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微分幾何学において、シュワルツ極小面は、もともとヘルマン・シュワルツによって記述された周期 極小面である。
1880年代にシュワルツと彼の弟子であるE. R. ネオビウスは周期極小面について記述した。[1] [2]これらは後に、ジャイロイドやその他の三重周期極小面について記述したアラン・シェーンによる画期的な報告書の中で命名された。[3]
表面は対称性の議論を使って生成された。多角形に対するプラトー問題の解が与えられた場合、境界線を横切る表面の反射によっても、元の解に連続的に結合できる有効な極小表面が生成される。極小表面が平面と直角に交わる場合、平面の鏡像も表面に結合することができる。したがって、単位格子に内接する適切な初期多角形が与えられれば、周期的な表面を構築することができる。[4]
シュワルツ面は位相種数が3であり、三重周期極小面の極小種数である。[5]
これらは、ブロック共重合体中の周期的ナノ構造、結晶中の静電等電位面[6]、および仮想的な負に湾曲したグラファイト相[7]のモデルとして考えられてきた。
シュワルツ P (「プリミティブ」)
シェーンは、この曲面を「原始的」と名付けました。なぜなら、この曲面には、単純な立方格子を膨らませた管状の形をした、2つの絡み合った合同な迷路があるからです。標準的なP曲面は立方対称性を持ちますが、単位格子は任意の長方形の箱にすることができ、同じ位相を持つ極小曲面のファミリーを生成します。[8]
これは暗黙の曲面によって近似できる。
- [9 ]
P表面は、高い表面積と体積の比と多孔性を備えた組織スキャフォールドのプロトタイプを作成するために検討されてきた。 [10]
シュヴァルツD（「ダイヤモンド」）
ショーンは、この表面が 2 つの絡み合った合同な迷路を持ち、それぞれの迷路がダイヤモンド結合構造の膨張した管状バージョンのような形状をしていることから、この表面を「ダイヤモンド」と名付けました。文献では F 面と呼ばれることもあります。
これは暗黙の曲面によって近似できる。
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楕円積分を用いた正確な表現はワイエルシュトラス表現に基づいて存在する。[11]
シュワルツ H (「六角形」)
H 面は三角形の境界を持つ カテノイドに似ており、空間をタイル張りすることができます。
シュワルツ CLP (「交差する平行線」)
イラスト
- サスケハナ大学 - 三重周期極小曲面 (アーカイブ)
- インディアナ大学 - 種数 3 の三重周期面 (アーカイブ)
- ルプレヒト・カール大学ハイデルベルク - 三重周期極小曲面に基づく二連続立方相
- ブリュッセル自由大学 - シュワルツの表面 (アーカイブ)
- バーチャル数学博物館 - 3DXM 極小表面ギャラリー
参考文献
- ^ HA Schwarz、Gesammelte Mathematische Abhandlungen、シュプリンガー、ベルリン、1933 年。
- ^ ER Neovius、「Bestimmung zweier spezieller periodischer Minimalflächen」、Akad。アブハンドルンゲン、ヘルシングフォルス、1883年。
- ^ アラン・H・ショーン「自己交差のない無限周期極小面」NASA技術ノートTN D-5541（1970）[1]
- ^ ヘルマン・カーチャー、コンラッド・ポルティエ、「三重周期極小面の構築」、Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 1996 年 9 月 16 日 vol. 354 no. 1715 2077–2104
- ^ 「アラン・ショーン幾何学」。
- ^ Mackay, Alan L. (1985 年 4 月). 「周期的極小面」. Nature . 314 (6012): 604–606. Bibcode :1985Natur.314..604M. doi :10.1038/314604a0. S2CID 4267918.
- ^ Terrones, H.; Mackay, AL (1994 年 12 月). 「負に曲がったグラファイトと三重周期極小面」. Journal of Mathematical Chemistry . 15 (1): 183–195. doi :10.1007/BF01277558. S2CID 123561096.
- ^ WH Meeks. 三重周期極小面の理論。インディアナ大学数学ジャーナル、39 (3):877-936、1990年。
- ^ 「三重周期レベル表面」。2019年2月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年2月10日閲覧。
- ^ Jaemin Shin、Sungki Kim、Darae Jeong、Hyun Geun Lee、Dongsun Lee、Joong Yeon Lim、Junseok Kim、「組織工学スキャフォールドの Schwarz P 表面細孔形状の有限要素解析」、Mathematical Problems in Engineering、第 2012 巻、記事 ID 694194、doi:10.1155/2012/694194
- ^ Paul JF Gandy、Djurdje Cvijović、Alan L. Mackay、Jacek Klinowski、「三重周期 D (`ダイヤモンド') 極小面の正確な計算」、Chemical Physics Letters、第 314 巻、第 5 ～ 6 号、1999 年 12 月 10 日、543 ～ 551 ページ