -3 σから +3 σの範囲外になることに注意してください。たとえば、人間の身長では、+3 σ の身長レベルを超える人はほとんどいません。 ${\displaystyle \sigma}$

パーセンタイルは正規曲線の下の領域を表し、左から右に向かって増加します。各標準偏差は固定パーセンタイルを表します。したがって、小数点以下 2 桁に丸めると、-3 σは 0.13 番目のパーセンタイル、-2 σ は2.28 番目のパーセンタイル、-1 σ は15.87 番目のパーセンタイル、0 σ は50 番目のパーセンタイル (分布の平均と中央値の両方)、+1 σ は84.13 番目のパーセンタイル、+2 σ は97.72 番目のパーセンタイル、+3 σ は99.87 番目のパーセンタイルになります。これは、68–95–99.7 ルールまたは 3 シグマ ルールに関連しています。理論上は 0 番目のパーセンタイルは負の無限大に、100 番目のパーセンタイルは正の無限大になりますが、テスト結果などの多くの実際のアプリケーションでは、自然な下限および/または上限が適用されます。

ISP が「バースト可能な」インターネット帯域幅を請求する場合、95 パーセンタイルまたは 98 パーセンタイルでは通常、各月の帯域幅ピークの上位 5% または 2% をカットし、最も近いレートで請求します。このようにして、まれなピークは無視され、顧客はより公平に請求されます。この統計がデータ スループットの測定に非常に役立つ理由は、帯域幅のコストを非常に正確に表すからです。95 パーセンタイルは、95% の時間で使用量がこの量を下回り、残りの 5% の時間で使用量がこの量を上回ることを示します。

医師は乳児や子供の体重と身長を、成長曲線にある全国平均やパーセンタイル値と比較して成長を評価することが多いです。

道路上の交通の85パーセンタイル速度は、速度制限を設定する際や、その制限が高すぎるか低すぎるかを評価する際のガイドラインとしてよく使用されます。 ^{[5] [6]}

金融において、バリュー・アット・リスクとは、一定期間内にポートフォリオの価値が下回らないと予想され、信頼度が与えられた量を（モデルに依存した方法で）評価するための標準的な尺度です。

10 スコア分布の補間および最も近い順位、排他的および包括的パーセンタイル

パーセンタイルスコアには多くの公式やアルゴリズム^[7]があります。Hyndman と Fan ^{[1] は}9 つの方法を特定し、ほとんどの統計ソフトウェアやスプレッドシート ソフトウェアは、彼らが説明する方法の 1 つを使用しています。^[8]アルゴリズムは、スコア セット内に存在するスコアの値を返すか (最近傍順位法)、既存のスコア間を補間し、排他的または包括的です。

この図は、10 スコアの分布を示し、これらのさまざまなアルゴリズムから得られるパーセンタイル スコアを図示し、後述の例への導入として役立ちます。最も単純なのは、分布からスコアを返すニアレスト ランク メソッドですが、補間メソッドと比較すると、結果が少し粗くなる場合があります。ニアレスト ランク メソッドの表には、排他的メソッドと包括的メソッドの計算手順が示されています。

補間法は、その名前が示すように、分布内のスコア間のスコアを返すことができます。統計プログラムで使用されるアルゴリズムでは、通常、補間法が使用されます。たとえば、Microsoft Excel の percentile.exc 関数や percentile.inc 関数などです。補間法の表には、計算手順が示されています。

テキストでよく示されるパーセンタイルの定義の 1 つは、N 個の順序付けられた値 (最小から最大まで並べ替え) のリストのP番目のパーセンタイルは、リスト内の最小値であり、データのPパーセント以上がその値より小さくなく、データの少なくともPパーセントがその値以下であるということです。これは、最初に順序順位を計算し、次に順序付けられたリストからその順位に対応する値を取得することで得られます。順序順位n は、次の式を使用して計算されます 。${\displaystyle (0<P\leq 100)}$

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {P}{100}}\times N\right\rceil .}$

• 100 個未満の異なる値を持つリストで最近接ランク方式を使用すると、複数のパーセンタイルに同じ値が使用される可能性があります。
• 最近接順位法を使用して計算されたパーセンタイルは、常に元の順序付きリストのメンバーになります。
• 100 パーセンタイルは、順序付けられたリスト内の最大値として定義されます。

多くのアプリケーションで使用される丸めの代替として、隣接するランク間で線形補間を使用する方法があります。

以下のすべての変種には共通点があります。順序統計が与えられている

${\displaystyle \{v_{i},i=1,2,\ldots ,N:v_{i+1}\geq v_{i},\forall i=1,2,\ldots ,N-1\},}$

点を通る線形補間関数を求める。これは次のように簡単に実現できる。 ${\displaystyle (v_{i},i)}$

${\displaystyle v(x)=v_{\lfloor x\rfloor }+(x{\bmod {1}})(v_{\lfloor x\rfloor +1}-v_{\lfloor x\rfloor }),\forall x\in [1,N]:v(i)=v_{i}{\text{, for }}i=1,2,\ldots ,N,}$

