線形微分方程式

数学において、線形微分方程式とは、未知関数とその導関数に関して 線形である微分方程式であり、次の形式で表すことができる。$${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)}$$ ここで、a ₀ ( x )、 ...、a _n ( x )およびb ( x )は任意の微分可能な関数であり、線形である必要はありません。また、y ′、 ...、y ^{( n )}は変数xの未知関数yの連続する導関数です。

このような方程式は常微分方程式（ODE）です。線形微分方程式は、未知関数が複数の変数に依存し、方程式に現れる導関数が偏導関数である場合、線形偏微分方程式（PDE）にもなり得ます。

線形微分方程式、または関連する同次方程式の係数が定数である線形方程式系は、求積法によって解くことができます。これは、解が積分で表せることを意味します。これは、非定数係数を持つ1次の線形方程式にも当てはまります。一般に、非定数係数を持つ2次以上の方程式は、求積法では解くことができません。2次の方程式については、Kovacicのアルゴリズムによって、積分による解が存在するかどうかを判定し、存在する場合はそれを計算することができます。

多項式係数を持つ同次線形微分方程式の解は、ホロノミック関数と呼ばれます。この関数群は、和、積、微分、積分に対して安定しており、指数関数、対数関数、正弦関数、余弦関数、逆三角関数、誤差関数、ベッセル関数、超幾何関数など、多くの一般的な関数や特殊関数を含みます。定義微分方程式と初期条件によるこれらの関数の表現により、原始関数、極限、漸近展開、任意の精度での数値評価など、微積分学のほとんどの演算をアルゴリズム化することができ、誤差範囲も保証されます。

（線形）微分方程式に現れる最高次の導関数は、方程式の次数です。未知関数とその導関数に依存しない項b ( x )は、この項が定数関数でない場合でも、（代数方程式との類推により）方程式の定数項と呼ばれることがあります。定数項がゼロ関数である場合、微分方程式は未知関数とその導関数に関する同次多項式であるため、同次であると言われます。線形微分方程式において定数項をゼロ関数で置き換えることによって得られる方程式は、関連同次方程式。微分方程式の係数が定数とは、関連する同次方程式の係数として定数

A微分方程式の解とは、その方程式を満たす関数のことです。同次線形微分方程式の解はベクトル空間。通常、このベクトル空間は有限次元であり、その次元は方程式の次数に等しくなります。線形微分方程式のすべての解は、特定の解に、対応する同次方程式の任意の解を加えることによって求められます。

i階の基本微分演算子は、任意の微分可能な関数をそのi階導関数に写像する写像、または複数の変数がある場合は、そのi階偏導関数のいずれかに写像する写像です。これは一般的に次のように表記されます。 $${\displaystyle {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}}$$単変数関数 の場合、 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}}$$n変数 の関数の場合。基本的な微分演算子には、0 階微分、つまり恒等写像が含まれます。

線形微分演算子（この記事では、線形演算子または単に演算子と略記）は、微分可能な関数を係数とする基本微分演算子の線形結合です。単変数の場合、線形演算子は次の形式になります^{[ 1 ]}$${\displaystyle a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},}$$ ここで、a ₀ ( x ), ..., a _n ( x )は微分可能な関数であり、非負整数nは演算子の次数です( a _n ( x )がゼロ関数でない場合)。

L を線形微分演算子とする。関数fへのLの適用は、通常Lfまたは、変数を指定する必要がある場合はLf ( X )と表記される（これは乗算と混同してはならない）。線形微分演算子は、和を和に、スカラーによる積を同じスカラーによる積に写像するため、線形演算子である。

2つの線形演算子の和は線形演算子であり、線形演算子と微分可能な関数の積（左辺）も線形演算子であるため、線形微分演算子は（考慮する関数の性質に応じて）実数または複素数上のベクトル空間を形成します。また、微分可能な関数の環上の自由加群も形成します。

演算子の言語では、微分可能な方程式を簡潔に記述できます。 $${\displaystyle L=a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},}$$ は線形微分演算子である、ならば、方程式 $${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)}$$ 書き換えられる可能性がある $${\displaystyle Ly=b(x).}$$

この表記法にはいくつかのバリエーションがあるかもしれません。特に、微分変数は、yと方程式の右辺に明示的に現れる場合と現れない場合があります。例えば、Ly ( x ) = b ( x )またはLy = bなどです。

