プランク軌跡

物理学と色彩科学において、プランク軌跡または黒体軌跡は、黒体温度が変化するにつれて白熱黒体の色が特定の色度空間でとる経路または軌跡です。低温では濃い赤からオレンジ、黄色、白を経て、非常に高温に なると青みがかった白になります。

色空間は3 次元空間です。つまり、色は特定の均質な視覚刺激の色と明るさを指定する 3 つの数値 (たとえば、CIE座標X、Y、Z 、または色相、彩度、輝度などの他の値) のセットによって指定されます。色度は、明るさを無視した2 次元空間に投影された色です。たとえば、標準のCIE XYZ 色空間は、xとyと呼ばれる 2 つの色度座標によって指定される対応する色度空間に直接投影され、図に示すようなよく知られた色度図が作成されます。黒体温度が変化するにつれて黒体の色がたどる経路であるプランク軌跡は、この標準色度空間でよく示されます。

CIE XYZ色空間では、色を定義する3つの座標はX、Y、Zで与えられる。^[1]

${\displaystyle X_{T}=\int _{\lambda }X(\lambda )M(\lambda ,T)\,d\lambda }$

${\displaystyle Y_{T}=\int _{\lambda }Y(\lambda )M(\lambda ,T)\,d\lambda }$

${\displaystyle Z_{T}=\int _{\lambda }Z(\lambda )M(\lambda ,T)\,d\lambda }$

ここで、M ( λ , T ) は観察される光のスペクトル放射出射率、 X ( λ )、Y ( λ )、Z ( λ ) は右の図に示すCIE標準色彩測定観測者の色合わせ関数、λは波長です。プランク軌跡は、プランクの法則で与えられる黒体スペクトル放射出射率を上記の式に代入することで決定されます。

${\displaystyle M(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{{\lambda }T}}\right)-1}}}$

どこ：

c ₁ = 2 π hc ^2は最初の放射定数である

c ₂ = hc / kは2番目の放射定数である

そして

Mは黒体スペクトル放射発散度（単位面積当たりの単位波長あたりの電力：ワット/平方メートル/メートル（W/m ³））

Tは黒体の温度である

hはプランク定数である

cは光の速度です

kはボルツマン定数である

これはCIE XYZ色空間におけるプランク軌跡となる。これらの座標がX _T、Y _T、Z _T（ Tは温度）である場合、CIE色度座標は次のようになる。

${\displaystyle x_{T}={\frac {X_{T}}{X_{T}+Y_{T}+Z_{T}}}}$

${\displaystyle y_{T}={\frac {Y_{T}}{X_{T}+Y_{T}+Z_{T}}}}$

なお、プランクの法則の上記の式では、c ₁ (「通常の」第 1 放射定数)の代わりにc _1L = 2 hc ^{2 (}スペクトル放射輝度の第 1 放射定数) を使用することもできます。その場合、式はスペクトル放射発散度M ( λ、T )の代わりに黒体のスペクトル放射輝度L ( λ、T ) を与えます。ただし、この変更はX _T、Y _{T 、}およびZ _Tの絶対値にのみ影響し、互いの相対値には影響しません。X _T、Y _{T 、}およびZ _{T は}通常Y _T = 1 (または Y _T = 100)に正規化され、 x _Tおよびy _Tが計算されるときに正規化されるため、 X _T、Y _T 、およびZ _Tの絶対値は重要ではありません。したがって、実際的な理由から、c _{1 は}単に 1 に置き換えられる場合があります。

xy空間のプランク軌跡は、上記の色度図の曲線として描かれています。上記の式からCIE xy座標を正確に計算することも可能ですが、近似値を使用する方が高速です。ミレッドスケールは温度自体よりも軌跡に沿ってより均一に変化するため、このような近似値は逆温度の関数となるのが一般的です。Kimらは3次スプラインを使用しています: ^{[2] [3]}

${\displaystyle x_{\text{c}}={\begin{cases}-0.2661239{\frac {10^{9}}{T^{3}}}-0.2343589{\frac {10^{6}}{T^{2}}}+0.8776956{\frac {10^{3}}{T}}+0.179910&1667\,{\text{K}}\leq T\leq 4000\,{\text{K}}\\-3.0258469{\frac {10^{9}}{T^{3}}}+2.1070379{\frac {10^{6}}{T^{2}}}+0.2226347{\frac {10^{3}}{T}}+0.240390&4000\,{\text{K}}\leq T\leq 25000\,{\text{K}}\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{\text{c}}={\begin{cases}-1.1063814x_{\text{c}}^{3}-1.34811020x_{\text{c}}^{2}+2.18555832x_{\text{c}}-0.20219683&1667\,{\text{K}}\leq T\leq 2222\,{\text{K}}\\-0.9549476x_{\text{c}}^{3}-1.37418593x_{\text{c}}^{2}+2.09137015x_{\text{c}}-0.16748867&2222\,{\text{K}}\leq T\leq 4000\,{\text{K}}\\+3.0817580x_{\text{c}}^{3}-5.87338670x_{\text{c}}^{2}+3.75112997x_{\text{c}}-0.37001483&4000\,{\text{K}}\leq T\leq 25000\,{\text{K}}\end{cases}}}$

