三重周期極小面

微分幾何学において、三重周期極小曲面 (TPMS)は、ランク 3の並進格子に対して不変であるにおける極小曲面です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

これらの表面は結晶学群の対称性を持っています。立方晶系、正方晶系、菱面体晶系、斜方晶系の対称性を持つ例は数多く知られています。単斜晶系や三斜晶系の例は確かに存在しますが、パラメータ化が困難であることが証明されています。^[1]

^{TPMSは自然科学に関連しています。TPMSは生体膜として[2] 、}ブロック共重合体として^[3]、結晶中の等電位面^[4]などとして観察されています。また、建築、デザイン、芸術の分野でも関心を集めています。

研究されたほぼすべてのTPMSは自己交差がありません（つまり、に埋め込まれています）。数学的な観点から見ると、それらは最も興味深いものです（自己交差面は自明に豊富であるため）。^[5]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

全ての連結TPMSは種数≥3を持ち、^[6]すべての格子には種数≥3の向き付け可能な埋め込みTPMSが存在する。^[7]

埋め込まれたTPMSは方向付け可能で、空間を2つの独立したサブボリューム（迷路）に分割します。それらが一致する場合、表面はバランス面と呼ばれます。^[8]

TPMSの最初の例は、1865年にシュワルツによって記述された表面であり、続いて1883年に彼の学生であるERネオビウスによって記述された表面であった。 ^{[9] [10]}

1970年にアラン・シェーンは結晶学の細胞にまたがるスケルトングラフに基づいた12の新しいTPMSを考案した。^{[11] [12]}シェーンの表面は自然科学で人気を博したが、その構成は数学的な存在証明には役立たず、1989年にH.ケルヒャーがその存在を証明するまで数学ではほとんど知られていなかった。^[13]

共役面を使うと、さらに多くの面が発見されました。ワイエルシュトラス表現はより単純な例では知られていますが、多くの面では知られていません。代わりに、離散微分幾何学の方法がしばしば使用されます。^[5]

TPMS の分類は未解決の問題です。

TPMS は、連続的に変形できるファミリーに属することが多い。ミークスは、種数 3 TPMS の明示的な 5 パラメータ ファミリーを発見した。これには、ジャイロイドを除く種数 3 の表面の既知の例がすべて含まれていた。^[6]このファミリーのメンバーは、連続的に変形でき、プロセスに埋め込まれたままになる (格子は変化する可能性がある)。ジャイロイドとリディノイドは、それぞれ別の 1 パラメータ ファミリーに属している。^[14]

TPMSを分類するもう一つの方法は、空間群を調べることです。線を含む面の場合、境界多角形を列挙して分類することができます。^{[8] [15]}

^{周期極小面は}S3 ^[16]とH3 ^[17]で構築できる。

空間を迷路に分割することを一般化して、空間を2つ以上の部分空間に分割する3重周期（ただし分岐している可能性もある）の極小面を見つけることが可能である。^[18]

準周期極小面は で構築されている。^[19]に準結晶秩序を持つ極小面が存在することが示唆されているが、証明されていない。^[20]${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times {\textbf {S}}^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• ミニマルサーフェスアーカイブのTPMS [2]
• 周期極小面ギャラリー [3]