線形微分作用素の核は、線形写像としての核、すなわち（同次）微分方程式Ly = 0の解のベクトル空間である。

n階の通常の微分作用素の場合、カラテオドリの存在定理は、非常に緩やかな条件下で、 Lの核がn次元のベクトル空間であり、方程式Ly ( x ) = b ( x )の解が次の形式である ことを意味します。$${\displaystyle S_{0}(x)+c_{1}S_{1}(x)+\cdots +c_{n}S_{n}(x),}$$ ここでc ₁、 ...、c _nは任意の数です。一般的に、関数b、a ₀、 ...、a _nが区間 Iで連続であり、 Iのすべてのxに対して| a _n ( x ) | > kとなるような正の実数kが存在する場合、カラテオドリの定理の仮定は区間Iで満たされます。

同次線形微分方程式は、次の形式であれば 定数係数を持つ。$${\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0}$$ ここで_、a₁ , ..., aₙ_は（実数または複素数）です。言い換えれば、定数係数を持つ線形演算子で定義されている場合、定数係数を持つことになります。

定数係数を持つこれらの微分方程式の研究は、指数関数を導入したレオンハルト・オイラーにまで遡る。${\displaystyle e^{x}}$これは、方程式の唯一の解です。${\displaystyle f'=f}$、したがって${\displaystyle f(0)=1}$したがって、n階微分は${\displaystyle e^{cx}}$は${\displaystyle c^{n}e^{cx}}$これにより、同次線形微分方程式を比較的容易に解くことができる。

させて $${\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0}$$ 定数係数を持つ同次線形微分方程式である（つまり、a ₀、 ...、a _nは実数または複素数である）。

この方程式の解でe ^αxの形を持つものを探すことは、定数α を探すことと同等である。 $${\displaystyle a_{0}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha e^{\alpha x}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha x}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha x}=0.}$$e ^αx (決してゼロにならない) を因数分解すると、 α は特性多項式の根でなければならないことがわかる。$${\displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}}$$微分方程式の、特性方程式 の左辺$${\displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}=0.}$$

これらの根がすべて異なる場合、方程式の係数が実数であっても、必ずしも実数ではないn個の異なる解が存在します。これらの解は、 x = 0, ..., n – 1におけるこれらの解の値のヴァンデルモンド行列式を考慮することで、線形独立であることが示されます。これらを合わせると、微分方程式の解のベクトル空間（すなわち、微分作用素の核）の基底が形成されます。

特性多項式が単純根のみを持つ場合、前述の式は解ベクトル空間の完全な基底を提供する。多重根を持つ場合は、基底を得るためにより多くの線形独立な解が必要となる。これらの解は次の形式をとる 。$${\displaystyle x^{k}e^{\alpha x},}$$ ここで、kは非負整数、αは重複度mの特性多項式の根であり、k < mである。これらの関数が解であることを証明するために、 αが重複度mの特性多項式の根である場合、特性多項式はP ( t )( t − α ) ^mと因数分解できることに注目すればよい。したがって、この方程式の微分演算子を適用することは、まずm回演算子を適用することと同等である。${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$そして、特性多項式としてPを持つ演算子。指数シフト定理により、 $${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-\alpha \right)\left(x^{k}e^{\alpha x}\right)=kx^{k-1}e^{\alpha x},}$$

したがって、k + 1 回の適用後にはゼロになる。${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$。

代数学の基本定理によれば、多項式の根の重複度の合計は多項式の次数に等しいので、上記の解の数は微分方程式の次数に等しく、これらの解は解のベクトル空間の基底を形成します。

方程式の係数が実数である一般的な場合、解の基底を実数値関数で構成する方が一般的に便利です。このような基底は、 a + ib が特性多項式の根であれば、a – ibも同じ重複度を持つ根であることに注目することで、前述の基底から得ることができます。したがって、オイラーの公式を使用し、を置き換えることで、実数基底が得られます。${\displaystyle x^{k}e^{(a+ib)x}}$そして${\displaystyle x^{k}e^{(a-ib)x}}$による${\displaystyle x^{k}e^{ax}\cos(bx)}$そして${\displaystyle x^{k}e^{ax}\sin(bx)}$。

定数係数を持つn次非同次方程式は次のように書ける。 $${\displaystyle y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=f(x),}$$ ここで、a ₁、 ...、a _nは実数または複素数であり、fはxの既知の関数であり、yは未知の関数です (簡略化のため、以下では " ( x ) " は省略します)。

このような方程式を解くにはいくつかの方法があります。最適な方法は、方程式を非同次にする関数fの性質によって異なります。fが指数関数と正弦関数の線形結合である場合、指数応答公式を使用できます。より一般的に、fがx ⁿ e ^ax、x ⁿ cos( ax )、およびx ⁿ sin( ax )の形式の関数の線形結合である場合（nは非負の整数、aは定数（各項で同じである必要はありません））、未定係数法を使用できます。さらに一般的に、f が同次線形微分方程式、典型的にはホロノミック関数を満たす場合、消滅法が適用されます。

