ヴァンデルモンド多項式

代数学において、アレクサンドル＝テオフィル・ヴァンデルモンドにちなんで名付けられた、n 個の変数の順序付き集合のヴァンデルモンド多項式は、次の多項式です。 ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$

${\displaystyle V_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i}).}$

(一部の情報源では逆の順序が使われており、符号時刻が変わります。そのため、ある次元では 2 つの式の符号が一致しますが、他の次元では符号が逆になります。) ${\displaystyle (X_{i}-X_{j})}$${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$

これは、ヴァンデルモンド行列の行列式であるため、ヴァンデルモンド行列式とも呼ばれます。

値は項の順序に依存します。つまり、対称多項式ではなく、交代多項式です。

ヴァンデルモンド多項式の定義特性は、要素が交代していることです。つまり、奇数順で並べ替えると符号が変わりますが、偶数順で並べ替えても多項式の値は変わりません。実際、これは基本的な交代多項式であり、以下で詳しく説明します。 ${\displaystyle X_{i}}$

したがって、それは順序に依存し、2 つのエントリが等しい場合は 0 になります。これも式からわかりますが、交互であることの結果でもあります。2 つの変数が等しい場合、両方を切り替えても値は変化せず、値が反転して、およびが生成されます(特性が 2 でないと仮定します。それ以外の場合、交互であることは対称であることと同等です)。 ${\displaystyle V_{n}=-V_{n},}$${\displaystyle V_{n}=0}$

逆に、ヴァンデルモンド多項式はすべての交代多項式の因数です。上記のように、交代多項式は任意の 2 つの変数が等しい場合に消滅するため、すべての に対して が因数として存在する必要があります。 ${\displaystyle (X_{i}-X_{j})}$${\displaystyle i\neq j}$

したがって、ヴァンデルモンド多項式は（対称多項式と一緒に）交代多項式を生成します。

その平方は一般に判別式と呼ばれますが、一部の資料ではヴァンデルモンド多項式自体を判別式と呼んでいます。

判別式（ヴァンデルモンド多項式の平方：）は項の順序に依存せず、したがって順序付けられていない点の集合の不変量です。 ${\displaystyle \Delta =V_{n}^{2}}$${\displaystyle (-1)^{2}=1}$

ヴァンデルモンド多項式をn変数の対称多項式の環に付加すると、交代多項式の環である二次拡大が得られます。 ${\displaystyle \Lambda_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda _{n}[V_{n}]/\langle V_{n}^{2}-\Delta \rangle }$

多項式が与えられたとき、その根のヴァンデルモンド多項式は分解体上で定義される。非モニック多項式で、先頭係数が aである場合、ヴァンデルモンド多項式は次のように定義される。

${\displaystyle V_{n}=a^{n-1}\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i}),}$

（先頭の項を乗じて）判別式と一致させる。

任意の環上では、交代多項式を生成するために別の多項式が使用されます（Romagny、2005を参照）。

ヴァンデルモンド行列式は、特殊ユニタリ群の自明な表現に適用されたワイル分母公式の非常に特殊なケースです。 ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$

• カペリ多項式（参照）

• 交代関数の基本定理、マチュー・ロマニー著、2005 年 9 月 15 日