ここで、 はfloor 関数を使用して正のxの整数部分を表しますが、 はmod 関数を使用してその小数部分 (1 で割った後の余り) を表します。 (端点 では は未定義ですが、が乗算されるため、定義する必要がないことに注意してください。) ご覧のとおり、x は下付き文字iの連続バージョンであり、隣接するノード間で v を線形補間します。${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x{\bmod {1}}}$${\displaystyle x=N}$${\displaystyle v_{\lfloor x\rfloor +1}}$${\displaystyle x{\bmod {1}}=0}$

バリアントアプローチには 2 つの違いがあります。1 つ目は、順位 x、パーセント順位、およびサンプルサイズ Nの関数である定数の間の線形関係です。 ${\displaystyle P=100p}$

${\displaystyle x=f(p,N)=(N+c_{1})p+c_{2}.}$

中央値に対応する範囲の中点が次の場所に発生するという追加要件があります。 ${\displaystyle (1,N)}$${\displaystyle p=0.5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(0.5,N)&={\frac {N+c_{1}}{2}}+c_{2}={\frac {N+1}{2}}\\\therefore 2c_{2}+c_{1}&=1\end{aligned}},}$

修正した関数の自由度は 1 になり、次のようになります。

${\displaystyle x=f(p,N)=(N+1-2C)p+C.}$

バリアントが異なる 2 つ目の点は、 pの範囲の端付近での関数の定義です。関数は範囲 の結果を生成するか、生成するように強制される必要があります。これは、より広い領域で 1 対 1 の対応が存在しないことを意味する場合があります。ある著者は、 を選択することを提案しています。ここで、ξ は、サンプル分布の極値限界である一般化極値分布の形状です。 ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle f(p,N)}$${\displaystyle [1,N]}$${\displaystyle C={\tfrac {1}{2}}(1+\xi )}$

（出典：Matlabの「prctile」関数、^{[9] [10]}）

${\displaystyle x=f(p)={\begin{cases}Np+{\frac {1}{2}},\forall p\in \left[p_{1},p_{N}\right],\\1,\forall p\in \left[0,p_{1}\right],\\N,\forall p\in \left[p_{N},1\right].\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{N}}\left(i-{\frac {1}{2}}\right),i\in [1,N]\cap \mathbb {N} }$

${\displaystyle \therefore p_{1}={\frac {1}{2N}},p_{N}={\frac {2N-1}{2N}}.}$

さらに、

${\displaystyle P_{i}=100p_{i}.}$

逆の関係はより狭い領域に制限されます。

${\displaystyle p={\frac {1}{N}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right),x\in (1,N)\cap \mathbb {R} .}$

[出典： NumPy ^[11]やMicrosoft Excel ^[3]（PERCENTILE.INC関数を使用したバージョン2013まで）を含むいくつかのソフトウェアパッケージ。NISTによって代替手段として記載されています。^[8] ]

${\displaystyle x=f(p,N)=p(N-1)+1{\text{, }}p\in [0,1]}$

${\displaystyle \therefore p={\frac {x-1}{N-1}}{\text{, }}x\in [1,N].}$

3 つのバリアントのうち、この特性を持つのは のみであるため、関係は 1 対 1 であることに注意してください。そのため、 Excel 関数には、 を含むことを示す「INC」サフィックスが付きます。${\displaystyle x\leftrightarrow p}$${\displaystyle p\in [0,1]}$

( NISTが推奨する主要なバリアントです。^[8] 2010 年から PERCENTIL.EXC 関数によって Microsoft Excel に採用されています。ただし、「EXC」サフィックスが示すように、Excel バージョンはpの範囲の両端、つまりを除外しますが、2 番目のバリアントである「INC」バージョンは除外しません。実際、 より小さい数値も除外され、エラーが発生します。) ${\displaystyle p\in (0,1)}$${\displaystyle {\frac {1}{N+1}}}$

${\displaystyle x=f(p,N)={\begin{cases}1{\text{, }}p\in \left[0,{\frac {1}{N+1}}\right]\\p(N+1){\text{, }}p\in \left({\frac {1}{N+1}},{\frac {N}{N+1}}\right)\\N{\text{, }}p\in \left[{\frac {N}{N+1}},1\right]\end{cases}}.}$

逆はより狭い領域に制限されます。

${\displaystyle p={\frac {x}{N+1}}{\text{, }}x\in (0,N).}$

パーセンタイル関数に加えて、加重パーセンタイルもあります。これは、総数ではなく総重量の割合がカウントされる関数です。加重パーセンタイルには標準的な関数はありません。1 つの方法は、上記のアプローチを自然な形で拡張します。

N個のソートされたサンプル値にそれぞれ正の重みが関連付けられていると仮定します。 ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},\dots ,w_{N}}$

${\displaystyle S_{N}=\sum _{k=1}^{N}w_{k},}$

重みの合計。そして、上記の式は次のように一般化される。

${\displaystyle p_{n}={\frac {1}{S_{N}}}\left(S_{n}-{\frac {w_{n}}{2}}\right)}$いつ、${\displaystyle C=1/2}$

または

${\displaystyle p_{n}={\frac {S_{n}-Cw_{n}}{S_{N}+(1-2C)w_{n}}}}$一般向け、${\displaystyle C}$

そして

${\displaystyle v=v_{k}+{\frac {P-p_{k}}{p_{k+1}-p_{k}}}(v_{k+1}-v_{k}).}$

50% 加重パーセンタイルは加重中央値として知られています。

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