最も一般的な方法は定数変化法であり、ここではそれについて説明する。

関連する同次方程式の一般解 $${\displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}y'+a_{n}y=0}$$ は $${\displaystyle y=u_{1}y_{1}+\cdots +u_{n}y_{n},}$$ ここで、( y ₁ , ..., y _n )は解のベクトル空間の基底であり、u ₁ , ..., u _nは任意の定数です。定数変化法は、次の考え方からその名が付けられています。u 1 , ..., u n を定数として考える代わりに、_yを非_同次方程式の解にするために決定する必要のある未知関数として考えることができます。この目的のために、制約条件を追加します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}\\0&=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}\\&\;\;\vdots \\0&=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)},\end{aligned}}}$$ これは（積の法則と帰納法によって） $${\displaystyle y^{(i)}=u_{1}y_{1}^{(i)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(i)}}$$i = 1, ..., n – 1の 場合、 $${\displaystyle y^{(n)}=u_{1}y_{1}^{(n)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(n)}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}$$

元の式において、 yとその導関数をこれらの式で置き換え、 y ₁、 ... 、y _{n が}元の同次方程式の解である という事実を用いると、次の式が得られる。$${\displaystyle f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}$$

この方程式と、左辺が0である上記の方程式は、係数が既知の関数 ( f、y _{i 、およびそれらの導関数) である}u ′ ₁、 ...、u ′ _nに関するn個の線形方程式のシステムを形成します。このシステムは、線形代数の任意の方法で解くことができます。原始関数を計算すると、u ₁、 ...、u _nが得られ、次にy = u ₁ y ₁ + ⋯ + u _n y _nとなります。

定数項を除いて原始関数が定義されるため、非同次方程式の一般解は、任意の解とそれに対応する同次方程式の一般解の和であることが再びわかる。

1次の線形常微分方程式の一般形は、y ′( x )の係数を除いた後、次のようになる。 $${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}$$

方程式が同次方程式、すなわちg ( x ) = 0である場合、次のように書き換えて積分することができます。 $${\displaystyle {\frac {y'}{y}}=f,\qquad \log y=k+F,}$$ ここでkは任意の積分定数であり、${\displaystyle F=\textstyle \int f\,dx}$はfの任意の原始関数である。したがって、同次方程式の一般解は $${\displaystyle y=ce^{F},}$$ ここで、c = e ^kは任意の定数である。

一般的な非同次方程式の場合、同次方程式の解の逆数e ^{− F}を方程式の両辺に掛けると便利です。 ^{[ 2 ]}これにより、次のようになります。 $${\displaystyle y'e^{-F}-yfe^{-F}=ge^{-F}.}$$ として​${\displaystyle -fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),}$積の法則により、方程式を次のように書き換えることができます 。$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(ye^{-F}\right)=ge^{-F}.}$$ したがって、一般解は次のようになります。 $${\displaystyle y=ce^{F}+e^{F}\int ge^{-F}dx,}$$ ここで、cは積分定数であり、Fはfの任意の原始関数である（原始関数を変更すると、積分定数が変わる）。

線形微分方程式系は、複数の未知関数を含む複数の線形微分方程式から構成される。一般に、未知関数の数と方程式の数が等しい系に研究対象を限定する。

任意の線形常微分方程式およびそのような方程式のシステムは、最高階導関数を除くすべての導関数に変数を追加することにより、1階線形微分方程式系に変換できます。つまり、もし⁠${\displaystyle y',y'',\ldots ,y^{(k)}}$方程式に現れる場合、それらを新しい未知の関数に置き換えることができます。${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$⁠方程式を満たさなければならない⁠${\displaystyle y'=y_{1}}$そして​​${\displaystyle y_{i}'=y_{i+1},}$i = 1, ..., k – 1の場合。

n個の未知関数とn個の微分方程式を持つ1階線形システムは、通常、未知関数の導関数を求めることができます。そうでない場合は、これは微分代数システムであり、これは別の理論です。したがって、ここで検討するシステムは次の形式をとります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{1,n}(x)y_{n}\\[1ex]&\;\;\vdots \\[1ex]y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{n,n}(x)y_{n},\end{aligned}}}$$ どこで${\displaystyle b_{n}}$そして​​${\displaystyle a_{i,j}}$⁠はxの関数です。行列表記では、このシステムは次のように書くことができます (" ( x ) "を省略) $${\displaystyle \mathbf {y} '=A\mathbf {y} +\mathbf {b} .}$$