プランク軌跡はCIE 1960色空間でも近似することができ、CCTとCRIを計算するために次の式で表されます。^[4]

${\displaystyle {\bar {u}}(T)={\frac {0.860117757+1.54118254\times 10^{-4}T+1.28641212\times 10^{-7}T^{2}}{1+8.42420235\times 10^{-4}T+7.08145163\times 10^{-7}T^{2}}}}$

${\displaystyle {\bar {v}}(T)={\frac {0.317398726+4.22806245\times 10^{-5}T+4.20481691\times 10^{-8}T^{2}}{1-2.89741816\times 10^{-5}T+1.61456053\times 10^{-7}T^{2}}}}$

この近似は、およびに対してまで正確です。あるいは、より広い温度範囲が必要な場合は、 上記から推定した色度 ( x , y ) 座標を使用して、対応する ( u , v ) を導出することもできます。${\displaystyle \left|u-{\bar {u}}\right|<8\times 10^{-5}}$${\displaystyle \left|v-{\bar {v}}\right|<9\times 10^{-5}}$${\displaystyle 1000\,K<T<15\,000\,K}$

プランク軌跡上またはその近くの色度座標 ( x、y ) から相関色温度への逆計算については、 「相関色温度 § 近似」で説明します。

相関色温度（T cp _）は、特定の視覚条件下、同じ明るさで与えられた刺激の色に最も近い知覚色を示すプランク放射体の温度である。

—  CIE/IEC 17.4:1987、国際照明用語集（ISBN  3900734070）^[5]

相関色温度を決定するための数学的手順は、プランク軌跡上の光源の白色点に最も近い点を見つけることである。1959年にブリュッセルで開催されたCIEの会議以来、プランク軌跡はCIE 1960色空間（マカダムの（u,v）図としても知られる）を使用して計算されている。^[6]今日、CIE 1960色空間は他の目的では推奨されていない：^[7]

1960 年の UCS 図と 1964 年の Uniform Space は CIE 15.2 (1986) で廃止された推奨事項として宣言されていますが、演色評価数と相関色温度の計算には当面保持されています。

—  CIE 13.3 (1995)、光源の演色特性の測定および指定方法

この概念に固有の知覚的不正確さのため、知覚不能の閾値に達するには、低いCCTでは2 K以内、高いCCTでは10 K以内で計算すれば十分である。^[8]

プランク軌跡は、標準色彩測定観測者を用いてプランク放射体の色度値を決定することによって得られる。プランク放射体の相対スペクトルパワー分布（SPD）はプランクの法則に従い、第2放射定数に依存する。測定技術の進歩に伴い、国際度量衡総会は国際温度目盛り（略して国際実用温度目盛り）でこの定数の推定値を改訂した。これらの改訂によりプランク軌跡がシフトし、その結果相関色温度目盛りもシフトした。標準光源の発行を中止する前に、CIEは黒体と色温度を参照するのではなく、SPDの形式を明示的に指定することでこの問題を回避した。とはいえ、以前の改訂を知っておくと、古いテキストで行われた計算を検証できるため有用である。^{[9] [10]}${\displaystyle c_{2}=hc/k}$

• ${\displaystyle c_{2}}$=1.432 × 10 ⁻²  m·K (ITS-27)。注: 1931年に照明光源A、B、Cの標準化の際に有効であったが、CIEは米国国立標準局が推奨する値1.435 × 10 ^{−2を使用した[11] [12]。}
• ${\displaystyle c_{2}}$=1.4380 × 10 ⁻²  m·K (IPTS-48)。イルミナントシリーズDに有効(1967年に正式化)。
• ${\displaystyle c_{2}}$=1.4388 × 10 ⁻²  m·K (ITS-68)、(ITS-90)。最近の論文ではよく使用されています。
• ${\displaystyle c_{2}}$=1.438 7770 (13) × 10 ⁻²  m·K ( CODATA 2010) ^[13]
• ${\displaystyle c_{2}}$=1.438 777 36 (83) × 10 ⁻²  m·K ( CODATA 2014) ^{[14] [15]}
• ${\displaystyle c_{2}}$=1.438 776 877 ... × 10 ⁻²  m·K ( CODATA 2018)。2020年現在の値。^[16] 2019年のSI改訂版では、ボルツマン定数が正確な値に固定されました。プランク定数と光速はすでに正確な値に固定されていたため、c ₂も正確な値になりました。...は循環分数を示すのではなく、この正確な値の最初の10桁のみが表示されることを意味するだけであることに注意してください。

• 紫外線災害

• Mitchell Charity による、1931 年と 1964 年の CMF の色温度とそれに対応する xy および sRGB 座標の数値表。