熱力学的ベータ

統計熱力学において、熱力学的ベータ（冷たさとしても知られる）^[1]は、系の熱力学的温度の逆数である（ここでTは温度、k _Bはボルツマン定数）。^[2]$${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}$$

熱力学的ベータは、エネルギーの逆数の単位（SI単位では、逆ジュール、）を持つ。非熱量単位では、バイト/ジュール、またはより便利なギガバイト/ナノジュールで測定することもできる。^[3] 1 K ⁻¹は、約13,062ギガバイト/ナノジュールに相当する。室温：T = 300K、β ≈${\displaystyle [\beta ]={\textrm {J}}^{-1}}$44 GB/nJ ≈39  eV ⁻¹ ≈2.4 × 10 ²⁰  J ⁻¹。変換係数は 1 GB/nJ = J ⁻¹です。 ${\displaystyle 8\ln 2\times 10^{18}}$

熱力学的ベータは、本質的には、エントロピーとそのエネルギーに関連する熱力学を通じて物理システムの情報理論と統計力学の解釈を結び付けるものです。これは、エネルギーの増加に対するエントロピーの反応を表します。システムに少量のエネルギーが追加されると、β はシステムがランダム化する量を表します。

エントロピーの関数としての温度の統計的定義により、冷たさの関数はミクロカノニカル集合において次の式から 計算できる。

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}\,={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}}$

（すなわち、一定の体積Vと粒子数NにおけるエネルギーEに対するエントロピーSの偏微分）。

概念内容は温度と完全に同等であるが、βは負の温度の現象により、一般的に温度よりも基本的な量であると考えられている。負の温度では、βはゼロを横切って連続しているが、Tは特異点を持つ。^[4]

さらに、β には因果関係を理解し​​やすいという利点があります。システムに少量の熱が加えられると、β はエントロピーの増加を熱の増加で割った値になります。温度は、温度、体積、粒子数などの他の量を変更することによって間接的にしかシステムに「エントロピーを追加」できないため、同じ意味で解釈するのは困難です。

統計的観点から、β は平衡状態にある 2 つのマクロなシステムを関連付ける数値量です。正確な定式化は次のとおりです。熱接触している 2 つのシステム 1 と 2 を考えます。それぞれのエネルギーはE _1とE _{2です。E 1} + E ₂ = 定数Eと仮定します。各システムのミクロ状態の数はΩ ₁と Ω ₂で表されます。この仮定では、Ω _{i は}E _iのみに依存します。また、 E ₁と一致するシステム 1 のミクロ状態は、E ₂と一致するシステム 2 のミクロ状態と共存できると仮定します。したがって、結合されたシステムのミクロ状態の数は

${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}( E-E_{1}).\,}$

統計力学の基本的な仮定からβを導出します。

複合システムが平衡に達すると、Ω の数は最大になります。

（言い換えれば、システムは自然にミクロ状態の最大数を求める。）したがって、平衡状態では、

${\displaystyle {\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.}$

しかし、E ₁ + E ₂ = Eは

${\displaystyle {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.}$

それで

${\displaystyle \Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0}$

つまり

${\displaystyle {\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{at equilibrium.}}}$

上記の関係からβの定義は次のようになります。

${\displaystyle \beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.}$

2つのシステムが平衡状態にあるとき、それらの熱力学的温度 Tは同じです。したがって、直感的には、 β（ミクロ状態によって定義される）は何らかの形でTと関連していると考えられます。この関係は、次のように記述されるボルツマンの基本仮定によって提供されます。

${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,}$

ここでk _Bはボルツマン定数、Sは古典的な熱力学的エントロピー、Ω はミクロ状態の数です。したがって

${\displaystyle d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.}$

上記の統計的定義から βの定義に代入すると、

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.}$

熱力学式との比較

${\displaystyle {\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},}$

我々は持っています

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}}$

ここで はシステムの 基本温度と呼ばれ、エネルギーの単位を持ちます。${\displaystyle \tau }$

熱力学的ベータは、もともと1971年に合理的熱力学学派の提唱者の一人であるインゴ・ミュラー [de]によって「冷たさ関数^{」として導入されました[5] [6]}。これは「逆温度」関数の以前の提案に基づいています^{[1] [7] [一次資料以外が必要]}

• ボルツマン分布
• 正統派アンサンブル
• イジングモデル