解法は単一の1階線形微分方程式の解法と似ているが、行列乗算の非可換性に起因する複雑さが加わる。

させて $${\displaystyle \mathbf {u} '=A\mathbf {u} .}$$ 上記の行列方程式に対応する同次方程式をとする。その解は次元nのベクトル空間を形成し、したがって関数の正方行列の列となる。${\displaystyle U(x)}$⁠、その行列式は零関数ではない。n = 1の場合、またはA が定数行列である場合、あるいはより一般的には、 A がその原始関数と可換である場合⁠${\displaystyle \textstyle B=\int Adx}$⁠、その場合、 U をBの指数関数に等しく。実際、これらの場合、次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp(B)=A\exp(B).}$$ 一般的には同次方程式の閉形式解は存在しないため、数値解法、またはマグナス展開などの近似解法を用いる必要がある。

行列Uがわかっている場合、非同次方程式の一般解は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {y} (x)=U(x)\mathbf {y_{0}} +U(x)\int U^{-1}(x)\mathbf {b} (x)\,dx,}$$ ここで列行列は${\displaystyle \mathbf {y_{0}} }$は任意の積分定数です。

初期条件が次のように与えられる場合 $${\displaystyle \mathbf {y} (x_{0})=\mathbf {y} _{0},}$$ これらの初期条件を満たす解は $${\displaystyle \mathbf {y} (x)=U(x)U^{-1}(x_{0})\mathbf {y_{0}} +U(x)\int _{x_{0}}^{x}U^{-1}(t)\mathbf {b} (t)\,dt.}$$

変数係数を持つ1次の線形常微分方程式は求積法によって解くことができ、これは解を積分で表すことができることを意味します。しかし、2次以上の場合はそうではありません。これは、エミール・ピカールとエルネスト・ヴェシオによって始められたピカール・ヴェシオ理論の主な成果であり、その最近の発展は微分ガロア理論と呼ばれています。

求積法による解法の不可能性は、一般に5次以上の代数方程式は根号を用いて解くことができないというアーベル・ルフィニの定理と比較することができる。この類推は証明方法にも及び、微分ガロア理論という名称の由来となっている。

代数的な場合と同様に、この理論ではどの式を数値積分で解けるかを判断し、可能であれば解くことができる。しかし、どちらの理論においても、必要な計算は、最も高性能なコンピュータを用いても極めて困難である。

しかしながら、有理係数を持つ2次の場合は、コヴァチッチのアルゴリズムによって完全に解決されている。

ホロノミック関数（D有限関数とも呼ばれる）とは、多項式係数を持つ同次線形微分方程式の解となる関数のことである。

数学で一般的に扱われる関数のほとんどは、ホロノミック関数、またはホロノミック関数の商です。実際、ホロノミック関数には、多項式、代数関数、対数関数、指数関数、正弦関数、余弦関数、双曲線正弦関数、双曲線余弦関数、逆三角関数、逆双曲線関数、そしてベッセル関数や超幾何関数などの多くの特殊関数が含まれます。

ホロノミック関数にはいくつかの閉包特性があります。特に、ホロノミック関数の和、積、微分、積分はホロノミックです。さらに、これらの閉包特性は有効であり、入力の微分方程式が分かっていれば、これらの演算の結果の微分方程式を計算するアルゴリズムが存在します。 ^{[ 3 ]}

ホロノミック関数の概念の有用性は、ツァイルベルガーの定理から導かれる。^{[ 3 ]}

ホロノミック数列とは、多項式係数を持つ漸化式によって生成される数列のことです。ホロノミック関数のある点におけるテイラー級数の係数は、ホロ​​ノミック数列を形成します。逆に、べき級数の係数列がホロノミックであれば、その級数はホロノミック関数を定義します（収束半径がゼロであっても）。微分方程式から漸化式を計算する場合と、その逆の場合の両方について、効率的なアルゴリズムが存在します。 ^{[ 3 ]}

したがって、ホロノミック関数をその定義微分方程式と初期条件で（コンピュータ上で）表現すれば、微分、不定積分と定積分、テイラー級数の高速計算（係数に関する漸化式のおかげで）、近似誤差の上限が保証された高精度評価、極限、特異点の特定、無限遠と特異点近傍での漸近挙動、恒等式の証明など、ほとんどの微積分演算をこれらの関数に対して自動的に実行できることになる。^{[ 4 ]}

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• Birkhoff, Garrett & Rota, Gian-Carlo (1978), Ordinary Differential Equations , New York: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X
• ガーシェンフェルド、ニール（1999）、『数学的モデリングの本質』、ケンブリッジ、英国：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-57095-4
• ロビンソン、ジェームズ C. (2004)、『常微分方程式入門』、ケンブリッジ、英国：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-82650-0

• https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm
• 数学関数の動的辞書（ 2010年7月6日時点のWayback Machineにアーカイブ）。多数のホロノミック関数の自動的かつ対話的な学習。